非恰當(dāng)微分方程的解法

鄭治波 趙文燕

【摘要】本文查閱文獻(xiàn)資料，系統(tǒng)歸納和總結(jié)求非恰當(dāng)微分方程積分因子的方法，同時(shí)應(yīng)用具體實(shí)例分析非恰當(dāng)微分方程的解題方法與思路，為今后的教學(xué)加深對(duì)微分方程積分因子的理解。

【關(guān)鍵詞】非恰當(dāng)微分方程? 積分因子? 解法

【基金項(xiàng)目】云南省地方本科高?；A(chǔ)研究聯(lián)合專項(xiàng)青年項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2017FH001-106）;保山學(xué)院2018年校級(jí)科研項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：BYZX201811）;保山學(xué)院首批校級(jí)應(yīng)用型人才培養(yǎng)示范院校建設(shè)項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：ZHP201810）。

【中圖分類號(hào)】O175 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2019）48-0244-02

引言

常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，也是研究自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法[1]。因此，對(duì)微分方程相關(guān)理論的研究尤為重要，故本文查閱相關(guān)文獻(xiàn)資料，系統(tǒng)的歸納和總結(jié)求非恰當(dāng)微分方程積分因子的方法。

1.恰當(dāng)微分方程與積分因子

定義1[1]? 一階方程

M（x，y）dx+N（x，y）dy=0? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-1）

其中，M（x，y），N（x，y）在某矩形區(qū)域內(nèi)關(guān)于x，y的連續(xù)函數(shù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。

若方程（1-1）的左端恰好是某個(gè)二元函數(shù)u（x，y）的全微分，即

M（x，y）dx+N（x，y）dy=du（x，y）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1-2）

則稱（1-1）為恰當(dāng)微分方程（全微分方程）。方程（1-1）的通解為u（x，y）=c，其中c是任意常數(shù)。

若存在連續(xù)可微的函數(shù)？滋=？滋（x，y）≠0，使得

？滋（x，y）M（x，y）dx+？滋（x，y）N（x，y）dy=0? ? ? ? ? ? （1-3）

為一恰當(dāng)微分方程，即存在函數(shù)？自，使？滋Mdx+？滋N(yùn)dy=d？自，則稱？滋（x，y）為方程（1-1）的積分因子。

定理1[1] 設(shè)函數(shù)M（x，y）dx和N（x，y）dy在一個(gè)矩形區(qū)域R中連續(xù)且有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則稱（1-1）為恰當(dāng)微分方程的充要條件是

由（1-3）可知，求解非恰當(dāng)方程的關(guān)鍵是尋找合適的積分因子將其轉(zhuǎn)化為恰當(dāng)微分方程。

2.求非恰當(dāng)微分方程的積分因子

（1）觀察法

ydx+xdy=d（xy）

觀察法是對(duì)非恰當(dāng)微分方程做適當(dāng)?shù)淖冃危檬煜さ亩瘮?shù)的全微分公式（2-1）求非恰當(dāng)微分方程的積分因子。

（2）公式法

定理2[1] 設(shè)M=M（x，y），N=N（x，y）和？漬=？漬（x，y）在某區(qū)域內(nèi)都是連續(xù)可微的，則方程（1-1）有形如？滋=？滋（？漬（x，y））的積分因子的充要條件是：函數(shù)

是？漬（x，y）的函數(shù)，若設(shè)（2-2）僅是？漬（x，y）的函數(shù)為f=f（？漬（x，y）），有G（u）u）du，則函數(shù)？滋=eG（？漬（x，y））就是方程（1-1）的積分因子。

證明? 因?yàn)槿绻匠蹋?-1）有積分因子？滋=？滋（？漬），則由（1-4）得

即

-3x2y+x）dx+（x2y-x3）dy=0，從而可得到隱

u≡x4：把原方程改寫為如下兩組和的形式：

（y2dx+xydx）+（2x2ydx+x3dy）=0

？滋=x3y2

從而求得其通解為：

4.結(jié)論

尋找非恰當(dāng)微分方程的積分因子尤為重要，本文查閱文獻(xiàn)資料，系統(tǒng)歸納和總結(jié)了利用觀察法、公式法和分組組合法求非恰當(dāng)微分方程的積分因子，同時(shí)應(yīng)用具體實(shí)例分析非恰當(dāng)微分方程的解題思路。

參考文獻(xiàn)：

[1]王高雄，朱思銘，周之銘，王壽松.常微分方程第三版[M].北京：高等教育出版社，2006.

作者簡(jiǎn)介：

鄭治波（1985-），女，云南騰沖人，保山學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師，碩士，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。