利用向量方法求空間角問(wèn)題

陳菊芳

摘 要：向量一般用于高中數(shù)學(xué)中，利用向量導(dǎo)入法可以更好地進(jìn)行高中數(shù)學(xué)幾何運(yùn)算。對(duì)向量基本概念做了簡(jiǎn)析，并通過(guò)舉例來(lái)證明在高中幾何中，使用向量法來(lái)開啟各種解題思路，最終造成高中數(shù)學(xué)空間角度的詳解。

關(guān)鍵詞：向量;輔助線;異面

在高中數(shù)學(xué)中，幾何知識(shí)屬于重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容，而幾何知識(shí)中空間角度的求解更是讓學(xué)生感到望而卻步。學(xué)生在腦海中沒(méi)有形成一個(gè)立體的幾何概念，對(duì)于幾何圖形的面與角的求解會(huì)感覺(jué)到非常困難，沒(méi)辦法用正確的方法打開解題思路，使得一部分學(xué)生對(duì)于空間幾何的求解無(wú)從下手。

一、向量在數(shù)學(xué)中的概念

向量遵循的是平行四邊形法則，并且含方向和大小，一般在空間幾何中被廣泛應(yīng)用。

二、利用向量方法求空間角問(wèn)題

1.平面與平面的夾角

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圖1 ?圖2

用向量法求二面角的大小原理，設(shè)■、■分別為平面α、β的法向量。二面角大α-l-β小為θ，向量■、■的夾角為φ，那么θ+φ=π（如：下圖1）或者θ=φ（如：下圖2）

那么結(jié)論為：構(gòu)成二面角兩個(gè)平面的法向量，其夾角和夾腳的補(bǔ)角，等于這個(gè)二面角的平面角。

因此，在圖一中可以看出，■的方向相對(duì)于平面α而言，向內(nèi)，■的方向相對(duì)于平面α而言，也向內(nèi);在圖一中可以看出■的方向相對(duì)于平面α而言，向內(nèi)，■的方向相對(duì)于平面α而言，是向外的。

2.直線與平面的夾角

例題：設(shè)θ1是直線a為平面α所成的角，θ2是直線a的方向向量與平面α的法向量■之間的夾角，那么θ2=■-θ1，或者θ2=■+θ1（如右圖所示）

當(dāng)θ2=0時(shí)，那么θ1=■，a⊥α;當(dāng)θ2=■-θ1時(shí)，那么θ1=0，a？哿α或a∥α。那么θ1=arcsin■。如果直線a是平面α的斜線，a∩α=A，那么B∈a，B？埸α，■即為直線l的方向向量，則θ=arcsin■

3.建立空間夾角坐標(biāo)求異面直線所成的角

如圖1，右圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，F(xiàn)D⊥底面ABCD，E是FB的中點(diǎn)。已知AD=2，DC=2■，F(xiàn)D=2。

現(xiàn)求：（1）△FBC的面積;（2）異面直線AB與DE所成的角的大小。

解題：（1）∵FD⊥底面ABCD，∴FD⊥BC，所以BC⊥△FDC，因此BC⊥FC，又∵FC=■=2■，BC=2，∴△PBC的面積=■×2×2■。

解題：（2）如右圖，在圖形上建空間直角坐標(biāo)系，∴A（2，0，0），∴B（2，2■，0），∴E（1，■，1），∴■=（1，■，1），∴■=（0，2■，0）。設(shè)■與■的夾角是θ，那么cosθ=■=■=■，∴θ=■。從上可得，異面直線AB與DE所成的角為■。

異面直線求角在高中數(shù)學(xué)幾何運(yùn)算中難度比較大，教師要想辦法讓學(xué)生能夠打開思維，利用好垂直輔助線來(lái)求證空間幾何的論證，通過(guò)向量能夠更好的求出空間角的大小。

參考文獻(xiàn)：

[1]吳天德.從一道高考題談異面直線所成角的求法[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2018（3）.

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