基于邊劃分理論的謠言傳播模型

羅靖宇 唐寧九

摘 要：針對(duì)謠言傳播過程中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)恢復(fù)時(shí)會(huì)受其鄰居節(jié)點(diǎn)狀態(tài)影響的問題，提出了一種基于邊劃分理論的謠言傳播模型。首先，使用改進(jìn)的邊劃分理論建立起謠言傳播的動(dòng)力學(xué)方程組，推演出謠言在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播范圍值和爆發(fā)閾值;然后，通過數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)研究網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、傳播概率和基礎(chǔ)恢復(fù)概率等參數(shù)對(duì)謠言傳播的影響;在此基礎(chǔ)之上，提出了可以有效控制謠言傳播范圍和爆發(fā)閾值的免疫策略。理論分析和仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典的SIR模型相比，提出的謠言傳播模型縮短了謠言傳播的周期，傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)比例的峰值則有小幅提高。對(duì)比實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略相比，當(dāng)謠言的傳播概率較大時(shí)，優(yōu)先免疫連接小度節(jié)點(diǎn)的邊能得到更小的謠言傳播范圍;反之，當(dāng)謠言的傳播概率較小時(shí)，優(yōu)先免疫連接大度節(jié)點(diǎn)的邊可以有更小的謠言傳播范圍。研究結(jié)果表明，提出的謠言傳播模型符合謠言消退期的特征，為謠言傳播的預(yù)測(cè)與控制提供了理論和數(shù)值上的支持。

關(guān)鍵詞：復(fù)雜網(wǎng)絡(luò);易感態(tài)感染態(tài)恢復(fù)態(tài)模型;謠言傳播;邊劃分理論;免疫策略

中圖分類號(hào)：TP393

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Rumor propagation model based on edgebased compartmental theory

LUO Jingyu， TANG Ningjiu*

College of Computer Science， Sichuan University， Chengdu Sichuan 610065， China

Abstract：

Aiming at the problem that spreader nodes will be influenced by their neighbors during the recovery in the rumor propagation process， a rumor propagation model based on edgebased compartmental theory was proposed. Firstly， a set of dynamic equations were established using the improved edgebased compartmental theory， and the propagation range and breaking threshold were theoretically analyzed. Then the influence of factors including network structure， propagation probability and basic recovery probability were analyzed through numerical simulation. Finally， an effective immunization strategy to control rumor propagation range and breaking threshold was presented on the above basis. The results of theoretical analysis and numerical simulation show that， compared with the classical SIR （SusceptibleInfectedRecovered） rumor propagation model， the presented model decrease the period of rumor propagation and increase the peak of the propagation of spreader nodes slightly. Through comparison experiments with the random immunization strategy， in the proposed strategy the edges with higher product of the degrees of two nodes were immuned preferentially to obtain better effect when rumor has minor propagation probability， and the edges with lower product of the degrees of two nodes were immuned preferentially to obtain better effect when rumor has larger propagation probability. Study results indicate that the presented model conform to the characteristics of rumor fading away phase and can provide theoretical and numerical support for rumor prediction and control.

Key words：

complex network; SusceptibleInfectedRecovered （SIR） model; rumor propagation; edgebased compartmental theory; immunization strategy

0?引言

隨著人類日常生活的網(wǎng)絡(luò)化，微博、Twitter等在線社交網(wǎng)絡(luò)開始興起。由于這類在線社交網(wǎng)絡(luò)具備用戶門檻低、消息傳播速度快、地域限制小等特點(diǎn)，在這些平臺(tái)上的信息傳播的速度和范圍均遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過傳統(tǒng)傳播方式。但這種現(xiàn)象在給人們的日常生活帶來便利的同時(shí)，也會(huì)帶來謠言大規(guī)模傳播且難以控制的負(fù)面影響，因此，需要研究社交網(wǎng)絡(luò)上謠言傳播的規(guī)律并在此基礎(chǔ)上得到適當(dāng)?shù)闹{言傳播控制策略。社交網(wǎng)絡(luò)上謠言等信息的傳播都屬于社會(huì)傳播的范疇，可以被描述成“復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上的傳播動(dòng)力學(xué)”。

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)是近年來新興的一門學(xué)科，人類生活中的眾多現(xiàn)象例如新科技的傳播[1]和謠言傳播等都可以被納入復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究范圍。1998年康奈爾大學(xué)的Watts博士和Strogatz教授提出的具有小世界特性的WS網(wǎng)絡(luò)[2]以及1999年Barabási和Albert提出的具有無標(biāo)度特性的BA網(wǎng)絡(luò)[3]標(biāo)志著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的誕生。在此之后，相關(guān)研究人員不斷地運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)來解決各個(gè)領(lǐng)域中的問題，在輿情、謠言等社會(huì)行為的傳播研究領(lǐng)域，研究人員廣泛采用的傳播動(dòng)力學(xué)模型是易感態(tài)感染態(tài)恢復(fù)態(tài)（SusceptibleInfectedRecovered， SIR）模型[4]。在SIR模型中，參與傳播的每個(gè)節(jié)點(diǎn)在任意時(shí)刻只能處于三種狀態(tài)中的一種：易感態(tài)（Susceptible）、感染態(tài)（Infected）和恢復(fù)態(tài)（Recovered）。節(jié)點(diǎn)處于易感態(tài)就表示該節(jié)點(diǎn)尚未參與到信息的傳播過程中，在傳播開始之后的每一個(gè)時(shí)間步，處于感染態(tài)的節(jié)點(diǎn)會(huì)以傳播概率λ向鄰居節(jié)點(diǎn)中的易感態(tài)節(jié)點(diǎn)傳播信息，并且會(huì)以概率γ進(jìn)入到恢復(fù)態(tài)，恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)將不會(huì)再參與到信息的傳播過程中。盡管SIR模型作為一種經(jīng)典的非可逆?zhèn)鞑ツＰ涂梢院芎玫孛枋龀稣鎸?shí)中謠言傳播的特性，但依然有很多影響謠言傳播的屬性沒有被考慮到。國(guó)內(nèi)外研究者分別從社會(huì)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)[5]、社會(huì)傳播的加強(qiáng)效應(yīng)[6-7]、個(gè)體采納閾值[8]等因素對(duì)謠言傳播產(chǎn)生的影響來拓展和改進(jìn)SIR模型，但是這些研究都關(guān)注的是謠言向易感態(tài)用戶傳播時(shí)的特征，并沒有考慮節(jié)點(diǎn)開始恢復(fù)時(shí)的情況。

早在20世紀(jì)70年代，Rosnow等[9]就已經(jīng)提出了謠言傳播的生命周期理論。在那之后各領(lǐng)域的學(xué)者都嘗試去研究謠言傳播周期中各個(gè)時(shí)期的特征并希望由此得到有效的謠言控制策略。任一奇等[10]針對(duì)國(guó)內(nèi)社交媒體將網(wǎng)絡(luò)謠言分為產(chǎn)生、擴(kuò)散、極化和消退四個(gè)階段， 并將謠言的消退分為了兩種類型：自然消退和人為消退。以官方辟謠為主的人為消退往往會(huì)因?yàn)閭鞑ミ^程中出現(xiàn)的偏差或是一部分受眾產(chǎn)生逆反心理反而會(huì)促進(jìn)謠言的擴(kuò)散;而在自然消解的過程中，隨著周圍用戶參與到謠言傳播的比例增加，已參與到謠言傳播的用戶對(duì)謠言的了解也會(huì)逐漸增加直到因?yàn)榻佑|到事件真相或是失去興趣而停止對(duì)謠言的傳播。王理等[11]基于真實(shí)謠言信息樣本也對(duì)謠言消退的現(xiàn)象進(jìn)行了實(shí)證研究。

在上述研究的基礎(chǔ)上，本文首先根據(jù)謠言生命周期理論中謠言消退期的特點(diǎn)對(duì)SIR傳播模型進(jìn)行改進(jìn)，引入鄰居節(jié)點(diǎn)狀態(tài)對(duì)于易感態(tài)節(jié)點(diǎn)的影響，使得謠言消退的過程更加符合真實(shí)情況。接下來，為了可以定量地研究所提出的謠言傳播模型，本文拓展了一套異質(zhì)邊劃分方法用于研究各個(gè)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)參數(shù)和傳播模型參數(shù)對(duì)于謠言傳播的影響，得到不同條件下謠言最終傳播范圍和爆發(fā)閾值。最后，對(duì)謠言傳播模型進(jìn)行進(jìn)一步分析，并提出可以有效控制謠言傳播的免疫策略。

1?謠言傳播模型概述

假設(shè)謠言在節(jié)點(diǎn)數(shù)量為N、度分布為 P（k）的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播。網(wǎng)絡(luò)中的每一個(gè)節(jié)點(diǎn)可以處于以下三種可能狀態(tài)中的一種：1）節(jié)點(diǎn)不知道流言的無知態(tài)（gnorant）;2）節(jié)點(diǎn)開始傳播謠言的傳播態(tài)（spreader）;3） 節(jié)點(diǎn)不再傳播謠言的恢復(fù)態(tài)（refractory）。在每個(gè)時(shí)間步中，每個(gè)具有度k′的 spreader 節(jié)點(diǎn)v首先嘗試向所有它的鄰居節(jié)點(diǎn)傳遞謠言。如果 spreader節(jié)點(diǎn)v的鄰居中有一個(gè)無知態(tài)節(jié)點(diǎn)u，那么u以概率λ接受謠言并成為一個(gè)新的傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)。在謠言消退時(shí)傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)需要其鄰居節(jié)點(diǎn)提供與謠言有關(guān)的信息來識(shí)破謠言進(jìn)而對(duì)謠言失去興趣，因此，在模型中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)v以概率1-（1-γ）nk′變成恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)，其中nk′是其鄰居中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量之和，γ是節(jié)點(diǎn)v鄰居中只有一個(gè)傳播態(tài)或恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)時(shí)v變?yōu)榛謴?fù)態(tài)的概率，在本文中被稱作基礎(chǔ)恢復(fù)概率。當(dāng)系統(tǒng)中不再有傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)時(shí)，傳播過程結(jié)束。謠言傳播模型整體架構(gòu)如圖1所示，無知態(tài)節(jié)點(diǎn)每個(gè)時(shí)間步以概率λ轉(zhuǎn)為傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)，傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)每個(gè)時(shí)間步以概率1-（1-γ）nk′轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)。

2?基于異質(zhì)邊劃分的理論分析

謠言的最終傳播范圍和傳播的爆發(fā)閾值是運(yùn)用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究謠言傳播動(dòng)力學(xué)特征時(shí)的兩個(gè)重要的目標(biāo)。謠言傳播范圍是指當(dāng)謠言傳播結(jié)束時(shí)網(wǎng)絡(luò)中參與到謠言傳播的節(jié)點(diǎn)比例。受到文獻(xiàn)[12]的啟發(fā)，本章擴(kuò)展了一套異質(zhì)邊劃分方法，用于對(duì)本文提出的謠言傳播模型的傳播范圍進(jìn)行分析。記S（t）、I（t）、R（t）分別表示在t時(shí)刻，處于傳播態(tài)、無知態(tài)和恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)的比例，并滿足S（t）+I（t）+R（t）=1。參考空穴理論[13-14]，令任意節(jié)點(diǎn)u處于空穴態(tài)，即u不能感染鄰居節(jié)點(diǎn)，但是可以被鄰居節(jié)點(diǎn)感染。記θk′（t）表示度為k′的某鄰居節(jié)點(diǎn)直到 t 時(shí)刻，仍然沒有通過兩點(diǎn)之間的邊感染節(jié)點(diǎn)u的概率。在異質(zhì)網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點(diǎn)通常具有不同大小的度，不同度的節(jié)點(diǎn)θk′（t）取值也有所不同。考慮鄰居節(jié)點(diǎn)所有可能的度取值，記θ（t）為u節(jié)點(diǎn)截止t時(shí)刻仍然沒有被某個(gè)鄰居感染的概率：

θ（t）=∑k′=0k′P（k′）〈k〉 θk′（t）（1）

其中〈k〉為網(wǎng)絡(luò)的平均度。對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的任意一個(gè)節(jié)點(diǎn)來說，設(shè)i（k，t）為t時(shí)刻度為k的節(jié)點(diǎn)為無知態(tài)的概率：

i（k，t）=θk（t） （2）

考慮k所有可能的取值，可以得到t時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)中無知態(tài)節(jié)點(diǎn)的比例：

I（t）=∑k=0P（k）i（k，t） （3）

根據(jù)θk′（t）的定義，可以將其分為3個(gè)部分：

θk′（t）=ξIk′（t）+ξSk′（t）+ξRk′（t） （4）

其中：ξIk′（t）、ξSk′（t）和ξRk′（t）分別表示，度為k′的節(jié)點(diǎn)處于無知態(tài)、傳播態(tài)和恢復(fù)態(tài)，并且截止t時(shí)刻沒有感染鄰居的概率。

當(dāng)節(jié)點(diǎn)v處于無知態(tài)時(shí)，v不能傳遞謠言給鄰居u，滿足ξIk′（t）的定義，因此v處于無知態(tài)的概率與ξIk′（t）相等。由于u處于空穴態(tài)，它也不能傳染v，因此，v只能被其余k′-1個(gè)鄰居感染?？梢杂纱说玫竭M(jìn)一步可以由定義得到 v 處于無知態(tài)的概率：

ξIk′（t）=θk′-1（t）（5）

根據(jù)θk′（t）的定義，當(dāng)度為k′的節(jié)點(diǎn)v通過一條邊感染鄰居u時(shí)，θk′（t）將會(huì)減小。節(jié)點(diǎn)v感染節(jié)點(diǎn)u需要滿足兩點(diǎn)：1）節(jié)點(diǎn)v截止t時(shí)刻之前處于傳播態(tài)并且沒有感染u節(jié)點(diǎn);2）在t時(shí)刻，節(jié)點(diǎn)v通過兩點(diǎn)之間的邊以概率λ感染節(jié)點(diǎn)u。 由此可以得到θk′（t）的演化方程：

dθk′（t）dt=-λξSk′（t）（6）

傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)v的恢復(fù)概率與該時(shí)刻v鄰居節(jié)點(diǎn)中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量有關(guān)，設(shè)nk′為v鄰居中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)和恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)的數(shù)量之和。對(duì)于某個(gè)度為k″的v的鄰居來說，在t時(shí)刻處于無知態(tài)的概率為θk″（t），由此可以進(jìn)一步得到度為k″的v的鄰居在t時(shí)刻處于傳播態(tài)的概率和處于恢復(fù)態(tài)的概率之和為1-θk″（t）?？紤]k″所有可能的取值，可以得到某個(gè)v的鄰居處于傳播態(tài)或是恢復(fù)態(tài)的概率為∑k″=0k″P（k″）〈k〉[1-θk″（t）]?？昭☉B(tài)節(jié)點(diǎn)u不會(huì)感染節(jié)點(diǎn)v，因此v的鄰居中一定還存在一個(gè)之前感染v的傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)或是恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)。由此可以得到nk′：

nk′=1+（k′-2）∑k″=0k″P（k″）〈k〉[1-θk″（t）]（7）

根據(jù)定義，當(dāng)滿足下面三個(gè)條件時(shí)，ξRk′會(huì)在t時(shí)刻增加：1）傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)v截止t 時(shí)刻之前沒有通過兩點(diǎn)之間的邊將謠言傳給節(jié)點(diǎn)u，根據(jù)定義可以知道這個(gè)條件的概率就是ξSk′（t）;2）傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)v在t 時(shí)刻沒有通過兩點(diǎn)之間的邊將謠言傳給節(jié)點(diǎn)u，概率為（1-λ）;3）傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)v 在t 時(shí)刻以概率1-（1-γ）nk′恢復(fù)為恢復(fù)態(tài)?；谏鲜龇治?，可以得到ξRk′的演化方程：

dξRk′（t）dt=[1-（1-γ）nk′]（1-λ）ξSk′（t） （8）

式（4）～（8）聯(lián)立求解即可得出θk′（∞），當(dāng)t→∞時(shí)，傳播過程結(jié)束，此時(shí)所有傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)均已恢復(fù)為恢復(fù)態(tài)，因此S（∞）=0。通過代入t→∞來得出θk′（∞），進(jìn)而可以得到傳播范圍R（∞）=1-I（∞）。

3?傳播爆發(fā)閾值分析

得到謠言爆發(fā)閾值是研究謠言在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上傳播時(shí)另一個(gè)重要的目標(biāo)，傳播爆發(fā)閾值可以被看作一個(gè)傳播概率上的臨界值，當(dāng)傳播概率小于它時(shí)，謠言的最終傳播范圍趨近于0，否則會(huì)有一定比例的節(jié)點(diǎn)參與到謠言的傳播中。

3.1?理論閾值

針對(duì)理論計(jì)算得到的傳播范圍曲線，依據(jù)爆發(fā)閾值點(diǎn)處的特征可以使用導(dǎo)數(shù)法來求得曲線上的傳播爆發(fā)閾值點(diǎn)[15]，即傳播范圍的曲線在爆發(fā)閾值點(diǎn)處存在一階導(dǎo)數(shù)但不存在二階導(dǎo)數(shù)。

定義f1（λ）為傳播范圍函數(shù)R的一階導(dǎo)數(shù)：

f1（λ）=limΔλ → 0R（λ+Δλ）-R（λ-Δλ）2Δλ（9）

在爆發(fā)閾值點(diǎn)處，R（λ）不存在二階導(dǎo)數(shù)，也就是說在該點(diǎn)R（λ）的二階左導(dǎo)數(shù)與二階右導(dǎo)數(shù)不相等。因此定義P（λ）：

P（λ）=

|limΔλ → 0+f1（λ+Δλ）-f1（λ）Δλ-

limΔλ→0-f1（λ）-f1（λ-Δλ）Δλ|（10）

在爆發(fā)閾值處，P（λ）的值會(huì)呈現(xiàn)出峰值。

3.2?模擬閾值

可變性是一種用來確定磁性系統(tǒng)中的平衡臨界點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)方法[16]。Shu等[17]提出可以利用可變性方法來確定SIS傳播模型和SIR傳播模型的模擬閾值，其表達(dá)式為：

Δ=〈ρ2〉-〈ρ〉2〈ρ〉（11）

Δ的值會(huì)在爆發(fā)閾值處呈現(xiàn)出峰值。

4?實(shí)驗(yàn)分析

近年來針對(duì)真實(shí)世界的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行的研究發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)真實(shí)網(wǎng)絡(luò)都是稀疏網(wǎng)絡(luò)且度分布呈現(xiàn)出胖尾現(xiàn)象，即度分布服從冪率分布[18-19]，因此，仿真實(shí)驗(yàn)分別在網(wǎng)絡(luò)規(guī)模設(shè)為N=10-000的ER網(wǎng)絡(luò)（ErdsRényi network）和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行。為了使實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)更加接近真實(shí)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，根據(jù)相關(guān)研究[18-19]將網(wǎng)絡(luò)參數(shù)設(shè)置如下：ER網(wǎng)絡(luò)平均度〈k〉=10、最大度kmax～N，無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)度分布指數(shù)為2.5和3.5。模擬的初始傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)為5個(gè)，相同的模擬在每個(gè)網(wǎng)絡(luò)上重復(fù)10-000 次，并通過取平均值得到最后的結(jié)果。

首先，圖2將本文提出的謠言傳播模型和經(jīng)典的SIR模型進(jìn)行了對(duì)比，圖中S（t）表示傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)（即SIR模型中的感染態(tài)節(jié)點(diǎn)）在網(wǎng)絡(luò)中所占比例，t表示傳播的時(shí)間步。從圖2中可以發(fā)現(xiàn)，S（t）在達(dá)到頂點(diǎn)之后會(huì)隨著網(wǎng)絡(luò)中接受謠言的節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加而快速降低，與SIR模型相比，本文提出的謠言傳播模型傳播周期更短，爆發(fā)速度快但傳播規(guī)模會(huì)隨著參與傳播的人數(shù)和有關(guān)信息的累積而快速下降。謠言傳播模型這樣的特性比SIR模型更加符合謠言生命周期理論中網(wǎng)絡(luò)謠言消退期的特點(diǎn)[9-11]。

圖3、4分別研究了謠言在異質(zhì)性較弱的ER網(wǎng)絡(luò)和異質(zhì)性較強(qiáng)的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的傳播情況，圖中的線條圖表示傳播理論計(jì)算值，形狀圖表示傳播模擬值，理論值與模擬值能夠很好地吻合。

從第1章可知，傳播概率為λ，恢復(fù)概率為1-（1-γ）nk′， 其中基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ是鄰居中傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)或恢復(fù)態(tài)節(jié)點(diǎn)只有一個(gè)時(shí)的恢復(fù)概率。從圖3、4中可以發(fā)現(xiàn)，在傳播概率λ相同的情況下，最終的傳播范圍R（∞）會(huì)隨著傳播概率λ的增加而增大;爆發(fā)閾值則會(huì)隨著基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而減小。

為了求出謠言在網(wǎng)絡(luò)上的傳播閾值，在圖5（a）、圖6（a）和（c）中，通過導(dǎo)數(shù)法求出謠言模型分別在ER網(wǎng)絡(luò)和無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上的理論閾值; 在圖5（b）、圖6（b）和（d）中，通過求可變性的方法得到謠言模型相應(yīng)的模擬閾值。模擬謠言的一次傳播過程中，在傳播概率λ較小時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)在傳播前期大部分傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)還未將謠言傳播出去就轉(zhuǎn)為恢復(fù)態(tài)，導(dǎo)致謠言未能擴(kuò)散而提前終止傳播的情況，因此傳播概率較小時(shí)多次模擬實(shí)驗(yàn)結(jié)果求平均之后得到的模擬傳播范圍會(huì)稍微小于理論值，從而使得模擬爆發(fā)閾值會(huì)比理論值大0.01左右。 例如在圖5中基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ為0.5時(shí)理論閾值為0.113，而模擬閾值為0.123。

通過上面的分析，可以得知傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ都會(huì)影響到最終的傳播范圍R（∞）和爆發(fā)閾值。 圖7（a）和（b）分別展示了在平均度〈k〉為10的ER網(wǎng)絡(luò)上，最終傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論結(jié)果和模擬結(jié)果。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而增大，且理論值能很好地與模擬值吻合。

在圖7中，謠言在ER網(wǎng)絡(luò)上的傳播平面被分為了兩個(gè)區(qū)域：Ⅰ區(qū)域上謠言大規(guī)模爆發(fā)，即系統(tǒng)處于活躍態(tài);Ⅱ區(qū)域上謠言只在很有限的范圍內(nèi)傳播，即系統(tǒng)處于非活躍態(tài)（吸收態(tài)）。 圖中的白線就是在第三章中求出的閾值，可以發(fā)現(xiàn)，隨著基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增加，爆發(fā)閾值λc會(huì)隨之減小。

在圖8中研究在無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上，不同的度分布指數(shù)α下，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ對(duì)謠言傳播的影響。圖8（a）和（b）分別展示了在度分布指數(shù)α為2.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論值和模擬值。圖8（c）和（d）分別展示了在度分布指數(shù)α為3.5 的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ變化的理論值和模擬值。

從圖8中可以發(fā)現(xiàn)，最終的傳播范圍R（∞）隨傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ的增大而增大。 同樣的，爆發(fā)閾值將傳播平面分為了兩個(gè)區(qū)域：Ⅰ區(qū)域上謠言大規(guī)模爆發(fā)，即系統(tǒng)處于活躍態(tài);Ⅱ區(qū)域上謠言只在很有限的范圍內(nèi)傳播，即系統(tǒng)處于非活躍態(tài)（吸收態(tài)）。 當(dāng)傳播概率λ和基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定，最終的傳播范圍R（∞）和爆發(fā)閾值λc會(huì)隨著度分布指數(shù)α增加而變大，這意味著強(qiáng)異質(zhì)性的網(wǎng)絡(luò)會(huì)有更小的爆發(fā)閾值。

5?基于邊的免疫策略

以上討論了謠言傳播模型的邊劃分理論分析和實(shí)驗(yàn)?zāi)M驗(yàn)證，下面將對(duì)謠言傳播模型進(jìn)行進(jìn)一步分析，給出控制謠言傳播的免疫策略。

免疫是控制謠言在網(wǎng)絡(luò)中散布的有效方法，而根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的特性使用有效的免疫策略對(duì)于控制謠言的散布可以起到更好的作用。為了有效地控制疾病或是輿情的傳播，學(xué)者們已經(jīng)基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)提出了一些經(jīng)典的免疫策略，比如隨機(jī)免疫[20]、目標(biāo)免疫和熟人免疫[21]以及基于著色的免疫[22]等策略。這些免疫策略都是針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，這類策略雖然可以得到很好的免疫效果，但是在免疫過程中刪去大度節(jié)點(diǎn)會(huì)極大地破壞網(wǎng)絡(luò)的原有結(jié)構(gòu)和連通性。此外，在現(xiàn)實(shí)的社交網(wǎng)絡(luò)中，也很難能夠做到將一個(gè)用戶完全從網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)中去除?；谶@種情況，Zhang等[23]提出了針對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的邊進(jìn)行免疫的策略，通過刪除網(wǎng)絡(luò)中關(guān)鍵的連邊可以有效地控制疾病或是輿情在網(wǎng)絡(luò)上的傳播。在上述的研究基礎(chǔ)之上，本文提出了一套基于刪邊的免疫策略來達(dá)到控制謠言傳播的目的。在這里假設(shè)網(wǎng)絡(luò)規(guī)模為N，免疫比例為f，則在初始時(shí)，網(wǎng)絡(luò)中有f·N條邊處于免疫狀態(tài)，即謠言不能通過這條邊傳播。

首先，對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中的度為k1的節(jié)點(diǎn)u和度為k2的節(jié)點(diǎn)v之間的邊，用I（u，k）來表示節(jié)點(diǎn)u和節(jié)點(diǎn)v的度乘積，即k1·k2。接下來提出兩種免疫策略，并將兩者與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略進(jìn)行對(duì)比：策略1，優(yōu)先免疫網(wǎng)絡(luò)中兩端節(jié)點(diǎn)度乘積I（u，k）較大的f·N條邊，謠言將不會(huì)通過這些邊傳播;策略2，優(yōu)先免疫網(wǎng)絡(luò)中兩端節(jié)點(diǎn)度乘積I（u，k）較小的f·N條邊，謠言將不會(huì)通過這些邊傳播; 隨機(jī)免疫策略：隨機(jī)免疫網(wǎng)絡(luò)中f·N條邊，謠言將不會(huì)通過這些邊傳播。

按照上述的生成規(guī)則生成一個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)N=10-000的網(wǎng)絡(luò)。令網(wǎng)絡(luò)中的每個(gè)節(jié)點(diǎn)都處于無知、傳播、免疫這三種狀態(tài)中的一種狀態(tài)，采用第1章描述的謠言傳播模型，在t=0時(shí)刻，在網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)選擇5個(gè)節(jié)點(diǎn)作為傳播種子，然后根據(jù)不同免疫策略，選擇f·N條邊作為被免疫的邊（謠言不能通過該邊傳播），剩下的全為無知態(tài)節(jié)點(diǎn)。t=1時(shí)刻，謠言開始傳播，令R（∞）表示謠言最終的傳播范圍。 實(shí)驗(yàn)分別在平均度為10的ER網(wǎng)絡(luò)、度分布指數(shù)為2.5和3.5的無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上進(jìn)行，實(shí)驗(yàn)結(jié)果是在這些網(wǎng)絡(luò)上模擬10-000次后取平均值得到的。 謠言傳播模型的參數(shù)γ設(shè)置為0.5。

為了對(duì)三種免疫策略的效果進(jìn)行進(jìn)一步的定量分析，還定義了參數(shù)R0（k），R0（k）表示所有度為k的感染態(tài)節(jié)點(diǎn)u在轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)之前感染的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)的平均值，可以反映出不同度的節(jié)點(diǎn)對(duì)于謠言傳播的貢獻(xiàn)。圖9（d）表示了在仿真結(jié)果上三種免疫策略對(duì)于R0（k）的影響，可以發(fā)現(xiàn)：策略1可以有效限制謠言在大度節(jié)點(diǎn)之間的傳播;類似的，策略2可以有效限制謠言在小度節(jié)點(diǎn)之間的傳播。

圖9（a）、（b）和（c）分別研究了在不同結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)上，不同的免疫策略對(duì)謠言傳播行為的影響。通過觀察這三個(gè)圖可以發(fā)現(xiàn)，與現(xiàn)有的隨機(jī)免疫策略相比，當(dāng)有效傳播概率λ/γ較小時(shí)，優(yōu)先免疫I（u，k）較大的邊的策略1對(duì)比隨機(jī)免疫策略可以更加有效地降低最終傳播范圍R（∞）。而隨著有效傳播概率λ/γ的增長(zhǎng)，采用優(yōu)先免疫I（u，k）較小的邊的策略2對(duì)比隨機(jī)免疫策略會(huì)有更好的效果，這個(gè)結(jié)果表明策略1和策略2在各自的有效區(qū)間上的免疫效果均超過了經(jīng)典免疫策略。接下來針對(duì)策略1和策略2在免疫效果上出現(xiàn)的交叉現(xiàn)象進(jìn)行進(jìn)一步的分析。首先定義參數(shù)T0（k），T0（k）表示網(wǎng)絡(luò)中度為k的節(jié)點(diǎn)參與到謠言傳播中的平均時(shí)間步長(zhǎng)度，這個(gè)參數(shù)可以一定程度上反映出不同度節(jié)點(diǎn)識(shí)破謠言所需的平均時(shí)長(zhǎng)，分別在有效傳播概率λ/γ為0.2和0.8時(shí)統(tǒng)計(jì)T0（k）隨k的變化情況。

圖9（e）表示了當(dāng)基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定為0.5且有效傳播概率λ/γ為0.2時(shí)T0（k）隨k的變化情況， 此時(shí)有效傳播概率λ/γ較小，謠言在網(wǎng)絡(luò)上的傳播相對(duì)較慢。在這種情況下，策略1有效減少了謠言在大度節(jié)點(diǎn)之間的傳播，避免了謠言通過大度節(jié)點(diǎn)擴(kuò)大傳播范圍，使得謠言的在一個(gè)有限的范圍內(nèi)傳播。而策略2減少的是謠言在小度節(jié)點(diǎn)之間的傳播，但謠言依然可以通過大度節(jié)點(diǎn)擴(kuò)散，使得最終的傳播范圍大于策略1的結(jié)果。

圖9（f）表示了當(dāng)基礎(chǔ)恢復(fù)概率γ固定為0.5且有效傳播概率λ/γ為0.8時(shí)T0（k）隨k的變化情況，此時(shí)有效傳播概率λ/γ較大，謠言更容易被節(jié)點(diǎn)接受，在網(wǎng)絡(luò)上的傳播也更加迅速。在這種情況下，策略1雖然免疫了大度節(jié)點(diǎn)之間的關(guān)鍵路徑，但由于謠言依然可以通過其他小度節(jié)點(diǎn)將謠言傳遞到大度節(jié)點(diǎn)處，因此策略1在此時(shí)效果不佳。此外，由于沒有對(duì)小度節(jié)點(diǎn)之間的傳播進(jìn)行限制，謠言會(huì)快速傳播到了一些與外部連接較少的小度節(jié)點(diǎn)處，并且這類傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)會(huì)因?yàn)閰⑴c謠言傳播的鄰居節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)較少，收到有關(guān)謠言的信息有限從而需要更多的時(shí)間步來轉(zhuǎn)變成恢復(fù)態(tài)。策略2有效減少了謠言在小度節(jié)點(diǎn)之間的傳播，而大度節(jié)點(diǎn)附近的節(jié)點(diǎn)雖然會(huì)接收到謠言但也會(huì)因?yàn)橛休^多參與到謠言傳播中的鄰居節(jié)點(diǎn)而能夠較快地轉(zhuǎn)變?yōu)榛謴?fù)態(tài)，因此在策略2下傳播態(tài)節(jié)點(diǎn)恢復(fù)所需的平均時(shí)間步要小于策略1時(shí)的情況。節(jié)點(diǎn)保持傳播態(tài)的時(shí)間步越短能夠傳播的謠言數(shù)量越少，因而在當(dāng)有效傳播概率λ/γ較大時(shí)策略2有更好的免疫效果。

6?結(jié)語

本文基于謠言傳播的相關(guān)研究，根據(jù)社交網(wǎng)絡(luò)中謠言在消退期的特點(diǎn)對(duì)傳播動(dòng)力學(xué)中的SIR傳播模型進(jìn)行改進(jìn)，并拓展了一套異質(zhì)邊劃分方法用于得到傳播范圍和爆發(fā)閾值這兩個(gè)傳播動(dòng)力學(xué)中的重要指標(biāo)。之后對(duì)模型進(jìn)行了理論分析和模擬仿真，說明了謠言消退期的特征對(duì)謠言在社交網(wǎng)絡(luò)上傳播的影響。在此基礎(chǔ)上提出了有效的謠言控制策略，并探討了有效傳播概率對(duì)不同策略免疫效果的影響。此外，社會(huì)傳播的加強(qiáng)效應(yīng)以及更真實(shí)復(fù)雜的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)對(duì)謠言傳播帶來的影響仍待進(jìn)一步探究，未來擬對(duì)該方向進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

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