• <tr id="yyy80"></tr>
  • <sup id="yyy80"></sup>
  • <tfoot id="yyy80"><noscript id="yyy80"></noscript></tfoot>
  • 99热精品在线国产_美女午夜性视频免费_国产精品国产高清国产av_av欧美777_自拍偷自拍亚洲精品老妇_亚洲熟女精品中文字幕_www日本黄色视频网_国产精品野战在线观看 ?

    唯一可著色圖研究進(jìn)展

    2019-12-23 01:34:20
    關(guān)鍵詞:子圖平面圖階數(shù)

    (蘭州大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 甘肅 蘭州 730000)

    1 引言及預(yù)備知識(shí)

    設(shè)G=(V,E)是一個(gè)無(wú)向簡(jiǎn)單圖.圖G的一個(gè)k-著色是指從G的頂點(diǎn)集V到顏色集 {1,2,…,k}的映射c,滿足對(duì)任意的uv∈E,有c(u)≠c(v). 圖G是k-可著色的,如果G有一個(gè)k-著色.圖G的色數(shù),記作(G),是指使得G為k-可著色的最小正整數(shù)k.若(G)=k,則稱G是k-色圖.顯然,圖G的每個(gè)k-著色c可以看作是對(duì)頂點(diǎn)集V的一個(gè)劃分 {V1,V2,…,Vk},其中,Vi表示分配到顏色i的所有頂點(diǎn)構(gòu)成的集合,i=1,2,…,k. 稱集合Vi為著色c的色類(lèi).易驗(yàn)證,每個(gè)Vi是圖G的獨(dú)立集.

    圖G的兩個(gè)k-著色c與c′稱為是等價(jià)的,如果由這兩種著色導(dǎo)出的V的無(wú)序劃分是相同的.圖G稱為唯一k-可著色的,如果(G)=k,且G的任意兩個(gè)k-著色是等價(jià)的. 也就是說(shuō),在不考慮顏色置換的情況下,G只有一個(gè)k-著色.可看出,唯一k-可著色圖G的所有k-著色導(dǎo)出的V的無(wú)序劃分是相同的.例如,完全圖Kn是唯一n-可著色圖.

    此外,唯一可著色圖可根據(jù)其色多項(xiàng)式來(lái)定義.設(shè)P(G,x)為圖G的色多項(xiàng)式,則G是唯一k-可著色圖當(dāng)且僅當(dāng)P(G,k)=k!,關(guān)于圖的色多項(xiàng)式的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[1-3].

    圖的唯一可著色問(wèn)題最早是由Chartwright等[4]在研究符號(hào)圖的著色時(shí)提出的(符號(hào)圖唯一可著色的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[5]).隨后,一般圖的唯一可著色問(wèn)題[6]以及平面圖的唯一可著色問(wèn)題[7]都有了研究.

    圖的唯一可著色問(wèn)題與經(jīng)典的圖著色問(wèn)題研究的側(cè)重點(diǎn)有所不同.經(jīng)典的圖著色問(wèn)題主要在刻畫(huà)給定圖的色數(shù),而唯一可著色問(wèn)題主要判斷哪些圖是唯一可著色的.

    根據(jù)唯一可著色的定義,知道并不是所有的圖是唯一可著色的.1980 年,Dailey[8]證明了對(duì)任意圖G,判斷G是否為唯一可著色圖的問(wèn)題是NP-完全的.因此,關(guān)于唯一可著色圖的研究主要集中在結(jié)構(gòu)特征、存在性以及構(gòu)造等方面.

    本文主要介紹唯一可著色圖研究的重要結(jié)論,特別是唯一3-可著色平面圖的相關(guān)結(jié)果.文中未給出的定義及符號(hào),請(qǐng)參照文獻(xiàn)[9].

    2 唯一可著色圖的性質(zhì)

    1968年,Chartwrigh等[4]初步刻畫(huà)了唯一可著色圖的特征,得到如下定理:

    定理2.1[4]若G是一個(gè)唯一k-可著色圖,則在G的每個(gè)k-著色下,G中任意兩個(gè)色類(lèi)導(dǎo)出的子圖是連通的.

    1969年,Harary等[6]進(jìn)一步得到了唯一k-可著色圖G的一些基本性質(zhì)如下.

    定理2.2[6]若G是唯一k-可著色圖,則:

    (1)G的每個(gè)同態(tài)像也是唯一可著色的;

    (2)若對(duì)G添加一個(gè)新頂點(diǎn)w,使得w與G的除一個(gè)外的每個(gè)色類(lèi)中的至少一個(gè)頂點(diǎn)相鄰,則所得到的圖是唯一k-可著色的;

    (3)若u是G中的一個(gè)度為k-1的頂點(diǎn),則G-u也是唯一可著色的.

    定理2.1是唯一可著色圖的一個(gè)簡(jiǎn)單但非常重要的結(jié)論.由定理2.1,容易得到下面的推論.

    推論2.1設(shè)G是一個(gè)n-階唯一k-可著色圖,則G至少含有e*(G)條邊,其中,

    由于(k-1)-樹(shù)是唯一k-可著色圖,且階數(shù)為n的(k-1)-樹(shù)恰含e*(G)條邊,因此推論2.1中的下界是可以取到的.一個(gè)圖G稱為k-樹(shù),如果G要么是k+1個(gè)頂點(diǎn)的完全圖,要么在G中存在一個(gè)頂點(diǎn)u,使得u的鄰域是一個(gè)包含k個(gè)頂點(diǎn)的團(tuán),且G-u仍是k-樹(shù).

    1981年,Truszczyński[10]研究了恰含e*(G) 條邊的n-階唯一k-可著色圖的性質(zhì).另外,記r(k)為團(tuán)數(shù)是k-1的唯一k-可著色圖的最小的階數(shù),Truszczyński證明了定理2.3.

    定理2.3[10]r(3)=12,r(4)=10,且對(duì)任意的k≥5,r(k)=k+5.

    2000年,Daneshgar等[11]通過(guò)引入唯一k-可著色圖的核的概念,推廣了 Truszczyński[10]得到的若干結(jié)果.唯一k-可著色圖G的核是指G中的一個(gè)導(dǎo)出子圖H,滿足H不含G的規(guī)模為1的色類(lèi)中的頂點(diǎn),也不含G的度數(shù)為k-1的頂點(diǎn).Daneshgar等[11]證明了對(duì)任意的k≥3,不存在邊數(shù)極小的(k,2k)-核,但對(duì)任意的k≥4,存在邊數(shù)極小的(k,2k+1)-核,其中(k,n)-核是指n-階唯一k-可著色的核.

    1990年,Xu[12]猜想如果G是一個(gè)階數(shù)為n,規(guī)模為e*(G)的唯一k-可著色圖,則G包含同構(gòu)于完全圖Kk的子圖.然而,在2001年,Akbari等[13]發(fā)現(xiàn)了一個(gè)階數(shù)為24的不含三角形的唯一3-可著色圖其邊數(shù)為45. 該結(jié)果否定了Xu[12]的猜想.更一般地,他們證明了對(duì)任意k≥3,存在邊數(shù)為e*(G)的不含Kk的唯一k-可著色圖.

    1973年,Wang等[14]得到了不含三角形的唯一k-可著色圖頂點(diǎn)數(shù)的一個(gè)下界.

    定理2.4[14]對(duì)任意k≥3,若唯一k-可著色圖G不含三角形,則G的頂點(diǎn)數(shù)嚴(yán)格大于k2+k-1.

    1978年,Bollobás[15]得到了一個(gè)圖G是唯一k-可著色的兩個(gè)充分條件.

    定理2.5[15]設(shè)G是一個(gè)n-階k-可著色圖,其中k≥2.

    1983 年,Tucker[16]通過(guò)引入圖的順序著色,研究了完美圖的唯一可著色問(wèn)題.一個(gè)圖G稱為完美圖,如果對(duì)G的任意一個(gè)導(dǎo)出子圖H,有(H)=ω(H)成立,其中ω(H)是指H的團(tuán)數(shù),即H的最大團(tuán)的頂點(diǎn)數(shù).Tucker[16]證明了對(duì)于兩類(lèi)完美圖G,G是順序k-可著色的當(dāng)且僅當(dāng)它是唯一k-可著色的.圖G稱為可比較圖,如果存在G的一個(gè)定向,使得其相鄰關(guān)系滿足傳遞性.圖G稱為弦圖,如果G的每個(gè)長(zhǎng)度大于等于4的圈均包含弦.

    定理2.6[16]若G或G的補(bǔ)圖是可比較圖或弦圖,則G是順序k-可著色的當(dāng)且僅當(dāng)它是唯一k-可著色的.

    另外,Tucker[16]提出如下猜想:

    猜想2.1[16]設(shè)G是完美圖,則G是順序k-可著色的當(dāng)且僅當(dāng)它是唯一k-可著色的.

    關(guān)于完美圖的唯一可著色的研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[17-18],以及關(guān)于強(qiáng)完美圖猜想的綜述[19].

    1998 年,Mahmoodian[20]引入了圖著色的定義集來(lái)研究唯一可著色圖.圖G著色的定義集是指G的一個(gè)帶有顏色的頂點(diǎn)子集S,滿足S的著色能唯一地?cái)U(kuò)展為G的一個(gè)(G)-著色.

    1999年,Hajiabolhassan等[21]證明了如下定理:

    定理2.7[21]圖G是唯一可著色的當(dāng)且僅當(dāng)G的任意著色c:V(G)→{1,2,…,(G)}的所有極小定義集恰包含(G)-1個(gè)頂點(diǎn).

    2003 年,Daneshgar等[22]進(jìn)一步討論了與圖的唯一可著色和定義集相關(guān)的若干參數(shù).

    2008 年,Hillar等[23]利用代數(shù)的方法刻畫(huà)了唯一可著色圖的性質(zhì),并給出了判斷一個(gè)圖是否唯一可著色的算法,利用該算法,他們驗(yàn)證了Akbari等[13]給出的關(guān)于Xu[12]的猜想反例.

    3 唯一可著色圖的存在性和構(gòu)造

    關(guān)于圍長(zhǎng)較大的唯一k-可著色圖的研究主要分為存在性和構(gòu)造兩個(gè)方面.事實(shí)上,多數(shù)有關(guān)存在性的證明都采用的是構(gòu)造的方法.

    1969年,Harary等[6]首先構(gòu)造了一個(gè)不含三角形的唯一3-可著色圖F(如圖1所示),并通過(guò)F與完全圖Kk-3的聯(lián)運(yùn)算,得到如下結(jié)論:

    定理3.1[6]對(duì)所有的k≥3,存在一個(gè)不含Kk的唯一k-可著色圖.

    圖1 一個(gè)不含三角形的唯一3-可著色圖FFig.1 An uniquely 3-colorable graph F without triangles

    注:在Harary等[6]的文章中,構(gòu)造的圖F存在錯(cuò)誤,沒(méi)有將邊v1v4,v2v3連接.

    定理3.2[26]對(duì)任意的k≥1,存在不含三角形的唯一k-可著色圖.

    1974年,Greenwell等[27]考慮了存在不含短奇圈的情況.

    定理3.3[27]對(duì)任意的k≥3和給定的s,存在唯一k-可著色圖,其不含長(zhǎng)度小于等于s的奇圈.

    1975年,Müller[28]解決了此問(wèn)題的一般情形(也見(jiàn)文獻(xiàn)[25]),即證明了定理3.4.

    定理3.4[28]對(duì)任意的正整數(shù)k(≥3)和t,存在唯一k-可著色圖,其不含長(zhǎng)度小于等于t的圈.

    其中Müller采用的也是構(gòu)造的方法.1976年,Bollobás等[29]給出了一種非構(gòu)造性的方法,即概率方法證明了此結(jié)論.

    1998年,Emden-Weinert等[30]也利用概率方法,得到了一個(gè)帶有頂點(diǎn)數(shù)和最大度條件限制的結(jié)論.

    定理3.5[30]對(duì)任意給定的正整數(shù)k和g,存在圍長(zhǎng)至少為g的唯一k-可著色圖,滿足其頂點(diǎn)數(shù)不超過(guò)k12(g+1),最大度不超過(guò)5k13.

    兩個(gè)圖G和H的弱積,記為G×H,其頂點(diǎn)集為V(G×H)=V(G)×V(H),邊{(u,v),(u′,v′)} ∈E(G×H)當(dāng)且僅當(dāng)uu′∈E(G)且vv′∈E(H).

    Greenwell等[27]在研究不含短奇圈的唯一k-可著色圖的存在性時(shí),主要利用了唯一可著色圖與完全圖的弱積圖的唯一可著色性的關(guān)系.他們證明了若H是連通圖且(H)≥n+1,則H和完全圖Kn的弱積圖H×Kn是唯一n-可著色的.1985 年,Duffus等[31]進(jìn)一步研究了弱積圖的唯一可著色性質(zhì),證明了若G和H都是包含Kk的唯一k-可著色圖,則G×H也是唯一k-可著色的.特別,對(duì)圖1所示的F以及任意4-色圖H,F(xiàn)×H是唯一3-可著色的.

    1974 年,Osterweil[32]通過(guò)引入6-團(tuán)環(huán)構(gòu)造了一類(lèi)唯一3-可著色圖,并說(shuō)明可通過(guò)6-團(tuán)環(huán)構(gòu)造其它的唯一3-可著色圖類(lèi)以及唯一k-可著色圖類(lèi),其中k≥3.

    1996 年,Chia[33]結(jié)合圖的自同構(gòu)群方法,將Osterweil[32]給出的構(gòu)造唯一3-可著色圖的方法推廣到了唯一k-可著色圖上,其中k>3.

    1974 年,Nieminen[34]構(gòu)造了一類(lèi)非唯一k-可著色圖G,滿足在G的任意k-著色下的q個(gè)色類(lèi)導(dǎo)出的子圖是唯一q-可著色的,其中q≤k-1,k≥3.

    1993年,Chao等[35]通過(guò)構(gòu)造的方法證明了存在一類(lèi)不含三角形的唯一3-可著色的正則圖,這類(lèi)圖含有(24)2k個(gè)頂點(diǎn),每個(gè)頂點(diǎn)的度數(shù)均為k+5;從而得到如下定理:

    定理3.6[35]對(duì)任意正整數(shù)k≥3,存在一類(lèi)不含Kk的唯一k-可著色正則圖.

    進(jìn)一步,在1998年Chao等[36]也通過(guò)構(gòu)造的方法證明了定理3.7.

    定理3.7[36]對(duì)任意的正整數(shù)n與r≥5,存在一類(lèi)含(26)n·2r-5個(gè)頂點(diǎn)的r-正則唯一3-可著色圖.

    1997年,Daneshgar[37](也見(jiàn)文獻(xiàn)[38])引入了強(qiáng)迫技術(shù)來(lái)研究唯一可著色圖的構(gòu)造.對(duì)任意的正整數(shù)t和充分大的正整數(shù)k,Daneshgar利用強(qiáng)迫技術(shù),構(gòu)造了團(tuán)數(shù)為k-t的唯一k-可著色圖,并分析了所構(gòu)造圖G的參數(shù)Λ(G)=|E(G)|-e*(G)的若干性質(zhì).

    2007 年,Zhao等[39]利用遞歸的方法,構(gòu)造了一類(lèi)頂點(diǎn)數(shù)為n,邊數(shù)為e*(G),且最小度為k的唯一k-可著色圖.

    2016年,筆者等[40]給出了3種遞歸構(gòu)造唯一3-可著色圖的方法,可通過(guò)階數(shù)較小的唯一3-可著色圖構(gòu)造階數(shù)較大的唯一3-可著色圖.并且,給出了Xu[12]猜想的一個(gè)簡(jiǎn)單反例G16,如圖2所示.此圖是不含三角形的唯一3-可著色圖,其頂點(diǎn)數(shù)為16,邊數(shù)為29.

    圖2 唯一3-可著色圖 G16Fig.2 An uniquely 3-colorable graph G16

    在圖G16的基礎(chǔ)上,筆者構(gòu)造了一類(lèi)4-正則且不含三角形的唯一3-可著色圖.結(jié)合定理3.7可得到定理3.8:

    定理3.8[40]對(duì)任意正整數(shù)r≥4,存在一類(lèi)r-正則唯一3-可著色圖.

    4 唯一可著色平面圖

    1969年,Chartrand等[7]開(kāi)始對(duì)平面圖的唯一可著色問(wèn)題展開(kāi)研究.唯一1-可著色平面圖是平凡的,即只有K1. 容易證明,唯一2-可著色平面圖只有連通的平面二部圖.對(duì)于更一般的情況,他們證明了定理4.1.

    定理4.1[7](1)至少含4個(gè)頂點(diǎn)的唯一3-可著色平面圖至少包含2個(gè)三角形;

    (2)唯一4-可著色平面圖是極大平面圖;

    (3)不存在唯一5-可著色的平面圖.

    特別,設(shè)G是一個(gè)色數(shù)為3的平面圖.如果G包含三角形T,使得對(duì)G中任意頂點(diǎn)v有一個(gè)三角形序列T,T1,T2,…,Tm,序列中相繼的三角形有一條公共邊,而v在Tm中,則G是唯一3-可著色的.

    對(duì)唯一4-可著色平面圖,有下面的猜想:

    猜想4.1[41]若極大平面圖G是唯一4-可著色的,則G是遞歸極大平面圖.其中G稱為遞歸極大平面圖,如果G可在K4的基礎(chǔ)上通過(guò)不斷地在某個(gè)3-度面上嵌入3-度頂點(diǎn)得到.

    猜想4.1也被稱為唯一4-可著色平面圖猜想,該猜想最初是以邊著色的形式提出的.因?yàn)橐粋€(gè)給定的平面圖與其對(duì)偶圖是相互對(duì)應(yīng)的,故平面圖的點(diǎn)著色、面著色以及邊著色在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.

    1973 年,Greenwell等[42]首先研究了圖的唯一邊著色問(wèn)題.Fiorini等[43],及Fisk[44]于1977年分別提出了下述猜想:

    猜想4.2[43-44]每個(gè)至少有4個(gè)頂點(diǎn)的唯一3-邊可著色立方平面圖包含三角形.

    根據(jù)一個(gè)平面圖與其對(duì)偶圖的結(jié)構(gòu)特征,易證明猜想4.1與猜想4.2是等價(jià)的.1988年, Hind[45]證明了猜想4.2的極小反例不含長(zhǎng)為4的圈.1996年,Goldwasser等[46]證明了猜想4.2的極小反例是循環(huán)5-邊連通的.1998年,F(xiàn)owler[47]在其博士論文中利用類(lèi)似于證明四色定理的方法給出了猜想4.1的一個(gè)證明,但該證明未見(jiàn)正式發(fā)表.

    1977年,Aksionov[48]改進(jìn)了唯一3-可著色平面圖中三角形數(shù)的下界,并且,詳細(xì)刻畫(huà)了恰含3個(gè)三角形的唯一3-可著色平面圖的結(jié)構(gòu)特征.

    定理4.2[48]階數(shù)大于等于6的唯一3-可著色平面圖G至少包含3個(gè)三角形.并且,若G恰含3個(gè)三角形,則:

    (1)G中的3個(gè)三角形依次相鄰;

    (2)G的所有面部圈中除3個(gè)3-圈,1個(gè)5-圈以外,其余面部圈均為4-圈;

    (3)G的面部5-圈的邊界上存在一個(gè)2-度頂點(diǎn).

    2017年,筆者等[49]對(duì)恰含4個(gè)三角形的唯一3-可著色平面圖的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了刻畫(huà),得到以下定理4.3.

    定理4.3[49]若階數(shù)大于等于6的唯一3-可著色平面圖G恰含4個(gè)三角形,則 0≤|E(G)|-2|V(G)|+3≤1,且:

    (1)當(dāng)|E(G)|-2|V(G)|+3=1時(shí),對(duì)任意的i≥5,G中不存在i-度面;

    (2)當(dāng)|E(G)|-2|V(G)|+3=0時(shí),F(xiàn)5+(G) 中只包含兩個(gè)5-度面或一個(gè)6-度面,其中F5+(G) 表示G中所有度數(shù)大于等于5的面構(gòu)成的集合.

    設(shè)G是一個(gè)唯一k-可著色圖,如果對(duì)任意的邊e∈E(G),都有G-e不是唯一k-可著色的,則G稱為邊臨界的.記size(n)為n個(gè)頂點(diǎn)的邊臨界唯一3-可著色平面圖的邊數(shù)的最小上界.

    Aksionov 在文獻(xiàn)[48]中猜想:size(n)= 2n-3且每個(gè)唯一3-可著色平面圖包含相鄰三角形.

    然而,在同一年,Mel’nikov等[50]構(gòu)造了一個(gè)反例G(如圖3所示),圖G包含16個(gè)頂點(diǎn)和30條邊且不含相鄰三角形,從而否定了 Aksionov 提出的猜想.

    圖3 Mel’nikov等猜想的反例及其3-著色

    Fig.3 A counterexample of the Mel’nikov and Steinberg’s conjecture and its 3-coloring

    對(duì)唯一3-可著色平面圖中是否存在相鄰三角形的問(wèn)題,筆者等[49]給出了下面的結(jié)論:

    定理4.4[49]若唯一3-可著色平面圖G中的三角形數(shù)不超過(guò)4,則G包含相鄰三角形.

    并且,對(duì)任意大于等于5的整數(shù)k,構(gòu)造了唯一3-可著色平面圖G,滿足G包含k個(gè)三角形,但不含相鄰三角形 (如圖4 所示).

    此外,Mel’nikov等證明了圖3所示的平面圖G是邊臨界的.將G復(fù)制多次,并將其粘連起來(lái),也就是說(shuō),使得這些圖依次有一條公共邊,這樣可得到一類(lèi)邊臨界唯一3-可著色平面圖.基于此,Mel’nikov等提出了下面的問(wèn)題:

    圖4 不含相鄰三角形的唯一3-可著色平面圖構(gòu)造

    Fig.4 Construction of uniquely 3-colorable planar graphs without adjacent triangles

    問(wèn)題4.2[50]是否存在整數(shù)n0,使得若一個(gè)平面圖G中的任意兩個(gè)三角形的距離大于等于n0,則G不是唯一3-可著色的? 有可能n0=1.

    圖5 Matsumoto 構(gòu)造的邊臨界唯一3-可著色平面圖

    Fig.5 The edge-critical uniquely 3-colorable planar graph constructed by Matsumoto

    另外,Matsumoto 引入了Δ-面圈的概念.對(duì)一個(gè)平面圖G,G中的一個(gè)Δ-面圈C=T1T2…Tk是指G的由k個(gè)三角形Ti的頂點(diǎn)和邊構(gòu)成的子圖,其中Ti與Ti+1有一條公共邊,i=1,2,…,k,且Tk+1=T1. 例如,圖6所示的圖是一個(gè)Δ-面圈.

    圖6 一個(gè)Δ-面圈Fig.6 A Δ-face cycle

    通過(guò)證明邊臨界唯一3-可著色平面圖不含Δ-面圈,Matsumoto 得到定理4.5.

    筆者通過(guò)分析唯一3-可著色平面圖中Tri-子圖的性質(zhì),改進(jìn)了Matsumoto 得到的關(guān)于size(n)的上界.設(shè)G是唯一3-可著色平面圖,H是由三角形序列T1,T2,…,Tt構(gòu)成的G的子圖,且對(duì)每個(gè)Tj,存在i∈{1,2,…,j-1}使得Tj與Ti有公共邊,其中j=2,3,…,t,則稱H為G的Tri-子圖.G的一個(gè)Tri-子圖稱為極大的,如果G中不存在Tri-子圖H′,使得H?H′.

    定理4.6[52]設(shè)G是一個(gè)唯一3-可著色平面圖且G不含分離3-圈,G0是G的一個(gè)唯一3-可著色子圖,且H1,H2分別是G的兩個(gè)極Tri-子圖.若E(G0)∩E(Hi)=?, 其中i=1,2, 則有

    (1)G0和Hi至多有一個(gè)公共頂點(diǎn),其中i=1,2;

    (2)對(duì)任意的i∈{1,2},有e(V(G0),V(Hi))≤3,特別,若G0和Hi有一個(gè)公共頂點(diǎn)v, 則e(V(G0-v),V(Hi-v))≤1;

    (3)若H1與H2有一個(gè)公共頂點(diǎn)v,G0與Hi有一個(gè)公共頂點(diǎn)vi且v≠vi, 其中i=1,2, 則G0,H1與H2的并是唯一3-可著色的.

    進(jìn)一步,引入并分析了唯一3-可著色平面圖的Tri-特征圖的結(jié)構(gòu)特征(詳細(xì)定義參見(jiàn)文獻(xiàn)[52]),在此基礎(chǔ)上證明了定理4.7.

    另外,筆者證明了定理4.8.

    定理4.8[53]任意唯一3-可著色平面圖包含一個(gè)3-度面與一個(gè)k-度面相鄰,其中3≤k≤5;進(jìn)一步,采用構(gòu)造的方法,證明了存在唯一3-可著色平面圖,其中每個(gè)3-度面既不與i-度面相鄰,也不與j-度面相鄰,其中i,j∈{3,4,5} 且i≠j.

    同時(shí),提出如下猜想:

    猜想4.3[53]設(shè)G是3-連通唯一3-可著色平面圖,則G中存在3-度面與k-度面相鄰,其中3≤k≤4.

    圖7 不包含相鄰3-度面與3-度面、相鄰3-度面與5-度面的唯一3-可著色平面圖

    Fig.7 An uniquely 3-colorable planar graph with neither adjacent 3-face and 3-face nor adjacent 3-face and 5-face

    推論4.1[53]任意滿足n≥11和n≡2(mod 3)的奇數(shù)n,有

    猜想4.5設(shè)G是一個(gè)唯一3-可著色平面圖,則G中存在兩個(gè)含有公共頂點(diǎn)的三角形.

    5 結(jié)論與相關(guān)研究

    本文對(duì)唯一可著色圖,特別是唯一3-可著色平面圖的相關(guān)研究結(jié)果進(jìn)行了綜述,主要從結(jié)構(gòu)性質(zhì)、存在性、構(gòu)造等方面對(duì)其展開(kāi)介紹,并總結(jié)了一些目前尚未解決的問(wèn)題.

    類(lèi)似于唯一可著色圖,唯一邊可著色圖和唯一全可著色圖的問(wèn)題也被相繼提出并進(jìn)行研究.

    圖G的一個(gè)k-邊著色是指從E到顏色集 {1,2,…,k}的映射f,滿足對(duì)任意的xy∈E,有f(x)≠f(y).圖G的邊色數(shù),記作′(G),是指使得G有k-邊著色的最小正整數(shù)k.圖G稱為唯一邊可著色的,如果E可以被唯一地劃分為′(G)個(gè)色類(lèi).關(guān)于唯一邊可著色圖,有下面重要結(jié)論:

    定理5.1[54]對(duì)任意k≥4,唯一k-邊可著色圖只有星K1,k.

    定理5.1最初是Wilson 于 1967年提出的猜想,被Thomason 于 1978年給出了證明.當(dāng)k=1或k=2時(shí),判斷唯一k-邊可著色圖的問(wèn)題是平凡的.當(dāng)k=3時(shí),有許多相關(guān)研究結(jié)果和未解決的問(wèn)題[42,54-57].

    猜想5.1[55]設(shè)G是一個(gè)唯一3-邊可著色簡(jiǎn)單立方圖,則G包含Petersen-子式或三角形.

    猜想5.2[56]設(shè)G是一個(gè)唯一3-邊可著色簡(jiǎn)單立方圖,則G包含snark-子式或三角形.

    圖G的一個(gè)k-全著色[58]是指從V∪E到顏色集{1,2,…,k}的映射f,滿足對(duì)任意的相鄰或關(guān)聯(lián)元素x,y∈V∪E,有f(x)≠f(y),其中頂點(diǎn)u與邊e關(guān)聯(lián)是指u是e的一個(gè)端點(diǎn).圖G的全色數(shù),記作″(G),是指使得G有k-全著色的最小正整數(shù)k.圖G稱為唯一全可著色的,如果V∪E可以被唯一地劃分為″(G)個(gè)色類(lèi).例如,路和長(zhǎng)為n(n≡0mod3)的圈是唯一全可著色圖.1995年,Mahmoodian等[59]提出了如下猜想:

    猜想5.3[59]除空?qǐng)D、路和長(zhǎng)為n(n≡0mod3)的圈之外,再?zèng)]有唯一全可著色圖.

    1997年和2003年,Akbari 等[60-61]得到了唯一全可著色圖的若干性質(zhì),并證明了一些圖類(lèi)不是唯一全可著色的,部分肯定了猜想5.3.

    猜你喜歡
    子圖平面圖階數(shù)
    關(guān)于無(wú)窮小階數(shù)的幾點(diǎn)注記
    確定有限級(jí)數(shù)解的階數(shù)上界的一種n階展開(kāi)方法
    《別墅平面圖》
    《別墅平面圖》
    《景觀平面圖》
    臨界完全圖Ramsey數(shù)
    平面圖的3-hued 染色
    基于頻繁子圖挖掘的數(shù)據(jù)服務(wù)Mashup推薦
    一種新的多址信道有效階數(shù)估計(jì)算法*
    關(guān)于動(dòng)態(tài)電路階數(shù)的討論
    国产精品三级大全| 国产淫片久久久久久久久| 人人妻人人看人人澡| 高清毛片免费看| 在线观看免费高清a一片| 亚洲av欧美aⅴ国产| 99久久精品一区二区三区| 特大巨黑吊av在线直播| 免费看日本二区| 中文字幕免费在线视频6| 夜夜爽夜夜爽视频| 欧美日韩综合久久久久久| 日韩在线高清观看一区二区三区| 大陆偷拍与自拍| 久久精品国产自在天天线| 中文精品一卡2卡3卡4更新| 黄色怎么调成土黄色| 国内精品宾馆在线| 又爽又黄a免费视频| 午夜视频国产福利| 亚洲在线观看片| www.av在线官网国产| 纵有疾风起免费观看全集完整版| 亚洲综合色惰| 最近中文字幕高清免费大全6| 久久久色成人| 国产探花在线观看一区二区| 插逼视频在线观看| 草草在线视频免费看| 亚洲精品国产色婷婷电影| 中文乱码字字幕精品一区二区三区| 欧美成人精品欧美一级黄| 乱码一卡2卡4卡精品| 国产成人一区二区在线| 91久久精品电影网| 国产一区亚洲一区在线观看| 青青草视频在线视频观看| 国产人妻一区二区三区在| 国产爽快片一区二区三区| 18+在线观看网站| 国产av码专区亚洲av| 国产真实伦视频高清在线观看| 我要看日韩黄色一级片| 国产老妇伦熟女老妇高清| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 午夜免费男女啪啪视频观看| 制服丝袜香蕉在线| 有码 亚洲区| 午夜老司机福利剧场| 美女高潮的动态| 特级一级黄色大片| 欧美精品人与动牲交sv欧美| 18禁裸乳无遮挡动漫免费视频 | 国产一级毛片在线| 大又大粗又爽又黄少妇毛片口| 国产成人精品福利久久| 综合色av麻豆| 国产精品一区www在线观看| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 日韩在线高清观看一区二区三区| 午夜日本视频在线| 舔av片在线| 久久国内精品自在自线图片| 乱码一卡2卡4卡精品| 黄色配什么色好看| av免费观看日本| 亚洲精品久久午夜乱码| 热re99久久精品国产66热6| 亚洲av成人精品一区久久| 免费大片黄手机在线观看| 精华霜和精华液先用哪个| 免费av毛片视频| 久久精品人妻少妇| 五月天丁香电影| 亚洲伊人久久精品综合| 高清午夜精品一区二区三区| 美女被艹到高潮喷水动态| 国产一级毛片在线| 国产中年淑女户外野战色| 在线观看国产h片| 最近最新中文字幕免费大全7| 亚洲欧美日韩无卡精品| 高清午夜精品一区二区三区| 欧美三级亚洲精品| 国产亚洲5aaaaa淫片| av又黄又爽大尺度在线免费看| 王馨瑶露胸无遮挡在线观看| 男女无遮挡免费网站观看| 久久久久久久久久人人人人人人| 日韩不卡一区二区三区视频在线| 麻豆国产97在线/欧美| 久久久久网色| 午夜精品一区二区三区免费看| .国产精品久久| 少妇人妻一区二区三区视频| 我要看日韩黄色一级片| 免费观看的影片在线观看| 欧美日韩亚洲高清精品| 久久久久久久久久成人| 91aial.com中文字幕在线观看| 久久久久久久午夜电影| 亚洲综合精品二区| 中文字幕免费在线视频6| 国产色爽女视频免费观看| 又爽又黄a免费视频| 人妻系列 视频| 久久ye,这里只有精品| 亚洲精品色激情综合| 国产色婷婷99| 人妻少妇偷人精品九色| 精品久久久久久久末码| 亚洲怡红院男人天堂| av播播在线观看一区| 在线看a的网站| 成人亚洲欧美一区二区av| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国产伦精品一区二区三区视频9| 午夜亚洲福利在线播放| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 欧美高清性xxxxhd video| 99久久精品一区二区三区| 寂寞人妻少妇视频99o| 99热网站在线观看| 性色avwww在线观看| 亚洲久久久久久中文字幕| 大陆偷拍与自拍| 国产精品av视频在线免费观看| 亚洲,一卡二卡三卡| 国产精品伦人一区二区| 日本熟妇午夜| 菩萨蛮人人尽说江南好唐韦庄| 国产高清有码在线观看视频| 极品教师在线视频| 欧美激情国产日韩精品一区| 日韩欧美精品v在线| 91精品伊人久久大香线蕉| 成人二区视频| 国产毛片a区久久久久| 国产午夜精品久久久久久一区二区三区| 国国产精品蜜臀av免费| 国产 精品1| 欧美97在线视频| 成年女人看的毛片在线观看| 一边亲一边摸免费视频| 久久精品夜色国产| 色5月婷婷丁香| 欧美精品一区二区大全| 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 日日啪夜夜爽| 久久精品国产亚洲av涩爱| 午夜福利网站1000一区二区三区| 国国产精品蜜臀av免费| 99久国产av精品国产电影| 观看免费一级毛片| 天堂中文最新版在线下载 | 国产高潮美女av| 一区二区av电影网| 毛片一级片免费看久久久久| 欧美成人午夜免费资源| av天堂中文字幕网| 一本—道久久a久久精品蜜桃钙片 精品乱码久久久久久99久播 | 天美传媒精品一区二区| 成年免费大片在线观看| 尾随美女入室| freevideosex欧美| av一本久久久久| 午夜爱爱视频在线播放| 午夜免费男女啪啪视频观看| 亚州av有码| 一级a做视频免费观看| 精品久久久精品久久久| 狠狠精品人妻久久久久久综合| 久久精品国产亚洲av涩爱| 日韩中字成人| 91精品伊人久久大香线蕉| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产精品一区二区三区四区免费观看| av国产免费在线观看| 黄色怎么调成土黄色| 久久精品久久久久久久性| 亚洲人成网站在线观看播放| 亚洲自拍偷在线| 嫩草影院新地址| 18禁动态无遮挡网站| 99re6热这里在线精品视频| 2022亚洲国产成人精品| 欧美性猛交╳xxx乱大交人| 国产乱来视频区| 看黄色毛片网站| 婷婷色麻豆天堂久久| 综合色av麻豆| 成人鲁丝片一二三区免费| 内射极品少妇av片p| 国产精品成人在线| 一二三四中文在线观看免费高清| 亚洲av在线观看美女高潮| 中文字幕人妻熟人妻熟丝袜美| av天堂中文字幕网| 七月丁香在线播放| 男人和女人高潮做爰伦理| 国产精品一二三区在线看| 麻豆成人av视频| 亚洲成人中文字幕在线播放| 插阴视频在线观看视频| 欧美潮喷喷水| 国产亚洲5aaaaa淫片| 夫妻午夜视频| 久久99热6这里只有精品| 欧美日本视频| 日本色播在线视频| 午夜免费鲁丝| 成年av动漫网址| 成人亚洲精品一区在线观看 | 成人高潮视频无遮挡免费网站| 国产精品成人在线| 校园人妻丝袜中文字幕| 亚洲图色成人| 成人毛片a级毛片在线播放| 一级a做视频免费观看| 97精品久久久久久久久久精品| 午夜免费男女啪啪视频观看| 26uuu在线亚洲综合色| 久久97久久精品| 精品99又大又爽又粗少妇毛片| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 人人妻人人澡人人爽人人夜夜| a级毛色黄片| 一区二区三区四区激情视频| 亚洲国产精品成人久久小说| 亚洲欧美成人精品一区二区| 国产一区二区在线观看日韩| 禁无遮挡网站| 久热这里只有精品99| 亚洲精品自拍成人| 亚洲欧美日韩卡通动漫| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 在线天堂最新版资源| 五月伊人婷婷丁香| 成人亚洲精品一区在线观看 | 一级a做视频免费观看| 亚洲av.av天堂| 国产黄频视频在线观看| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 天天一区二区日本电影三级| kizo精华| 日韩欧美一区视频在线观看 | 22中文网久久字幕| 全区人妻精品视频| av天堂中文字幕网| 亚洲电影在线观看av| 1000部很黄的大片| 中文天堂在线官网| 精华霜和精华液先用哪个| 日本色播在线视频| 亚洲久久久久久中文字幕| 最近手机中文字幕大全| 又爽又黄无遮挡网站| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 国产成人91sexporn| 2021少妇久久久久久久久久久| 欧美一级a爱片免费观看看| 国产av码专区亚洲av| 国产成人91sexporn| 日韩亚洲欧美综合| 伦精品一区二区三区| 久久精品国产自在天天线| 国产免费一区二区三区四区乱码| 亚洲三级黄色毛片| 婷婷色麻豆天堂久久| 91久久精品国产一区二区成人| 国产亚洲av片在线观看秒播厂| 日韩欧美 国产精品| 亚洲精品国产成人久久av| 亚洲精品第二区| 国产成人精品福利久久| 爱豆传媒免费全集在线观看| 超碰97精品在线观看| 免费av不卡在线播放| 国产av不卡久久| 亚洲精品成人av观看孕妇| 九草在线视频观看| 免费不卡的大黄色大毛片视频在线观看| 成年人午夜在线观看视频| 国产午夜精品一二区理论片| 精品国产乱码久久久久久小说| 日本一二三区视频观看| 熟女av电影| 亚洲美女视频黄频| 一本一本综合久久| 最近最新中文字幕免费大全7| 插阴视频在线观看视频| 久久亚洲国产成人精品v| 精品国产露脸久久av麻豆| 欧美性感艳星| 精品一区二区三卡| 精品国产乱码久久久久久小说| 亚洲欧美日韩另类电影网站 | 亚洲图色成人| 久久久亚洲精品成人影院| 一级片'在线观看视频| 欧美成人精品欧美一级黄| 亚洲av欧美aⅴ国产| 搡女人真爽免费视频火全软件| 视频中文字幕在线观看| 国产色婷婷99| 日韩伦理黄色片| 国内精品宾馆在线| 高清毛片免费看| freevideosex欧美| 婷婷色综合www| 国产成人一区二区在线| 男人舔奶头视频| 亚洲,一卡二卡三卡| 精品久久久噜噜| 国产精品福利在线免费观看| 美女cb高潮喷水在线观看| 久久精品国产亚洲av天美| 国内精品美女久久久久久| 91久久精品国产一区二区三区| 亚洲美女搞黄在线观看| 亚洲精品视频女| 18禁在线无遮挡免费观看视频| 青春草视频在线免费观看| 国产 一区精品| 国产亚洲av嫩草精品影院| 色5月婷婷丁香| 亚洲精品乱久久久久久| 国产亚洲一区二区精品| 亚洲欧美一区二区三区黑人 | 亚洲,一卡二卡三卡| 欧美成人午夜免费资源| 波野结衣二区三区在线| 国产成人福利小说| 久久精品国产鲁丝片午夜精品| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 观看美女的网站| 尤物成人国产欧美一区二区三区| 汤姆久久久久久久影院中文字幕| 在线免费十八禁| 精品少妇黑人巨大在线播放| 丰满乱子伦码专区| 亚洲人成网站在线播| 国产永久视频网站| 日韩强制内射视频| 又爽又黄无遮挡网站| 亚洲国产高清在线一区二区三| 夫妻午夜视频| 亚洲久久久久久中文字幕| 久久热精品热| 免费观看无遮挡的男女| 国产精品国产三级国产专区5o| 在线免费观看不下载黄p国产| 99久久九九国产精品国产免费| 久久亚洲国产成人精品v| 国产男女超爽视频在线观看| 波野结衣二区三区在线| 亚洲精品aⅴ在线观看| 亚洲精品亚洲一区二区| 国产真实伦视频高清在线观看| 哪个播放器可以免费观看大片| 久久久成人免费电影| 久久久久久伊人网av| 丰满人妻一区二区三区视频av| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| videossex国产| 日韩一区二区视频免费看| 欧美日韩在线观看h| 国产亚洲av嫩草精品影院| 麻豆成人av视频| 七月丁香在线播放| 免费看日本二区| 国产高潮美女av| 超碰av人人做人人爽久久| 精品久久久噜噜| 日韩精品有码人妻一区| 亚洲精品第二区| 制服丝袜香蕉在线| 亚洲aⅴ乱码一区二区在线播放| 午夜视频国产福利| 中文欧美无线码| 亚洲最大成人手机在线| 免费大片黄手机在线观看| 久久精品综合一区二区三区| 国产大屁股一区二区在线视频| 国产精品福利在线免费观看| 在线 av 中文字幕| 99视频精品全部免费 在线| 激情五月婷婷亚洲| 真实男女啪啪啪动态图| 美女主播在线视频| 天堂俺去俺来也www色官网| 九九在线视频观看精品| 中国国产av一级| 国产日韩欧美在线精品| 亚洲伊人久久精品综合| 成年av动漫网址| 亚洲av中文av极速乱| 一本久久精品| 日韩国内少妇激情av| 国产一区二区亚洲精品在线观看| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产精品偷伦视频观看了| 亚洲va在线va天堂va国产| 国产一区二区三区综合在线观看 | 亚洲欧美日韩东京热| 久久久国产一区二区| 欧美日韩亚洲高清精品| 寂寞人妻少妇视频99o| 听说在线观看完整版免费高清| 中文字幕久久专区| 色吧在线观看| 国产爽快片一区二区三区| 亚洲真实伦在线观看| 久久久久精品性色| 高清午夜精品一区二区三区| 亚洲高清免费不卡视频| 免费看光身美女| av又黄又爽大尺度在线免费看| 在线亚洲精品国产二区图片欧美 | av又黄又爽大尺度在线免费看| 国产v大片淫在线免费观看| 国内少妇人妻偷人精品xxx网站| 美女cb高潮喷水在线观看| 尾随美女入室| 久久久久久久午夜电影| 精品视频人人做人人爽| 免费av毛片视频| 中文字幕制服av| 永久网站在线| 午夜免费男女啪啪视频观看| 黑人高潮一二区| 中文字幕亚洲精品专区| 日本-黄色视频高清免费观看| 午夜亚洲福利在线播放| 岛国毛片在线播放| 好男人视频免费观看在线| 久久久久久久久久人人人人人人| 男人爽女人下面视频在线观看| 亚洲电影在线观看av| 午夜爱爱视频在线播放| 精品人妻视频免费看| 蜜桃久久精品国产亚洲av| 国产精品国产三级国产av玫瑰| 午夜精品一区二区三区免费看| 2018国产大陆天天弄谢| kizo精华| 91精品伊人久久大香线蕉| 99视频精品全部免费 在线| 亚洲精品国产av成人精品| 麻豆久久精品国产亚洲av| 在线 av 中文字幕| 午夜日本视频在线| 国产精品蜜桃在线观看| 97超视频在线观看视频| av专区在线播放| 日韩强制内射视频| 黄色一级大片看看| 国语对白做爰xxxⅹ性视频网站| 欧美日韩一区二区视频在线观看视频在线 | 97精品久久久久久久久久精品| 国产精品国产三级专区第一集| 美女高潮的动态| 免费大片18禁| 99re6热这里在线精品视频| 91久久精品国产一区二区成人| 免费av不卡在线播放| 国产老妇伦熟女老妇高清| 久久久午夜欧美精品| 免费看av在线观看网站| 精品一区二区免费观看| 午夜免费观看性视频| 久久精品综合一区二区三区| 免费看光身美女| 插阴视频在线观看视频| 亚洲av欧美aⅴ国产| 国产精品一二三区在线看| 视频区图区小说| 精品亚洲乱码少妇综合久久| 日韩av免费高清视频| 尾随美女入室| 午夜福利视频精品| 永久网站在线| 免费看av在线观看网站| 美女国产视频在线观看| 99久久精品一区二区三区| 18禁在线播放成人免费| 国产成人一区二区在线| 美女xxoo啪啪120秒动态图| 免费看光身美女| 久久久久九九精品影院| 成人亚洲欧美一区二区av| 男男h啪啪无遮挡| 精品国产一区二区三区久久久樱花 | 天美传媒精品一区二区| 欧美最新免费一区二区三区| 国产老妇伦熟女老妇高清| av播播在线观看一区| 亚洲人成网站在线播| 国产欧美另类精品又又久久亚洲欧美| 国产伦理片在线播放av一区| 久久韩国三级中文字幕| 永久免费av网站大全| 久久久久国产精品人妻一区二区| 91aial.com中文字幕在线观看| 亚洲国产精品国产精品| 一边亲一边摸免费视频| 免费看光身美女| 亚洲精品国产av成人精品| 午夜福利在线在线| 99热这里只有精品一区| 国产av不卡久久| 中文字幕久久专区| 亚洲一级一片aⅴ在线观看| 久久久久久久大尺度免费视频| 日韩人妻高清精品专区| 男插女下体视频免费在线播放| 国产探花极品一区二区| 亚洲色图综合在线观看| 制服丝袜香蕉在线| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 成人亚洲欧美一区二区av| 亚洲精品日本国产第一区| 亚洲欧美精品专区久久| tube8黄色片| 精品一区在线观看国产| 国产白丝娇喘喷水9色精品| 精品一区二区三区视频在线| 国产黄频视频在线观看| 亚洲精品中文字幕在线视频 | 国产av码专区亚洲av| 亚洲精品日本国产第一区| 午夜福利在线在线| 精品人妻一区二区三区麻豆| 一级片'在线观看视频| 久久鲁丝午夜福利片| 99久国产av精品国产电影| 少妇人妻一区二区三区视频| 国产一区有黄有色的免费视频| 偷拍熟女少妇极品色| 欧美最新免费一区二区三区| 简卡轻食公司| 久久精品久久久久久噜噜老黄| 高清在线视频一区二区三区| 久久久久久久午夜电影| 欧美最新免费一区二区三区| 人妻少妇偷人精品九色| 五月伊人婷婷丁香| 欧美潮喷喷水| 亚洲,一卡二卡三卡| 三级国产精品欧美在线观看| 中文字幕制服av| 我的女老师完整版在线观看| 国产午夜精品一二区理论片| 最后的刺客免费高清国语| 亚洲激情五月婷婷啪啪| 熟妇人妻不卡中文字幕| 男女边吃奶边做爰视频| 在线精品无人区一区二区三 | av在线老鸭窝| 青青草视频在线视频观看| 午夜福利在线观看免费完整高清在| a级毛色黄片| 亚洲精品色激情综合| 欧美人与善性xxx| 国产亚洲精品久久久com| 哪个播放器可以免费观看大片| 男女那种视频在线观看| 少妇裸体淫交视频免费看高清| 精品熟女少妇av免费看| 欧美丝袜亚洲另类| 亚洲伊人久久精品综合| av在线亚洲专区| 亚洲综合精品二区| 亚洲精品日韩av片在线观看| 亚洲av成人精品一区久久| 国产精品女同一区二区软件| 三级国产精品欧美在线观看| 香蕉精品网在线| 国产精品人妻久久久影院| 免费看光身美女| 日韩亚洲欧美综合| 3wmmmm亚洲av在线观看| 成人午夜精彩视频在线观看| 女人十人毛片免费观看3o分钟| 国产精品一区二区性色av| 国产欧美日韩一区二区三区在线 | 尾随美女入室| 免费观看的影片在线观看| 亚洲欧美日韩无卡精品| 国产日韩欧美在线精品| 精品少妇久久久久久888优播| 男的添女的下面高潮视频| 日本三级黄在线观看| 自拍欧美九色日韩亚洲蝌蚪91 | 一级毛片aaaaaa免费看小| 又粗又硬又长又爽又黄的视频| 美女被艹到高潮喷水动态| 国产亚洲午夜精品一区二区久久 | 久久久久久国产a免费观看| 91狼人影院| 午夜福利视频精品| 午夜福利在线观看免费完整高清在| 99久国产av精品国产电影| 亚洲av中文av极速乱| 亚洲人成网站在线播| 国产精品久久久久久精品电影| 新久久久久国产一级毛片| 亚洲精品色激情综合| 联通29元200g的流量卡| 亚洲av免费在线观看| 另类亚洲欧美激情| 国产免费一区二区三区四区乱码| 自拍偷自拍亚洲精品老妇| 国产精品麻豆人妻色哟哟久久| 亚洲精品久久午夜乱码|