靜電微驅(qū)動(dòng)器的高階自激振動(dòng)與數(shù)值仿真

陳筠菲， 漆明凈

(1.北京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力工程學(xué)院，北京 100191；2.加州大學(xué)伯克利分校 機(jī)械工程系，美國(guó) 加州 伯克利 94721740)

0 引 言

微驅(qū)動(dòng)器是微機(jī)電系統(tǒng)(micro-electro-mechanical system，MEMS)中的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，主要作用是輸出力、力矩、位移等物理量[1,2]。傳統(tǒng)的微型靜電驅(qū)動(dòng)器在交流電壓的驅(qū)動(dòng)下進(jìn)行受迫振動(dòng)，由于“吸合效應(yīng)”使輸出位移難以進(jìn)一步增加。文獻(xiàn)[3]提出一種新型基于自激振動(dòng)的微型靜電驅(qū)動(dòng)器，相較于傳統(tǒng)靜電驅(qū)動(dòng)器在輸出位移上有了很大提升。

目前，國(guó)內(nèi)外關(guān)于高階自激振動(dòng)的研究集中于橋梁拉緊索在風(fēng)雨的激勵(lì)下進(jìn)行的振動(dòng)和航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片顫振[4]等方面，但在微觀層面，高階自激振動(dòng)很少被觀察到，對(duì)這一現(xiàn)象的研究很少。

在非線性振動(dòng)系統(tǒng)中經(jīng)常出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，其中微小的參數(shù)變化可能導(dǎo)致輸出的顯著變化。跳躍現(xiàn)象有兩種類型：振幅跳躍和頻率跳躍。振幅跳躍現(xiàn)象在MEMS驅(qū)動(dòng)器中十分常見，頻率跳躍相對(duì)來(lái)說則極為罕見[5]。原因是目前大多數(shù)MEMS驅(qū)動(dòng)器都是基于強(qiáng)迫振動(dòng)的原理，其輸出頻率或者是恒定的，或者是基于輸入頻率連續(xù)變化的。頻率跳躍在MEMS器件，如高靈敏度傳感器和多模式致動(dòng)器等的應(yīng)用中具有巨大的潛力。

本文描述了新型靜電驅(qū)動(dòng)器中出現(xiàn)的高階自激振動(dòng)現(xiàn)象和頻率跳躍現(xiàn)象，并對(duì)其進(jìn)行了數(shù)值仿真，獲得試驗(yàn)條件與振型之間的內(nèi)在聯(lián)系，以指導(dǎo)后續(xù)試驗(yàn)。

1 高階自激振動(dòng)現(xiàn)象

驅(qū)動(dòng)器示意圖如圖 1所示。驅(qū)動(dòng)器由懸臂梁、基座和一對(duì)電極組成。懸臂梁由長(zhǎng)40 mm，直徑50 μm的鍵合鋁絲制成。由聚氯乙烯(poly-vinyl-chloride,PVC)板制成的基座與電路絕緣。電極是分別連接到直流電源正極和負(fù)極的兩個(gè)金屬針，兩電極之間的間距為5 mm。懸臂梁一端固支于基座上，靜止時(shí)位于正負(fù)電極連線的中垂線上，懸臂梁根部和電極之間的距離記為d。懸臂梁的振動(dòng)情況由高速相機(jī)捕捉。

圖1 驅(qū)動(dòng)器示意

當(dāng)沒有輸入電壓(VDC)時(shí)懸臂梁保持直線。隨著VDC的增加，一旦VDC超過吸附電壓VP，懸臂梁將首先彎向正極，并與正極接觸。在與正極接觸之后，懸臂梁將被充正電，并在靜電排斥力及其彈性恢復(fù)力的共同作用下向負(fù)極運(yùn)動(dòng)，與負(fù)極接觸。類似地，懸臂梁與負(fù)極接觸后將向正極方向運(yùn)動(dòng)。因此，在運(yùn)動(dòng)引起的靜電力及彈性恢復(fù)力的共同作用下，懸臂梁可以維持穩(wěn)定的振動(dòng)。由于驅(qū)動(dòng)器中懸臂梁的振動(dòng)是由一個(gè)恒定的直流電壓驅(qū)動(dòng)的，因此懸臂梁所進(jìn)行的是自激振動(dòng)。

當(dāng)改變輸入電壓VDC或懸臂梁根部與電極之間的距離d時(shí)，可以觀察到懸臂梁的振動(dòng)由一階振動(dòng)變?yōu)榇嬖谝粋€(gè)穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)的二階振動(dòng)，同時(shí)振動(dòng)頻率急劇增加，出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象。

距離d保持不變時(shí)，通過改變輸入電壓VDC可以實(shí)現(xiàn)振型轉(zhuǎn)換和頻率跳躍。圖2(a)與圖2(b)相比，距離d保持不變，輸入電壓VDC由4 kV增加到5 kV，振型由一階變?yōu)槎A，振動(dòng)頻率由27.03 Hz躍變到108.48 Hz。振型轉(zhuǎn)換和頻率跳躍也可以通過保持輸入電壓VDC不變，改變距離d來(lái)實(shí)現(xiàn)。圖2(a)與圖2(c)相比，輸入電壓VDC保持不變，距離d由2 cm增加到3 cm，振型由一階變?yōu)槎A，振動(dòng)頻率由27.03 Hz躍變到69.12 Hz。

在試驗(yàn)中觀察到了兩種不同的二階振型：振動(dòng)節(jié)點(diǎn)位于電極外側(cè)的二階振型(如圖2(b))和振動(dòng)節(jié)點(diǎn)位于電極和基座之間的二階振型(如圖2(c))。

圖2 二階自激振動(dòng)示意圖與高速相機(jī)圖

2 數(shù)值仿真模型建立

本文采用梁模型為歐拉—伯努利梁。在一個(gè)周期內(nèi)，根據(jù)是否與電極接觸，懸臂梁的振動(dòng)可以劃分為非碰撞階段和碰撞階段。在非碰撞階段(圖3)，作用在懸臂梁上的力主要有靜電力FE和空氣阻力FD，F(xiàn)E和FD作用在梁的每個(gè)無(wú)窮小微段上。在碰撞階段，作用在懸臂梁上的力主要有FE,FD和碰撞力FC，F(xiàn)C為作用在x=d處的集中力。

圖3 懸臂梁在非碰撞階段的受力情況

針對(duì)非碰撞階段，根據(jù)歐拉—伯努利梁的橫向振動(dòng)微分方程，梁上無(wú)窮小微段的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中t為時(shí)間，x為微段在懸臂梁中的位置，y為其撓度，c為空氣的粘滯系數(shù)。

針對(duì)碰撞階段利用動(dòng)量平衡法[7,8]，假設(shè)碰撞在瞬間完成，通過恢復(fù)系數(shù)描述碰撞前后碰撞體的速度變化而不考慮撞擊過程的細(xì)節(jié)，求解得到碰撞后柔性連續(xù)體上各點(diǎn)的速度。由于碰撞發(fā)生時(shí)，碰撞點(diǎn)受到很大的沖力，靜電力和空氣阻力等大小有限的力可以忽略不計(jì)。

3 數(shù)值仿真結(jié)果

為了模擬輸入電壓VDC和距離d對(duì)振動(dòng)形式和振動(dòng)頻率的影響，依舊選取VDC=4.0 kV,d=20 mm,VDC=5.0 kV,d=20 mm 以及VDC=4.0 kV,d=30 mm進(jìn)行數(shù)值仿真。通過MATLAB的數(shù)值方法求解控制方程，圖4～圖6給出了不同VDC和d下梁上各點(diǎn)撓度隨時(shí)間的變化情況和1/2周期內(nèi)的撓度—位置曲線。據(jù)圖可知，數(shù)值仿真的結(jié)果均與試驗(yàn)中觀察到的振動(dòng)形式相符。

當(dāng)VDC=4 kV,d=20 mm時(shí)(圖4)，懸臂梁在振動(dòng)過程中保持一階振動(dòng)模式。

圖4 VDC=4 kV,d=20 mm時(shí)數(shù)值仿真結(jié)果

當(dāng)VDC=5 kV,d=20 mm時(shí)(圖5)，在振動(dòng)開始后，懸臂梁的振型迅速由一階變?yōu)槎A。根據(jù)圖5(b)可知，與試驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象類似，節(jié)點(diǎn)的位置相對(duì)穩(wěn)定并且處于電極外側(cè)。

圖5 VDC=5 kV,d=20 mm時(shí)數(shù)值仿真結(jié)果

當(dāng)VDC=4 kV,d=30 mm時(shí)(圖6)，振型在振動(dòng)開始后約9 ms由一階轉(zhuǎn)化為二階。根據(jù)圖6(b)可知，振動(dòng)節(jié)點(diǎn)的位置相對(duì)穩(wěn)定并且處于懸臂梁根部與電極之間，與試驗(yàn)中觀察到的現(xiàn)象相符。

圖6 VDC=4 kV,d=30 mm時(shí)數(shù)值仿真結(jié)果

將試驗(yàn)測(cè)得的振動(dòng)頻率與數(shù)值仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比,VDC=4 kV,d=20 mm時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為27.03 Hz,數(shù)值結(jié)果為74.56 Hz;VDC=5 kV,d=20 mm時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為108.48 Hz,數(shù)值結(jié)果為235.46 Hz;VDC=4 kV,d=30 mm時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為69.12 Hz數(shù)值結(jié)果為256.15 Hz。3種情況下數(shù)值仿真頻率都高于其相應(yīng)的試驗(yàn)頻率，并且出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

建立了一個(gè)靜電微驅(qū)動(dòng)器的自激振動(dòng)模型，研究輸入電壓VDC和懸臂梁根部與電極之間的距離d對(duì)振型和振動(dòng)頻率的影響，利用MATLAB對(duì)其進(jìn)行數(shù)值仿真。與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比可知，數(shù)值仿真所得的振型與相應(yīng)試驗(yàn)結(jié)果一致，計(jì)算所得的頻率高于相應(yīng)試驗(yàn)振動(dòng)頻率，數(shù)值仿真結(jié)果中也出現(xiàn)頻率跳躍現(xiàn)象。該數(shù)值模型可以為選擇試件材料和試驗(yàn)條件提供參考和借鑒，指導(dǎo)后續(xù)驅(qū)動(dòng)器設(shè)計(jì)。