準(zhǔn)線之“準(zhǔn)”有深意

吳江盛澤中學(xué) 孫四周

問：“圓心是圓的一部分嗎？”

答：“不，圓心不是圓的一部分．”

問：“準(zhǔn)線是拋物線的一部分嗎？”

答：“不，準(zhǔn)線不是拋物線的一部分．”

雖然圓心是圓所固有的要素，但是它不能算是圓上的點(diǎn)，因?yàn)樗环蠄A的定義，圓心到它自身的距離不等于半徑長（它等于0）．

類似地，拋物線的準(zhǔn)線是其固有的一個要素．拋物線是用準(zhǔn)線和焦點(diǎn)來定義的，可以說它一刻也離不開準(zhǔn)線和焦點(diǎn)，但準(zhǔn)線（以及焦點(diǎn)）不算是拋物線的一部分．

那么準(zhǔn)線“有實(shí)際意義”嗎？

一、拋物線與“拋物”的關(guān)系

畫出一條拋物線比畫出一個圓容易得多．撿起一塊小石頭斜向上拋出，它在空中翩然飛過又在不遠(yuǎn)處回歸地面，這條美麗的弧線就是拋物線．這個做法非常簡單，這個說法非常直接，數(shù)學(xué)上為什么不用它來做拋物線的定義（即“斜拋物體所形成的軌跡叫做拋物線”）呢？因?yàn)檫@里要用到“斜”“拋”“物體”“（運(yùn)動）軌跡”等字眼，而物體在運(yùn)動過程中還要考慮地球的引力、空氣阻力以及初速度大小等等，初速度過小和過大都不能形成拋物線（過小是橢圓，過大是雙曲線）．?dāng)?shù)學(xué)需要抽象化，就像物理上抽象出“理想氣體”“理想彈簧”“理想真空”“理想電阻”一樣．“理想的斜拋運(yùn)動”中，地球是無限大的（物體所受引力平行向下）、空氣是不存在的（沒有阻力），這在自然界中根本不可能存在，而其表述反而不如“平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l（F?l）距離相等的點(diǎn)的集合”更容易、更明確，所以數(shù)學(xué)上的定義采用了后者．

斜拋物體的軌跡“真的”是拋物線嗎？

設(shè)以仰角α，速率v0斜向上拋出一個物體，則該運(yùn)動可以分解為兩個運(yùn)動，一是豎直方向的勻減速運(yùn)動，二是水平方向的勻速直線運(yùn)動（豎直方向受地球引力，水平方向不受力）．建立坐標(biāo)系如圖1，設(shè)在t時刻物體的坐標(biāo)為P（x，y），則

圖1

這是一個參數(shù)方程，消去參數(shù)t即得物體運(yùn)動的軌跡方程為：

這是一個二次函數(shù)，其圖象我們稱之為拋物線．

這里所說的“拋物線”是實(shí)際斜拋物體的軌跡嗎？可以說是的．只不過我們忽略了空氣阻力，而且認(rèn)為地球引力始終是向下的（也就是把地球想象成無窮大，地面是無限的水平平面），這就是高中教材的處理方法．

它與解析幾何上所說的拋物線是同一個概念嗎？是的．只要我們重新建立一個坐標(biāo)系，把坐標(biāo)原點(diǎn)選在拋物線的頂點(diǎn)，一條坐標(biāo)軸是拋物線的對稱軸所在的直線，就可以得到解析幾何上的“拋物線”標(biāo)準(zhǔn)方程．所有二次函數(shù)均可如此處理，因此二次函數(shù)的圖象與解析幾何中的拋物線確實(shí)是等價(jià)的．

二、拋物線準(zhǔn)線的實(shí)際意義

注意，這里不含有傾斜角α，只含有初速度v0（g是常數(shù)），是不是很神奇？拋物線的準(zhǔn)線與斜拋的角度無關(guān)，只與初速度有關(guān)．也就是說，初速度相同的一系列的拋物線，其最大高度以及水平跨度互不相同，但是它們有共同的準(zhǔn)線（圖2），這是我們當(dāng)初所沒有想到的．

圖2

三、特別的愛給特別的你

①中α≠90°，當(dāng)α=90°時，正好是豎直上拋運(yùn)動，此時有：

此式不是關(guān)于x的二次函數(shù)，此過程中物體一直在y軸上，先上后下，軌跡是折線而不是拋物線．方程②描述的，是該物體的高度隨時間而變化的規(guī)律，由此很自然地想到計(jì)算它的最大高度．根據(jù)二次函數(shù)最大值公式，

也就是說，如果以初速度v0把物體豎直上拋，它所能達(dá)到的最大高度恰好是準(zhǔn)線所在的位置．這就揭示了一個永恒的、也是冷酷的自然規(guī)律：調(diào)整斜拋的方向，固然可以使物體達(dá)到不同的高度，然而大自然為你設(shè)立了一個天花板，你永遠(yuǎn)突破不了．但是大自然同時給了我們希望，那就是：要想達(dá)到更大的高度，只要增加初速度就行了．有在，沒有什么不可以！這就是拋物線準(zhǔn)線的實(shí)際意義，它在限制我們的同時也給我們無盡的自由！橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線，是否也有其特別的實(shí)際意義呢？應(yīng)該有吧．用《詩經(jīng)》中的一段結(jié)束本文：“蒹葭蒼蒼，白露為霜．所謂伊人，在水一方．溯洄從之，道阻且長．溯游從之，宛在水中央．”