基于特征線法計算的超細(xì)群慢化方程求解方法

秦 帥，張 乾,*，趙 強，梁 亮，吳宏春，曹良志

(1.哈爾濱工程大學(xué) 核安全與仿真技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，黑龍江 哈爾濱 150001；2.西安交通大學(xué) 核科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，陜西 西安 710049)

共振自屏計算是反應(yīng)堆物理計算中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，它為輸運計算提供共振能群的群常數(shù)。然而在共振能區(qū)，共振核素的各種截面隨能量變化十分劇烈，共振區(qū)群常數(shù)與實際問題的幾何、材料、溫度等均有著密切的關(guān)系。

目前常用的共振計算方法有等價理論[1]和子群方法[2]。其中，等價理論的基本思想是建立起均勻系統(tǒng)和非均勻系統(tǒng)之間的等價關(guān)系，算法穩(wěn)定，計算效率高，工程應(yīng)用經(jīng)驗豐富，但等價理論中引入了諸如窄共振近似、平通量假設(shè)等多種假設(shè)或近似，影響了計算精度[3]。子群方法根據(jù)截面值的大小將1個較寬的共振群劃分為幾個子群，利用子群參數(shù)來描述截面進(jìn)入子群的概率。子群方程與中子輸運方程在形式上相似，能與各種輸運方法相結(jié)合[4]，因此子群方法幾何適應(yīng)性好，可很好解決空間效應(yīng)，但子群方法在處理子群參數(shù)時存在數(shù)值不穩(wěn)定性。同時，傳統(tǒng)的等價理論和子群方法均不能很好處理共振干涉效應(yīng)。

超細(xì)群共振計算方法的基本思想是對共振區(qū)做非常精細(xì)的能群劃分，建立超細(xì)群慢化方程，自上而下依次求解慢化方程，獲取超細(xì)群結(jié)構(gòu)的中子能譜，進(jìn)而歸并出有效自屏截面。超細(xì)群方法是一種嚴(yán)格精確的共振計算方法，可有效計算復(fù)雜幾何、復(fù)雜能譜下的共振問題。1964年，日本原子能研究院開發(fā)了第1個具備工程實用價值的超細(xì)群共振計算程序RABBLE[5]，一些商業(yè)程序如SRAC[6]和AEGIS[7]也采取了超細(xì)群方法。此外，國內(nèi)西安交通大學(xué)也開發(fā)了超細(xì)群共振計算程序UFOP[8]。傳統(tǒng)超細(xì)群程序采用一維圓柱幾何和預(yù)制碰撞概率插值表的方法求解慢化方程，但這種方法不具備處理復(fù)雜幾何的能力，同時預(yù)制插值表的維數(shù)會隨共振材料種類的增加而增加，當(dāng)插值表維數(shù)較高時，預(yù)制該表的計算成本無法接受。

隨著核能技術(shù)的發(fā)展，未來燃料柵元和組件的設(shè)計趨于復(fù)雜，為實現(xiàn)復(fù)雜幾何、復(fù)雜能譜條件下的精細(xì)共振計算，本文根據(jù)超細(xì)群慢化方程理論模型，結(jié)合特征線法(MOC)[9]計算，建立基于特征線的超細(xì)群慢化方程求解方法，計算一系列復(fù)雜問題。

1 理論模型

對于要求解區(qū)域，近似認(rèn)為不考慮裂變源，同時，散射源項也可僅考慮各向同性彈性散射[7]，同時也不考慮上散射[10]。這樣，中子慢化方程可寫成如下格式：

(1)

式(1)右端為慢化方程的散射源項，可寫為：

(2)

當(dāng)考慮一個劃分為多區(qū)域且包含多種核素的實際問題時，對于1個區(qū)域R，式(2)可寫為：

(3)

式中：K為核素數(shù)；Δk為中子與核素k發(fā)生碰撞后所能獲得的最大對數(shù)能降。

將共振能區(qū)劃分為非常精細(xì)的能群，稱為超細(xì)群，為保證中子在1個超細(xì)群所包含的能量范圍內(nèi)只發(fā)生1次碰撞，超細(xì)群的能群寬度應(yīng)遠(yuǎn)小于中子與最重的核素發(fā)生1次碰撞后所能獲得的最大對數(shù)能降。為方便計算，將所有超細(xì)群的寬度設(shè)為相同值，對于某個超細(xì)群g，式(3)可寫為：

(4)

式中：Lk為中子與核素k發(fā)生1次碰撞后有可能穿過的最大能群數(shù)，Lk=-lnαk/Δuf；Pnk為中子與核素k發(fā)生1次碰撞后穿過n個能群進(jìn)入g群的概率；Δuf為超細(xì)群的能群寬度。由于中子在1次碰撞后有可能穿過的能群數(shù)過大，直接求解式(4)會非常耗時，文獻(xiàn)[11]給出了Qg的遞推關(guān)系式：

(5)

對于式(5)的遞推關(guān)系，首先需計算超細(xì)群首群的散射源，而超細(xì)群首群的慢化中子來源于共振求解區(qū)域以上的能量段，在共振能區(qū)以上，截面隨能量的變化較平緩，因此可將這一能量區(qū)域內(nèi)核素的截面看作常量，而通量在這一能量區(qū)域內(nèi)的分布則認(rèn)為符合1/E分布，這樣根據(jù)式(4)即可計算超細(xì)群首群的散射源。得到超細(xì)群首群的散射源后，首群的中子通量即可通過1次單群固定源計算得到，而得到的中子通量又可用于下一群的散射源計算，依次進(jìn)行這樣的計算，即可得到整個超細(xì)群能量范圍的精細(xì)能譜，根據(jù)式(6)可歸并出某個共振群G的共振自屏截面。

(6)

固定源計算的準(zhǔn)確與否直接影響到共振自屏截面的計算精度，本文通過耦合西安交通大學(xué)開發(fā)的模塊化特征線法程序MOCHA[12]進(jìn)行超細(xì)群的群內(nèi)固定源計算。MOC利用數(shù)學(xué)方法將中子輸運方程轉(zhuǎn)化為沿某一角度某一根特征線上的方程，可同時處理空間角度變量和空間變量，實現(xiàn)對任意幾何的處理。模塊化特征線法主要是指特征線的生成技術(shù)，該方法以模塊為單位產(chǎn)生特征線，保證相鄰模塊之間特征線能首尾相連。

2 數(shù)值結(jié)果

本文共計算了1個典型壓水堆柵元問題、1個帶有溫度分布的燃料柵元問題、1個燃料區(qū)存在UO2和MOX燃料粘合的特殊柵元問題以及1個板狀組件問題，使用的多群數(shù)據(jù)庫為WLUP[13]發(fā)布的基于ENDF-B-Ⅶ.0評價庫[14]制作的WIMS格式69群數(shù)據(jù)庫，其中第15～27能群為共振能群，耦合特征線的超細(xì)群慢化方程求解方法(UFG-MOC)使用的截面為使用NJOY程序[15]制作的基于ENDF-B-Ⅶ.0的點截面數(shù)據(jù)庫。超細(xì)群的能群寬度設(shè)置為0.000 25，不加說明的情況下，MOC計算參數(shù)為32個方位角，8個極角(高斯-勒讓德求積組)，射線間距為0.012 5 cm。所采用的參考結(jié)果由上文提到的基于碰撞概率插值的超細(xì)群程序UFOP計算或蒙特卡羅程序MCNP5[16]統(tǒng)計得到。MCNP計算設(shè)置為投入300代粒子舍棄50代，每代投入1 000 000個粒子。

2.1 壓水堆柵元問題

本文使用UFG-MOC計算了不同235U富集度和不同水鈾比的UO2單柵元問題以及不同Pu含量的MOX單柵元問題，單柵元的幾何尺寸取自JAERI[17]發(fā)布的輕水堆基準(zhǔn)題，問題中不同的水鈾比是以改變?nèi)剂蠀^(qū)與柵元總體積比來體現(xiàn)的?；鶞?zhǔn)結(jié)果由UFOP程序計算得到。表1、2列出了這些問題的詳細(xì)描述。

表1 不同類型柵元的溫度分布Table 1 Temperature distribution of different pin cell types

表2 柵元問題描述Table 2 Description of pin cell case

注：含量中UO2柵元為235U富集度，即質(zhì)量分?jǐn)?shù)；MOX柵元為Pu含量，即混合物中PuO2質(zhì)量在PuO2和UO2質(zhì)量之和的百分比

圖1示出了9個子問題中235U、238U、239Pu的共振吸收截面計算結(jié)果和參考結(jié)果的相對誤差，可看出，UFG-MOC中235U的相對誤差不超過0.9%，238U的相對誤差不超過1.3%，239Pu的相對誤差不超過1.2%。

為避免輸運計算方法不同等原因所導(dǎo)致的誤差，分別使用UFG-MOC計算所得的共振截面和參考結(jié)果進(jìn)行相同的MOC輸運計算，表3列出不同問題計算的有效增殖因數(shù)keff的誤差，最大誤差為112.1 pcm。

圖1 不同問題的235U、238U、239Pu共振吸收截面相對誤差Fig.1 Relative errors of 235U, 238U and 239Pu resonance absorption cross sections for different cases

表3 不同問題中共振截面所引起的keff誤差Table 3 Error of keff caused by resonance cross sections for different cases

2.2 帶有溫度分布的燃料柵元問題

在對燃料進(jìn)行完整性評估[18]以及高保真計算[19]中，需對帶有不等溫分布的燃料棒進(jìn)行精確的共振計算。傳統(tǒng)計算中常采用空間相關(guān)的丹可夫方法(又稱為SDDM方法)[17]進(jìn)行計算，但存在一定誤差，一些基于子群方法的改進(jìn)也用于計算這類問題，但需對子群結(jié)構(gòu)進(jìn)行精細(xì)處理并且采用的半經(jīng)驗公式并不一定能反映真實問題[20]。對于基于碰撞概率插值的超細(xì)群程序如PEACO，當(dāng)計算帶有不等溫分布的問題時，由于共振區(qū)增多，中子飛行首次碰撞概率的計算過于耗時，常采用均勻碰撞概率模型[21]，但這種計算存在理論缺陷，會引入一定誤差[22]。

本文使用UFG-MOC對這類問題進(jìn)行了計算，幾何尺寸來自于JAERI發(fā)布的輕水堆基準(zhǔn)題中的UO2柵元，燃料為富集度為6.5%的UO2燃料，包殼和慢化劑區(qū)域的溫度為600 K。燃料區(qū)域從內(nèi)到外被劃分為等體積10環(huán)，每環(huán)的溫度均不同，圖2示出了燃料棒的空間離散情況。另外MOC計算時射線間距調(diào)整為0.005 cm。

圖2 燃料棒空間離散示意圖Fig.2 Spatial discretization of fuel pin

表4列出了燃料棒溫度分布。

表4 燃料棒溫度分布Table 4 Temperature profile of fuel pin

圖3為UFG-MOC計算得到的第1、4、7、10環(huán)的238U吸收截面相對誤差，參考結(jié)果來自于MCNP統(tǒng)計，最大相對誤差不超過2%，大部分相對誤差均在1%以內(nèi)。分別使用UFG-MOC計算和MCNP統(tǒng)計得到的共振截面進(jìn)行相同的MOC輸運計算，所引起的keff誤差為-68.5 pcm。

圖3 第1、4、7、10環(huán)238U吸收截面相對誤差Fig.3 Relative errors of group-wised 238U microscopic cross sections in ring 1, 4, 7 and 10

2.3 燃料內(nèi)部存在不均勻性問題

隨著核能技術(shù)的發(fā)展，未來燃料組件和柵元的設(shè)計將會更加復(fù)雜，因此設(shè)計了一個燃料棒內(nèi)部存在兩種材料的柵元問題。問題幾何示于圖4，1區(qū)為235U富集度為6.5%的UO2燃料，2區(qū)為Pu含量為20%的MOX燃料，溫度均為300 K。對于這樣的問題，傳統(tǒng)的共振計算方法是無法計算的。

圖4 本問題幾何Fig.4 Geometry of this problem

圖5示出了本問題中UO2和MOX燃料區(qū)域中部分主要共振核素的共振吸收截面與參考值的相對誤差，參考值由UFOP程序計算得到?？煽闯?，在UO2燃料區(qū)域，235U的共振吸收截面相對誤差不超過0.4%，238U的共振吸收截面相對誤差不超過1.3%，在MOX燃料區(qū)域，235U的共振吸收截面相對誤差不超過0.4%，238U的共振吸收截面相對誤差不超過1.3%，239Pu的共振吸收截面相對誤差不超過0.7%。

另外，使用UFG-MOC計算所得的共振截面和參考值進(jìn)行相同的MOC輸運計算，所計算的keff的誤差為30.3 pcm。

圖6示出了3種不同情況下使用UFG-MOC所計算的4～9.877 eV歸一化后的中子能譜可看到，由于钚核素在4.2 eV和7.8 eV附近的共振，MOX無限柵格的中子能譜在此處出現(xiàn)了相應(yīng)的共振峰，而UO2-MOX問題中UO2燃料區(qū)域的中子能譜也出現(xiàn)了相同的現(xiàn)象，這說明UO2-MOX問題中的UO2燃料區(qū)域受到了來自MOX燃料區(qū)域的共振干涉，傳統(tǒng)的共振計算方法如等價理論、子群方法均無法對這種現(xiàn)象進(jìn)行準(zhǔn)確計算，這體現(xiàn)了UFG-MOC在處理復(fù)雜能譜下的優(yōu)勢。

圖5 UO2和MOX燃料區(qū)域主要共振核素的共振吸收截面相對誤差Fig.5 Relative errors of resonance absorption cross sections for major resonance nuclides in UO2 and MOX fuel regions

圖6 UFG-MOC計算所得不同問題能譜Fig.6 Neutron spectra of different problems calculated by UFG-MOC

2.4 板狀組件問題

本文所計算的板狀組件由16塊相同的單板柵元組裝而成，為方便計算，對問題進(jìn)行簡化，問題中只包含燃料和慢化劑，幾何示意圖示于圖7。燃料選取235U富集度為6.5%的UO2燃料，所有區(qū)域的溫度均為300 K，采用的基準(zhǔn)結(jié)果由MCNP5統(tǒng)計得到。

圖8示出了圖7中標(biāo)注的1～4號燃料區(qū)使用UFG-MOC所計算的238U的共振吸收截面與MCNP參考結(jié)果的相對誤差?？煽闯鲞@4個區(qū)域的238U吸收截面的相對誤差大多小于1%，最大不超過2%。與上述相同，將UFG-MOC計算的共振截面和MCNP統(tǒng)計的共振截面分別進(jìn)行相同的MOC輸運計算，計算得到共振截面所引起的keff的誤差為-106.9 pcm。

圖7 板狀燃料組件幾何Fig.7 Slab fuel assembly geometry

等價理論在對板狀燃料組件進(jìn)行計算時通常會采用一維等效平板，但這種假設(shè)并未充分考慮板狀組件中由于相互交錯所引起的空間效應(yīng)。使用UFG-MOC計算了具有相同燃料和慢化劑體積比的一維平板，表5列出了238U共振吸收截面的比較?？煽吹?，單板柵元和交錯并不顯著的燃料1區(qū)，238U的共振吸收截面并不存在較大的差別，但在交錯較為顯著的燃料3區(qū)和4區(qū)，238U的共振吸收截面已出現(xiàn)了一定的差別，在交錯最為顯著的4區(qū)，238U吸收截面的誤差已經(jīng)超過了3%。這說明，在板狀燃料組件中，燃料板的相互交錯所引起的空間效應(yīng)已給計算帶來了不可忽略的影響。

圖8 1～4區(qū)中238U吸收截面相對誤差Fig.8 Relative error of 238U microscopic absorption cross section in region 1-4

表5 238U共振吸收截面的比較Table 5 Comparison of 238U resonance absorption cross section

3 結(jié)論

本文提出了基于特征線計算的UFG-MOC，用于實現(xiàn)對于復(fù)雜幾何、復(fù)雜能譜問題的精細(xì)共振計算。根據(jù)本方法對多種問題進(jìn)行了計算，對共振自屏截面和其所引起的keff變化進(jìn)行了對比，結(jié)果表明本方法可對多種復(fù)雜問題進(jìn)行精確計算，為共振計算提供基準(zhǔn)。與其他傳統(tǒng)共振計算方法相比，UFG-MOC具有較高的計算精度，并且可直接有效解決不同核素間的共振干涉而不需要核素迭代或其他處理，與等價理論相比，UFG-MOC具有較強的幾何處理能力，但同時應(yīng)注意到，相比于等價理論和子群方法，UFG-MOC的計算效率不高，下一步可對提高計算效率展開研究。