P2-階子群X-ss-半置換的有限群

謝鳳艷

（安陽學院數(shù)理學院，河南安陽455000）

0 引言

本文所考慮的群都是有限群。G表示有限群，|G|表示群G的階。如果K,H為群G的子群且H正規(guī)于K，那么商群K/H稱為G的一個截面。G與A4無關表示G的任意一截面不與A4群同構。本文中所有概念和符號都是標準的,未交代的符號和術語參見文獻[1-3]。

設H和K是G的子群。如果HK=KH，稱H與K是置換的。設X是G的一個非空子集，如果存在一個x∈X,使得HKx=KxH，稱H與K是X-置換的[4]。隨后,一些廣義的X-置換子群，如:X-半置換子群、X-s-半置換子群、X-ss-半置換子群[5]等概念先后被提出。利用某些特定子群的X-置換性，學者們獲得了大量成果[4-11]。本文在此基礎上,進一步研究p2-階子群的X-ss-半置換性對有限群結構的影響,得到冪零群的新判斷。

1 預備知識

定義1[5]設X是G的一個非空子集，子群H稱為在G中X-ss-半置換，如果H在G中有補充子群T,對于T的任意Sylow子群P，只要(p,|H|)=1，就存在x∈X，使得HPx=PxH。

為表示方便,定義1中所有補充子群T的集合記為Xss(H)。

引理1[5]假設X是G的一個非空子集,H≤G,N-?G。已知H在G中是X-ss-半置換的。

(1)若X≤D≤G,則H在G中D-ss-半置換；

(2)若H∪X?M≤G,則H在M中X-ss-半置換；

(3)若(|H|,|N|)=1或者H為群,其中p為素數(shù),則HN/N在G/N中XN/N-ss-半置換；

(4)若T∈Xss(H)且H≤NG(X),則對任意的g∈G有Tg∈Xss(H)。

引理2設P,Q分別是G的p,q-子群,其中p,q為素數(shù),且PQ≤G。若R是G的次正規(guī)子群,則PQ∩R=(P∩R)(Q∩R)。

證 明因為R是G的次正規(guī)子群,所以PQ∩R是PQ的次正規(guī)子群。又因為P,Q分別是G的p,q-子群且PQ≤G,所以P∩R=P∩PQ∩R,Q∩R=Q∩PQ∩R分別是PQ∩R的Sylow子群和Sylowq-子群。故

由文獻[3]命題1.2.13,得

PQ∩R=(P∩R)(Q∩R)。

引理3[8]設G與A4無關,p是|G|的最小素因子。若G中存在一個正規(guī)子群E使得G/E為冪零群且p3|E|，則G為冪零群。

2 主要結論及證明

定理設G與A4無關,X是G的可解正規(guī)子群，其中p是|G|的最小素因子。如果G中存在一個正規(guī)子群E使得G/E為冪零群且E的每個p2-階子群在G中X-ss-半置換。那么G為冪零群。

證明假設結論不正確,并令G是一個極小階反例，分7步進行證明。

（1）Op′(G)=1。

若Op′(G)≠ 1。顯然G/Op′(G)與A4無關,XOp′(G)/Op′(G)是G/Op′(G)的可解正規(guī)子群。因為G/E為冪零群,所以

（2）Op(G)≠ 1。

若Op(G)=1。因為Op′(G)=1,所以X=1。設H為E的p2-階子群。由定理的條件,H在G中X-ss-半置換。設T∈Xss(H)并令K∈Sylq(T),其中q≠p。則G=HT。設Q∈Sylq(G)。由Sylow定理知,G中存在一個元素g使得Q=Kg。因為NG(X)=G,所以H≤NG(X),由引理1得Tg∈Xss(H)。故HQ=QH。即H與G的任意Sylowq-子群是置換的。因為Op′(G)=1且Op(G)=1,所以G的任意極小次正規(guī)子群為非循環(huán)群。設A是G的任意極小次正規(guī)子群,則A不可解。令a∈A。由Sylow定理知Qa∈Sylq(G)。因為H與G的任意Sylowq-子群是置換的,所以HQa=QaH。由引理2,

HQa∩A=(H∩A)(Qa∩A)=(H∩A)(Q∩A)a。因為(H∩A)(Q∩A)a為pq- 群,所以(H∩A)(Q∩A)a可解。從而(H∩A)(Q∩A)a是A的真子群。由文獻[12]或文獻[1]IV,4.10知,A不是單群。故Op(G)≠1。

（3）設N是G的極小正規(guī)子群且N≤Op(G)，則N≤Op(E)

若N不是E的子群。因為N-?G且E-?G,所以N∩E-?G。因為N是G的極小正規(guī)子群,所以N∩E=1。顯然，(G/N)/(EN/N)?(G/E)/(EN/E)為冪零群,G/N與A4無關。設M/N是KN/N的p2-階子群，則

M/N=(M∩EN)/N=(M∩E)N/N?M∩E。

令H=M∩E,則H為E的p2-階子群且M=HN。由定理的條件,H在G中X-ss-半置換。由引理1,M/N=HN/N在G/N中XN/N-ss-半置換。由G的極小選擇,G/N為冪零群。又G?G/(N∩E)同構于G/N×G/E的子群且G/E為冪零群,從而G為冪零群。這一矛盾說明N≤E。從而

N≤Op(G)∩E≤Op(E)。

（4）|N|=p，從而N≤Z(G)。

若|N|＞p2。設Gp∈Sylp(G)，令H是包含在N中Gp的正規(guī)子群且|H|=p2。斷言H-?G。由定理的條件，存在T∈Xss(H)。令Q∈Sylq(T)(q≠p），則存在x∈X使得HQx=QxH。由于Qx∈Sylq(G),則HQx為pq-群。從而H∈Sylp(HQx)。由于N是G的極小正規(guī)子群且N≤Op(G),那么N為交換群。從而H-?N。又因為N-?G,所以H是G的次正規(guī)子群。故H是HQx的次正規(guī)子群。從而H-?HQx。即Qx≤NG(H)。又因為H-?Gp，所以H-?G。而N是G的極小正規(guī)子群,與|H|=p2，|N|＞p2矛盾。因此|N|≤p2。若|N|=p2。則|Aut(N)|=p(1)2(p+1)。因為G/CG(N)同構于Aut(N)的一個子群且p是|G|的最小素因子,所以|G/CG(N)||p(p+1)。由文獻2引理1.7.11及N的極小正規(guī)性得Op(G/CG(N))=1,故|G/CG(N)|≠p。從而(p+1)||G/CG(N)|。因為p是|G|的最小素因子,所以p=2。則G中存在3-階子群K。因為N是G的極小正規(guī)子群且|N|=p2，所以NK?A4。這與G與A4無關矛盾。故|N|=p。因為p是|G|的最小素因子,所以N≤Z(G)。

（5）Op(E)的階子群在G中X-ss-半置換。

設H是Op(E)的階子群。如果H=N,則H在G中X-ss-半置換。如果H≠N,則HN是E的p2-階子群,故HN在G中X-ss-半置換。

令T∈Xss(HN),則G=(HN)T=H(NT)。設Q∈Sylq(NT),其中q≠p。因為N≤Z(G),所以Q∈Sylq(T)。因為T∈Xss(HN),所以存在x∈X使得(HN)Qx=Qx(HN)。因為HN=(HN)Qx∩Op(E)正規(guī)于(HN)Qx且(HN)Qx為pq-群,所以(HN)Qx/(HN)為q-群。從而(HN)Qx/(HN)為冪零群。由引理3可得(HN)Qx為冪零群。即Qx正規(guī)于(HN)Qx。從而HQx=QxH。故H在G中X-ss-半置換。

（6）Op(E)≤Z∞(G)。

因為p是|G|的最小素因子,所以只需證明含于Op(E)中的每個G主因子為階子群。假設L/K是含于Op(E)中G的主因子，使得|L/K|≠p，但對于含于Op(E)中G的主因子U/V，|U|＜|L|且有|U/V|=p。設Gp∈Sylp(G)且A/K是Gp/K的極小正規(guī)子群且A≤L。如果A中存在一個階或者4階(p=2)元素a,使得A=〈a〉K。令H=〈a〉。則由(5)及定理的條件,H在G中X-ss-半置換。設T∈Xss(H)。令Q∈Sylq(T)(q≠p)，則存在x∈X使得HQx=QxH。由引理2,HQx∩L=(H∩L)(Qx∩L)=H。故H正規(guī)于HQx。從而A/K正規(guī)于HQxK/K。又因為A/K正規(guī)于Gp/K,從而A/K正規(guī)于G/K。故L/K=A/K為階子群,矛盾。所以對A中任意一個階和4階(p=2)元素a都有a∈K。因為L/K=(A/K)(G/K)=(AG/K),所以對L中任意一個階元素或者4階元素b都有b∈K。設其中U/V是G的主因子。則由文獻[13]A(12.3)知,W的Sylowq-子群Q(q≠p)平凡作用于K。由Blackburn定理,Q平凡作用于L/K。從而W/CW(L/K)為群。由文獻[2]引理1.7.11知,W≤CG(L/K)。又因為為指數(shù)整除1的交換群,所以G/CG(L/K)為指數(shù)整除1交換群。由文獻[14]I及引理1.3得,L/K為階群。此矛盾說明(6)成立。

（7）F*(E)=F(E)=Op(E)。

因為Op′(G)=1,所以F(E)=Op(E)。如果F*(E)≠Op(E)。設R/Op(E)為包含在F*(E)中的G-主因子，若R為冪零群，設K為R的正規(guī)Hallp′-子群,則K特征于R。因為R-?G,所以K-?G。因為Op′(G)=1,所以K=1。故R為群。從而R≤Op(E),與R/Op(E)為G-主因子矛盾。故R為非冪零群。又由(6),R/Op(E)為非交換單群。設M是R的極小非冪零群。則M=[A]B,其中exp(A)=p或者4,B為p′-群。若A≤Op(E),則由(6)可得M為冪零群,矛盾。若A不是Op(E)的子群,則存在A中的一個元素a使得a?Op(E)。令H=〈a〉，若|H|=4,則H在G中X-ss-半置換。由引理1,HOp(E)/Op(E)在G/Op(E)中XOp(E)/Op(E)-ss-半置換。若|H|=p,則|HN|=p2。從而HN在G中X-ss-半置換。因為HOp(E)/Op(E)=HNOp(E)/Op(E),所以由引理1,HOp(E)/Op(E)在G/Op(E)中XOp(E)/Op(E)-ss-半置換。設

T/Op(E)∈(XOp(E)/Op(E))ss(HOp(E)/Op(E)),則G/Op(E)=(HOp(E)/Op(E))(T/Op(E))。

下證HOp(E)/Op(E)在R/Op(E)中s-半置換。顯然R/Op(E)=(HOp(E)/Op(E))((R∩T)/Op(E))。對|R/Op(E)|的任意素因子q且q≠p,令M/Op(E)∈Sylq(R/Op(E))。則存在R∩T的Sylowq-子群Q和T的Sylowq-子群Tq使得M=Op(E)且Q≤Tq。因為T/Op(E)∈(XOp(E)Op(E))SS(HOp(E)/Op(E)),所以存在x∈X,使得(HOp(E)/Op(E))(TqOp(E)/Op(E))x為子群。因為X-?G且R/Op(E)為G-主因子,所以(R∩X)Op(E)/Op(E)=R/Op(E)或1。若(R∩X)Op(E)/Op(E)=R/Op(E),則R≤X。又因為X是可解群,所以R/Op(E)為可解子群,這與R/Op(E)為非交換單群矛盾。若(R∩X)Op(E)/Op(E)=1,則

[R/Op(E),XOp(E)/Op(E)]=1。

故QxOp(E)/Op(E)=QOp(E)/Op(E)。

從而(R/Op(E))∩(HOp(E)/Op(E))×

因此,HOp(E)/Op(E)在R/Op(E)中是s-半置換的。由Sylow定理,對R/Op(E)中任意元素α,

(M/Op(E))α∈ Sylq(R/Op(E))。

故(HOp(E)/Op(E))(M/Op(E))α為pq-群子群。

因為R/Op(E)為非交換單群,所以

(HOp(E)/Op(E))(M/Op(E))α

為R/Op(E)的真子群。由文獻[12]或文獻[1]IV,4.10知,R/Op(E)不是單群。這一矛盾說明(7)成立。

（8）最后的矛盾。

如果E≠Op(E)，設R/Op(E)為包含在E中的G-主因子,仿照(7)的證明過程可得到矛盾。因此E=Op(E)。由G/E為冪零群且E=Op(E)≤Z∞(G)得,G為冪零群。

這一最后的矛盾完成了定理的證明。

推論設G與A4無關,p是|G|的最小素因子。設G中存在一個正規(guī)子群E使得G/E為冪零群。如果E的每個p2-階子群在G中s-半置換，那么G為冪零群。

問題設G與A4無關,X是G的可解正規(guī)子群，其中p是|G|的最小素因子。設G中存在正規(guī)子群E使得G/E為冪零群，如果E的每個階子群在G中X-ss-半置換，那么G為冪零群?