向量灰色模型的建立及應(yīng)用

周偉杰, 黨耀國(guó)

(1.常州大學(xué) 商學(xué)院,江蘇 常州 213164; 2.南京航天航空大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,江蘇 南京 211006)

0 引言

準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)是科學(xué)決策與規(guī)劃的前提。預(yù)測(cè)的方法有許多種類，比如基于統(tǒng)計(jì)分析的自回歸積分滑動(dòng)平均模型(Autoregressive Integrated Moving Average，簡(jiǎn)稱為ARIMA)、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的徑向基函數(shù)(Radial Basis Function，簡(jiǎn)稱RBF)等。這類模型通常需要樣本有較多的信息含量。然而，現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)往往具有模糊性，信息獲取的完整性難以滿足。為此，針對(duì)系統(tǒng)的不確定性與復(fù)雜性，我國(guó)學(xué)者鄧聚龍?zhí)岢龌疑到y(tǒng)理論，在工業(yè)、生態(tài)、社會(huì)經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中得到了廣泛應(yīng)用[1～5]。

根據(jù)影響因素個(gè)數(shù)，預(yù)測(cè)有單變量預(yù)測(cè)與多變量預(yù)測(cè)。以GM(1,1)為核心的模型群主要針對(duì)單變量灰色時(shí)間序列[6,7]。如Zhao等利用差分演進(jìn)算法對(duì)GM(1,1)模型進(jìn)行了優(yōu)化，并用于農(nóng)村純收入建模分析中[8]。利用信息覆蓋原理，考慮時(shí)間冪次項(xiàng)對(duì)建模的影響，Li提出了結(jié)構(gòu)自適應(yīng)灰色預(yù)測(cè)模型，用于具有異質(zhì)性指數(shù)規(guī)律的數(shù)據(jù)建模[9]?；诤撕突叶?，以及直覺模糊數(shù)的猶豫度和記分函數(shù)，李鵬和朱建軍建立了直覺模糊數(shù)下的GM(1,1)模型[10]。由于系統(tǒng)往往包含多個(gè)變量，變量之間存在相互影響、相互制約的關(guān)系，為此學(xué)者們提出了多變量灰色預(yù)測(cè)模型(Multivariable Grey Model，簡(jiǎn)稱MGM)及其優(yōu)化形式。如翟軍等基于經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)變量的相互影響、相互關(guān)聯(lián)這一事實(shí)，提出多變量MGM(1,m)模型，實(shí)例證明了MGM(1,m)模型的建模精度優(yōu)于GM(1,1)模型[11]。崔立志等基于向量連分式理論，用有理插值、梯形公式與外推法對(duì)MGM(1,m)模型的背景值進(jìn)行重構(gòu)，從而提高了模型的模擬與預(yù)測(cè)精度[12]?？紤]到MGM(1,m)模型背景值存在的誤差，劉寒冰等利用非齊次指數(shù)函數(shù)優(yōu)化背景值計(jì)算公式，并將優(yōu)化后的MGM(1,m)模型用于路基沉降預(yù)測(cè)，取得了較高的精度[13]。熊萍萍等對(duì)MGM(1,m)模型的特征、背景值、以及非等間距序列下的模型進(jìn)行了系統(tǒng)研究，使模型有了更廣泛的應(yīng)用[14～16]。針對(duì)背景值系數(shù)固定為0.5的缺陷，Zeng和Li提出了多變量灰色預(yù)測(cè)模型的動(dòng)態(tài)背景值系數(shù)，并利用粒子群算法對(duì)系數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，發(fā)現(xiàn)了固定背景值系數(shù)離最優(yōu)系數(shù)越近，模擬值越精確這一現(xiàn)象[17]。Wu 等將分?jǐn)?shù)階累加引入到多變量灰色預(yù)測(cè)模型中，并用粒子群算法對(duì)分?jǐn)?shù)階階數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化。將新模型應(yīng)用于山東省電力消耗分析中，結(jié)果表明新模型具有較高的建模精度[18]。

然而，在MGM(1,m)模型實(shí)際應(yīng)用與分析時(shí)，發(fā)現(xiàn)存在兩方面問題。1)建模數(shù)據(jù)失真的情形，如在例1石家莊市空氣質(zhì)量指數(shù)(Air Quality Index，簡(jiǎn)稱AQI)與Particulate Matter 2.5(簡(jiǎn)稱PM2.5)建模時(shí)，MGM(1,2)模型中AQI的模擬值出現(xiàn)負(fù)數(shù)，PM2.5的模擬值也出現(xiàn)數(shù)倍于真值。例2對(duì)江蘇省國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(Gross Domestic Product，簡(jiǎn)稱GDP)與能源消費(fèi)建模，發(fā)現(xiàn)MGM(1,2)模型得出GDP的模擬值出現(xiàn)數(shù)倍于真值的情況，能源消費(fèi)的模擬值與真值相比縮小了數(shù)倍。2)模型參數(shù)較多，增加估計(jì)的不確定性，使得模型的穩(wěn)定性變差；此外，模型預(yù)測(cè)解析表達(dá)式復(fù)雜，運(yùn)用到指數(shù)矩陣，計(jì)算的復(fù)雜性增大，不利于分析變量之間的相互關(guān)系。鑒于以上分析，本文從系統(tǒng)中關(guān)聯(lián)變量具有趨同性這一特征出發(fā)，提出一種新的多變量灰色預(yù)測(cè)模型——向量灰色模型(Vector Grey Model，簡(jiǎn)稱VGM)，并用實(shí)例說明了新模型的實(shí)用性和有效性。

1 傳統(tǒng)MGM(1,m)模型

(1)

(2)

為MGM(1,m)模型的基本形式。記

式(1)多變量MGM(1,m)模型的響應(yīng)式及其還原式為：

(3)

(4)

2 向量灰色模型(VGM(1,m))

(5)

為向量灰色模型(VGM(1,m))的基本形式，稱微分方程組

(6)

(7)

在社會(huì)治理系統(tǒng)共建共治中，協(xié)同治理是創(chuàng)新社會(huì)治理最基本的方式，也是改進(jìn)社會(huì)治理方式、堅(jiān)持系統(tǒng)治理的具體體現(xiàn)。由社會(huì)組織和公眾參與的社會(huì)協(xié)同共治，既是黨的領(lǐng)導(dǎo)、政府主導(dǎo)下的社會(huì)治理過程，也是多元主體參與社會(huì)治理的基本職能。在新時(shí)代，要想實(shí)現(xiàn)共建共治共享的社會(huì)治理目標(biāo)，我們必須銳意改革，有所創(chuàng)新，堅(jiān)持問題導(dǎo)向，把政府治理與社會(huì)協(xié)同和公眾參與結(jié)合起來。因此，在創(chuàng)新社會(huì)治理中，必須確立多元主體的社會(huì)協(xié)同的重要地位，通過為社會(huì)組織和公眾賦權(quán)增能，最大限度地發(fā)揮多元主體在社會(huì)治理系統(tǒng)共建共治中的協(xié)同作用。

證明將行為序列數(shù)據(jù)代入VGM模型，得：

(8)

通過一次累減還原，VGM(1,m)模型中原始序列的模擬或預(yù)測(cè)值為：

(9)

原有的MGM(1,m)模型共有m2+m個(gè)參數(shù)需要估計(jì)。參數(shù)越多，則需要一定的樣本量才能保證參數(shù)估計(jì)的準(zhǔn)確性，這對(duì)于貧信息系統(tǒng)有時(shí)難以滿足。此外，模型中自變量過多，建模時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)多重共線性或過擬合現(xiàn)象。相比之下，向量灰色模型VGM(1,m)只需估計(jì)m+1參數(shù)，為此模型的穩(wěn)定性得到了提高。在參數(shù)計(jì)算方面，VGM(1,m)參數(shù)估計(jì)中的是一個(gè)稀疏矩陣，BTB求逆的計(jì)算量要小于MGM(1,m)的WTW求逆；同時(shí)，MGM(1,m)的參數(shù)A需要對(duì)m個(gè)不同的WTW進(jìn)行求逆，這增加了大量的計(jì)算。從向量灰色模型的結(jié)構(gòu)來看，新模型適用于系統(tǒng)中具有趨同性變量之間的建模。變量的發(fā)展具有相似性的系統(tǒng)在現(xiàn)實(shí)生活中是比較常見的，比如經(jīng)濟(jì)水平的上升與投資、消費(fèi)的拉動(dòng)關(guān)系，環(huán)境質(zhì)量的提高與污染物排放減少等。

3 實(shí)證分析

以空氣質(zhì)量、經(jīng)濟(jì)-能源、農(nóng)村家庭收入、投資-經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的變量為研究對(duì)象，來檢驗(yàn)及說明向量灰色模型的建模效果。其中，前兩個(gè)實(shí)例用于檢驗(yàn)向量灰色模型是否能消除MGM(1,m)模型建模時(shí)出現(xiàn)的失真現(xiàn)象，后兩個(gè)實(shí)例用于分析VGM(1,m)的建模精度。利用絕對(duì)誤差百分比(Absolute Percentage Error，簡(jiǎn)稱APE)來比較模型的建模精度:

(10)

3.1 空氣質(zhì)量與PM 2.5關(guān)系的建模

霧霾污染已成為全國(guó)人民關(guān)注的焦點(diǎn)話題，一般以空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)來劃分污染等級(jí)。霧霾天氣不僅影響人們的日常生活，而且也危害人們的身體健康。與其它污染物相比，霧霾污染物中的PM 2.5對(duì)人體的傷害更大，會(huì)引起哮喘、支氣管炎和心血管病等方面的疾病。為此，本例對(duì)石家莊市AQI與PM 2.5進(jìn)行建模分析。

以2016年8月至11月份的數(shù)據(jù)建模，利用傳統(tǒng)多變量灰色模型MGM和向量灰色模型VGM建模，結(jié)果見表1。從中可以看出，MGM模型對(duì)AQI、PM2.5數(shù)據(jù)的模擬出現(xiàn)失真，如2016年9月、10月以及11月的AQI模擬值均為負(fù)數(shù)，2016年9月、10月以及11月的PM2.5模擬值是真值的5.51倍、6.98倍和7.25倍。而對(duì)于VGM模型，其模擬值與真值接近，說明VGM的建模是有效的。

3.2 能源消費(fèi)與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)關(guān)系的建模

經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，離不開對(duì)能源的需求，研究能源消費(fèi)與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)之間關(guān)系，可為能源政策、經(jīng)濟(jì)發(fā)展目標(biāo)的制定提供支撐。本例以2010年至2014年的江蘇省GDP數(shù)據(jù)和能源消費(fèi)量為樣本，利用MGM(1,2)和VGM(1,2)模型進(jìn)行建模分析，結(jié)果見表2。

表2 江蘇省GDP與能源消費(fèi)建模分析(單位:億元、萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤)

從表2可知，MGM的建模模擬數(shù)據(jù)沒有出現(xiàn)負(fù)數(shù)，但是與真值相差很大。其中GDP的真值是模擬值的數(shù)倍，如2014年GDP的真值是65088.32億元，模擬值僅為7521.538億元，真值是模擬值的8倍多。同時(shí)，能源消費(fèi)的模擬值又是真值的數(shù)倍。如2014年能源消費(fèi)的真值為29863.03萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤，模擬值為128370.8萬噸標(biāo)準(zhǔn)煤，模擬值是真值的4倍多。VGM模型下的GDP與能源消費(fèi)模擬值與真值比較接近。從實(shí)例1與實(shí)例2來看，傳統(tǒng)多變量MGM模型在實(shí)例建模時(shí)，會(huì)出現(xiàn)建模數(shù)據(jù)失真的情況，而新構(gòu)建的向量灰色模型VGM能解決這一問題。

3.3 農(nóng)村家庭收入變量的建模

農(nóng)村家庭的人均純收入中有高收入戶和低收入戶，他們受到全社會(huì)經(jīng)濟(jì)水平的這一因素的影響，在本例中對(duì)2005年至2009年的數(shù)據(jù)進(jìn)行VGM(1,2)和GM(1,1)模型建模，2010和2011年的數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)，結(jié)果見表3和表4。

表3 GM和VGM的建模參數(shù)

表4 農(nóng)村居民家庭人均純收入:低收入戶與高收入戶的建模(單位：元)

表3為GM(1,1)和VGM(1,2)模型對(duì)低收入戶和高收入戶的建模參數(shù)，b=1068.0675、b=7129.7767分別為低收入與高收入GM(1,1)模型中的灰色作用量。c1=940.3387和c2=7146.5380是VGM(1,2)模型中的常數(shù)項(xiàng)。表4為兩個(gè)模型的模擬和預(yù)測(cè)數(shù)值?？梢钥闯?，對(duì)于2006年、2007年、2009年的低收入以及2006年、2008年的高收入，GM(1,1)模型模擬值的絕對(duì)誤差百分比要小于VGM(1,2)模型，其余年份的低收入和高收入GM(1,1)模擬誤差大于VGM(1,2)模型。對(duì)于預(yù)測(cè)值，除了高收入戶的2011年數(shù)據(jù)，VGM(1,2)的預(yù)測(cè)誤差高于GM(1,1)模型，其余年份的低收入和高收入預(yù)測(cè)誤差均小于GM(1,1)模型，說明VGM(1,2)模型具有更高的預(yù)測(cè)精度。

3.4 固定投資與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)關(guān)系的建模

社會(huì)固定投資是影響經(jīng)濟(jì)發(fā)展的一個(gè)主要因素，本例采用南京市GDP和固定投資總額數(shù)據(jù)為樣本，用VGM(1,2)模型和GM(1,1)對(duì)其建模分析。以2006年至2011年的數(shù)據(jù)為建模數(shù)據(jù)，預(yù)測(cè)2012年的數(shù)據(jù)，結(jié)果見表5和表6。

表5 GM和VGM的建模參數(shù)

表6 南京市GDP與固定投資總額建模分析(單位：億元)

表5給出了VGM(1,2)和GM(1,1)模型對(duì)南京市GDP和固定投資總額的建模模型參數(shù)，b=2528.349、b=1309.918分別為南京市GDP和固定投資總額GM(1,1)模型中的灰色作用量。c1=2382.584和c2=1533.574是VGM(1,2)模型中的常數(shù)項(xiàng)。表6為建模的模擬值與預(yù)測(cè)值?？梢钥闯?，GM(1,1)模型對(duì)南京市GDP和固定投資總額模擬值的絕對(duì)誤差百分比小于VGM(1,2)模型的年份更多，說明GM(1,1)模型的模擬精度較高。而對(duì)于2012年GDP和固定投資總額的預(yù)測(cè)值，VGM(1,2)模型的誤差為0.2940%和2.5834%，GM(1,1)模型的誤差為2.0829%和3.5866%，說明VGM(1,2)模型的預(yù)測(cè)精度更高，即VGM(1,2)模型的泛化能力更強(qiáng)。這其中原因可能在于：GM(1,1)在建模時(shí)孤立了社會(huì)固定投資與經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的關(guān)系，而VGM(1,2)模型考慮到二者的內(nèi)在相互關(guān)系，從而使模型在預(yù)測(cè)未來發(fā)展趨勢(shì)時(shí)更具優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

為了解決傳統(tǒng)多變量灰色模型建模時(shí)的失真現(xiàn)象，本文構(gòu)建了向量灰色多變量預(yù)測(cè)模型，并給出了模型參數(shù)的估計(jì)方法。從模型結(jié)構(gòu)上看，新模型的表達(dá)式更簡(jiǎn)單，這有利于分析變量之間的相互關(guān)系，為后續(xù)對(duì)模型的優(yōu)化研究提供支撐。同時(shí)，與傳統(tǒng)模型相比，模型參數(shù)變少，從而增加了參數(shù)估計(jì)的穩(wěn)定性，使模型的預(yù)測(cè)更具有可信性。新模型的提出拓展了現(xiàn)有灰色預(yù)測(cè)模型體系。