基于模糊Black-Scholes模型的螺紋鋼期權(quán)定價(jià)

李明昕, 唐 俊, 白 云, 馬行達(dá)

(內(nèi)蒙古科技大學(xué) 理學(xué)院,內(nèi)蒙古 包頭 014010)

0 引言

鋼鐵價(jià)格與下游相關(guān)行業(yè)產(chǎn)品價(jià)格之間存在著平衡關(guān)系。在短時(shí)間內(nèi)受各種因素的影響，使得鋼鐵價(jià)格上下波動(dòng)出現(xiàn)產(chǎn)生偏離平衡值的現(xiàn)象，但從長(zhǎng)期來(lái)看，終將達(dá)到平衡狀態(tài)。本文通過(guò)對(duì)螺紋鋼價(jià)格的研究，在現(xiàn)有螺紋鋼實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)上，采用模糊數(shù)學(xué)方法優(yōu)化現(xiàn)有螺紋鋼實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，探究現(xiàn)有模型的不足之處，減少或者避免風(fēng)險(xiǎn)對(duì)螺紋鋼實(shí)物期權(quán)價(jià)格的影響[1]。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探討螺紋鋼實(shí)物衍生品的風(fēng)險(xiǎn)來(lái)源、成因和傳導(dǎo)機(jī)制，提出了相應(yīng)的風(fēng)險(xiǎn)管理措施，具體步驟如下：

第一步：經(jīng)典的布萊克-斯科爾斯實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型(Black-Scholes實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，以下簡(jiǎn)稱B-S模型)存在著一定的局限性，本文將通過(guò)一系列的優(yōu)化過(guò)程，將其轉(zhuǎn)變?yōu)槟：鼴-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型[2,3]。

第二步：隸屬度α的確定是運(yùn)用和建立模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的核心。本文將數(shù)據(jù)進(jìn)行判斷矩陣變換、尺度轉(zhuǎn)換以及綜合評(píng)定結(jié)果計(jì)算等過(guò)程，確定模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型所適用的隸屬度α[4～6]。采用模糊數(shù)學(xué)方法來(lái)確定收益率和風(fēng)險(xiǎn)度量值的優(yōu)點(diǎn)是可以控制收益率和風(fēng)險(xiǎn)所在的區(qū)間，克服由于經(jīng)典B-S模型采用歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行收益率和風(fēng)險(xiǎn)度量值擬合單個(gè)數(shù)據(jù)而帶來(lái)的不精確性，使得模型實(shí)際應(yīng)用更加合理且具有可操作性。

第三步：利用VaR在險(xiǎn)價(jià)值方法(Value at Risk)，對(duì)融資風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行量化，為實(shí)體金融風(fēng)險(xiǎn)的管理提供理論依據(jù)[7,8]。

第四步：利用模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行實(shí)例分析和計(jì)算。

1 模糊B-S期權(quán)定價(jià)理論

1.1 B-S期權(quán)定價(jià)模型

經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)模型為[2]：

C=SN(d1)-Xe-rTN(d2)

(1)

(2)

表1 符號(hào)表

在該B-S期權(quán)定價(jià)模型中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率通常以復(fù)利年息進(jìn)行計(jì)算，期權(quán)剩余存續(xù)時(shí)間用分?jǐn)?shù)計(jì)算，即期權(quán)剩余存續(xù)天數(shù)與365天的比值。

1.2 三角模糊數(shù)

首先，我們給出模糊數(shù)的定義[9]：

設(shè)在數(shù)域U上給定了映射：

(3)

定義：假設(shè)A∈F(u)(模糊冪集)[9]

(4)

(5)

圖1 隸屬函數(shù)坐標(biāo)

(6)

(7)

1.3 模糊B-S期權(quán)定價(jià)模型

模型假設(shè)[10]：(1)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率不隨時(shí)間的變化而改變；(2)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格(即實(shí)物期權(quán)項(xiàng)目的未來(lái)現(xiàn)金流現(xiàn)值)的波動(dòng)服從布朗運(yùn)動(dòng)，其收益率服從對(duì)數(shù)分布；(3)風(fēng)險(xiǎn)投資沒(méi)有分紅；(4)貸款利息忽略不計(jì)。

對(duì)經(jīng)典B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型中的波動(dòng)率σ、無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r以及標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S這三個(gè)變量進(jìn)行模糊化后，可以得到以下結(jié)果：

(8)

其中，每個(gè)變量由三個(gè)數(shù)構(gòu)成，三個(gè)數(shù)表示變量估計(jì)值的最小值、最可能值和最大值。

我們將上述三個(gè)自變量帶入經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)模型，可以進(jìn)一步推導(dǎo)出模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的公式[2]:

(9)

(10)

引入α-水平集的定義：

(11)

根據(jù)三角模糊數(shù)的四則運(yùn)算規(guī)則，我們將模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型轉(zhuǎn)換為以下形式:

(12)

(13)

(14)

(15)

其中:

(16)

2 VaR模型

2.1 VaR在險(xiǎn)價(jià)值度量模型

VaR方法(Value at Risk)，其意義是在一定的的顯著水平下，對(duì)某既定的目標(biāo)期間內(nèi)，不利的市場(chǎng)變動(dòng)可能導(dǎo)致資產(chǎn)價(jià)值的預(yù)期最大虧損的一種估計(jì)[4,8]?？梢员硎緸?

P(ΔV<-VaR)=1-p

(17)

其中，ΔV表示投資組合價(jià)值的收益；1-p為尾部水平。

2.2 VaR的計(jì)算

假定某種股票的現(xiàn)價(jià)為S，年波動(dòng)率為σ，年收益率r服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即r～N(0,σ)，p=0.95。計(jì)算接下來(lái)一段時(shí)間內(nèi)可能出現(xiàn)的最大虧損。假定：

(18)

?F-1(1-p)=x=S+SσN-1(1-p)

(19)

所以：VaR=S-F-1(1-p)=S-S-SσN-1(1-p)

=-SσN-1(1-p)

(20)

其中，N(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；N-1(·)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的逆分布；p為置信水平，一般取p=0.95。

根據(jù)上述的VaR計(jì)算度量模型，本文通過(guò)某企業(yè)螺紋鋼的產(chǎn)品數(shù)據(jù)，即螺紋鋼實(shí)物期權(quán)的預(yù)期現(xiàn)金流現(xiàn)值和風(fēng)險(xiǎn)波動(dòng)率，利用VaR計(jì)算度量模型，計(jì)算這一實(shí)物期權(quán)在給定置信水平下的損失大小，由此來(lái)判斷此螺紋鋼實(shí)物期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)大小，從而制定風(fēng)險(xiǎn)管理決策。

3 模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型實(shí)例分析

3.1 隸屬度α的確定

設(shè)定螺紋鋼風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)量化向B=(0.0974,0.2417,0.3353,0.2731,0.0628)[4,7,8]，并構(gòu)建風(fēng)險(xiǎn)量化標(biāo)準(zhǔn)V=(0.9、0.8、0.7、0.6、0.5)，V中各個(gè)數(shù)字表示的意義見(jiàn)表2:

表2 風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)等級(jí)量化表

即可獲得最終的風(fēng)險(xiǎn)量化結(jié)果：

(21)

根據(jù)有關(guān)鋼鐵行業(yè)的判斷矩陣和風(fēng)險(xiǎn)綜合評(píng)價(jià)矩陣[4,7]，通過(guò)尺度變換、一致性檢驗(yàn)和綜合評(píng)價(jià)結(jié)果計(jì)算等一系列的工作，我們得出對(duì)于鋼鐵行業(yè)風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的可控程度為0.7110。本文將風(fēng)險(xiǎn)量化的最終結(jié)果作為模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型中的隸屬度，即α=0.7110。為了便于后續(xù)的計(jì)算，本文保留兩位有效數(shù)字，即α=0.71。

3.2 模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的應(yīng)用

本文以某鋼鐵(集團(tuán))有限責(zé)任公司螺紋鋼投資計(jì)劃書(shū)為數(shù)據(jù)來(lái)源，通過(guò)模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行案例分析。

假設(shè)在未來(lái)一段時(shí)間內(nèi)，該公司的新開(kāi)項(xiàng)目的年產(chǎn)量為150萬(wàn)噸，原材料價(jià)格為461.5元/噸，生產(chǎn)綜合加工成本為291元/噸，稅率25%，其他成本為7261萬(wàn)元。則可以得到項(xiàng)目投資計(jì)劃表：

表3 項(xiàng)目投資計(jì)劃表

假設(shè)該項(xiàng)目分為兩期，第一期為5年的基建期，從2009年1月1日開(kāi)始，到2013年12月31日結(jié)束，項(xiàng)目總共投資107003.2萬(wàn)元，沒(méi)有盈利收入；第二期為營(yíng)業(yè)期，從2014年1月1日開(kāi)始，到2019年12月31日結(jié)束，持續(xù)5年，每年的稅后現(xiàn)金流量為13741萬(wàn)元，規(guī)定此項(xiàng)目的必要報(bào)酬率為10%，五年期內(nèi)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率(五年期國(guó)債貼現(xiàn)率)恒定不變，為4.17%，為便于后續(xù)計(jì)算，我們暫且按4%處理。那么營(yíng)業(yè)期5年項(xiàng)目的現(xiàn)值為:

(22)

則S=32343.29。由于項(xiàng)目總投資金額為107003.2萬(wàn)元，假設(shè)項(xiàng)目在建設(shè)期期初投資一半，另一半則在建設(shè)期期末投資。則項(xiàng)目總投資金額的現(xiàn)值為:

(23)

則X=97476.02。由于營(yíng)業(yè)期期初的投資額為53501.6，則可以得到營(yíng)業(yè)期的凈現(xiàn)值為:

(24)

從上面的計(jì)算結(jié)果可以看出，此項(xiàng)目在營(yíng)業(yè)期5年內(nèi)的NPV為負(fù)的876.99，顯然是不可取的。

據(jù)國(guó)內(nèi)股票期貨市場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)行情可知，股票市場(chǎng)的價(jià)格平均波動(dòng)率約為30%，定義該鋼鐵投資項(xiàng)目的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)率大約為33%，即σ=0.33。

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，此投資項(xiàng)目期權(quán)的主要參數(shù)：

表4 模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型參數(shù)表

把經(jīng)典B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的三個(gè)變量：無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率、波動(dòng)率、標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格進(jìn)行模糊化處理后，得到結(jié)果如下:

r=(0.036,0.04,0.044),σ=(0.30,0.33,0.36),S=(29108.96,32343.29,35577.62)

根據(jù)公式(6)，運(yùn)用三角模糊數(shù)的運(yùn)算規(guī)則，在α=0.71的情況下對(duì)以上3個(gè)參數(shù)進(jìn)行模糊化運(yùn)算，可以得到：

=(s1(1-α)+αs2,s3(1-α)+αs2)

=(31405.33,33281.25)

(25)

=(r1(1-α)+αr2,r3(1-α)+αr2)

=(0.03884,0.04116)

(26)

=(σ1(1-α)+ασ2,σ3(1-α)+ασ2)

=(0.32043,0.33957)

(27)

我們帶入公式(16)可以得到：

=-0.2150

=-0.0854

(28)

由模糊B-S期權(quán)定價(jià)模型公式(15)可以得到：

(29)

此項(xiàng)目的凈現(xiàn)值NPV為負(fù)的876.99，故可以得到此項(xiàng)目的期權(quán)實(shí)際價(jià)值為(6502.97-876.99，6727.15-876.99)，即(5625.98，5850.16)。

3.3 VaR在險(xiǎn)價(jià)值方法應(yīng)用

據(jù)某鋼鐵(集團(tuán))有限責(zé)任公司螺紋鋼投資計(jì)劃書(shū)數(shù)據(jù)我們可以得到以下計(jì)算：

表5 VaR值計(jì)算參數(shù)表

根據(jù)公式(20)我們可以計(jì)算出此螺紋鋼實(shí)物期權(quán)的在險(xiǎn)價(jià)值為：

VaR=-SσN-1(1-p)

=-32343.29×0.33×N-1(0.05)

=17556

(30)

運(yùn)用模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型，可以得到此螺紋鋼項(xiàng)目在風(fēng)險(xiǎn)可控度為0.71時(shí)其價(jià)值為(5625.98，5850.16)萬(wàn)元，短期利潤(rùn)額即可超過(guò)11%，投資可行性較高。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)算結(jié)果可知，此項(xiàng)目在5%的顯著水平下的在險(xiǎn)價(jià)值為17556萬(wàn)元，此項(xiàng)目總投資為107003.2萬(wàn)元，其風(fēng)險(xiǎn)大小對(duì)比多種大型實(shí)物期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)投資而言，風(fēng)險(xiǎn)基本可控，此項(xiàng)計(jì)算為投資者進(jìn)一步優(yōu)化投資決策提供了理論依據(jù)。

4 結(jié)論

根據(jù)本文研究結(jié)果可以知道，模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型在實(shí)際問(wèn)題中，得到的是風(fēng)險(xiǎn)投資項(xiàng)目期權(quán)價(jià)格的區(qū)間范圍，與經(jīng)典B-S期權(quán)定價(jià)模型相比，模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型引入了項(xiàng)目綜合評(píng)定過(guò)程，分析了風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目可能不完全實(shí)現(xiàn)的問(wèn)題，考慮了風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目不同的外部風(fēng)險(xiǎn)情況，這使得鋼鐵項(xiàng)目的投資者在投資前有一個(gè)價(jià)格參考區(qū)間，而非一個(gè)精確值[9～16]。如圖2所示，在不同的外部風(fēng)險(xiǎn)情況下，所得到的項(xiàng)目隸屬度也不同，從而使得風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的期權(quán)價(jià)格區(qū)間也不同。從圖2可以看出，風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)可控度越高，即模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型的隸屬度越大，那么風(fēng)險(xiǎn)項(xiàng)目期權(quán)價(jià)格區(qū)間也越精確。

圖2 隸屬度圖

VaR在險(xiǎn)價(jià)值方法的運(yùn)用，得到了鋼鐵類(lèi)項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)未來(lái)可能損失的最大值，這給項(xiàng)目投資者提供了統(tǒng)一的風(fēng)險(xiǎn)計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)。而且VaR在險(xiǎn)價(jià)值方法在測(cè)量項(xiàng)目風(fēng)險(xiǎn)中簡(jiǎn)潔明了，相對(duì)于以往諸多事前衡量的風(fēng)險(xiǎn)管理方法，其可以實(shí)現(xiàn)事前計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)，這不僅方便了項(xiàng)目的投資者和管理者，而且為市場(chǎng)監(jiān)管者提供了監(jiān)測(cè)市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)資本充足率的有效途徑。

模糊B-S實(shí)物期權(quán)定價(jià)模型和VaR在險(xiǎn)價(jià)值方法，能夠在環(huán)境復(fù)雜多變、市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)日益激烈的情況下，對(duì)鋼鐵類(lèi)實(shí)物期權(quán)進(jìn)行合理的定價(jià)和風(fēng)險(xiǎn)量化，這促進(jìn)了我國(guó)金融衍生品市場(chǎng)的發(fā)展，有利于實(shí)物風(fēng)投項(xiàng)目綜合風(fēng)險(xiǎn)控制的精準(zhǔn)性。