基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺研制

王白王，賈巨民，許愛芬

(1.陸軍軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.陸軍軍事交通學院 軍事物流系，天津 300161)

● 基礎科學與技術BasicScience&Technology

基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺研制

王白王1，賈巨民2，許愛芬2

(1.陸軍軍事交通學院 研究生管理大隊，天津 300161；2.陸軍軍事交通學院 軍事物流系，天津 300161)

基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺，可用于對控制精度要求不高的場合，實現平面運動向球面運動的轉換。在對球齒輪齒盤機構運動學進行分析的基礎上，設計萬向平臺機械結構和控制方法。最后利用ADAMS仿真驗證了該平臺控制精度，能夠滿足實際應用要求。

球齒輪齒盤機構；運動學方程；PLC控制；ADAMS仿真

球齒輪機構是一種具有兩個自由度,可用來傳遞二維回轉運動的新型齒輪機構，在改變機構傳動方向上有獨特的優(yōu)勢。當一個球齒輪齒數為無窮多時，其分度球半徑將趨于無窮大，球齒輪機構就演變成了球齒輪齒盤機構，它能夠實現球面運動和平面運動之間的轉換。因此，凡是需要實現姿態(tài)控制和柔性連接的場合都可用該機構作為傳動執(zhí)行機構，可廣泛應用在航空航天、武器制導和機器人等領域。

潘存云等[1-3]對漸開線環(huán)形齒球齒輪的基本概念、嚙合原理、結構特點、運動學方程等作了系統(tǒng)研究，對球齒輪的齒廓方程進行了推導，提出了3種齒廓切制方法；姚齊水等[4]提出了一種簡便的球齒輪實體建模方法；李婷[5]研究了裝配誤差對球齒輪傳動機構定位精度的影響；高翔等[6]研究了球齒輪柔性軸的姿態(tài)算法；李強等[7]設計了一種利用動力學模型精確控制的球齒輪齒盤機構定向平臺。上述文獻奠定了球齒輪機構應用研究的基礎。

由于球齒輪齒盤機構傳動運行速度較低，在一些對控制精度要求不高的場合，不需要使用復雜的動力學模型進行控制[7]。因此，本文設計一種基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺，該平臺由機械本體和控制系統(tǒng)兩部分組成。其中機械本體為球齒輪齒盤機構，控制系統(tǒng)為基于PLC的步進電機驅動控制系統(tǒng)。平臺運行時，利用控制系統(tǒng)控制齒盤的運動輸入，相應的球齒輪輸出與齒盤相嚙合的球面運動。該平臺電機輸出軸負載小，控制系統(tǒng)簡便，具有廣泛的應用前景。

1 球齒輪齒盤機構基本原理

1.1 球齒輪齒盤機構的形成

如圖1(a)所示為一對圓柱齒輪嚙合，在圖示位置時兩齒輪中心連線與兩齒輪的極軸相重合。將這一對相互嚙合的圓柱齒輪剖面(圖中陰影部分)繞極軸旋轉360°便得到一對相互嚙合的球齒輪(如圖1(b)所示)，圓柱齒輪中有關的各種圓，相應的此時全部演變?yōu)橄鄳那騕8]。如圖1(c)所示，將兩齒輪分別安裝在一組兩自由度的萬向框架上，使其繞各自中心作定點運動，就可以實現一對節(jié)球的純滾動。如圖2所示，當一個球齒輪的分度球半徑為無窮大時，球齒輪演變?yōu)橐粋€平面齒環(huán)，過齒環(huán)中心的剖面所截得的齒形為一個標準齒條，此時球齒輪機構就演變成為球齒輪齒盤機構，其中球齒輪作球面運動，齒盤作平面運動。因此球齒輪齒盤機構可以實現平面運動和球面運動的相互轉換。

圖1 球齒輪機構形成示意

圖2 球齒輪齒盤輪機構示意

1.2 球齒輪齒盤機構的運動學分析

如圖3所示，建立如下坐標系：

(1)固定坐標M10=[O10,x10,y10,z10]和M20=[O20,x20,y20,z20]。

圖3 球齒輪齒盤機構坐標系

(2)齒盤固連坐標M1=[O1,x1,y1,z1]。

(3)球齒輪固連坐標M2=[O2,x2,y2,z2]。

在球齒輪齒盤機構中，球齒輪的分度球與齒盤的節(jié)平面作純滾動。設球齒輪的分度球半徑為r，則齒盤極軸末端初始位置的坐標和球齒輪輸出軸末端C點初始位置坐標均為(0,r,0)。當球齒輪從初始位置往任意方向偏轉θ時，在包含該方向的截面內，球齒輪齒盤的運動等同于普通圓柱齒輪與標準齒條的嚙合運動。球齒輪的偏轉角θ與齒盤的移動距離S有如下關系:

S=rθ

(1)

當齒盤為主動構件時，其輸入參數為x軸方向和z軸方向的位移sx和sz,輸出參數為輸出軸端點坐標(xc,yc,zc)。齒盤移動的距離S和方位角α分別為

(2)

輸出軸端點坐標(xc,yc,zc)為

(3)

當球齒輪作為主動件時，其運動為球面的偏轉運動，該運動可以視作分別繞x軸和z軸的分轉動的合成。因此，其輸入參數為分別繞x軸和z軸轉動的角度βx和βz,輸出參數為齒盤的位移(sx,sz)。

根據旋轉變換坐標轉換公式可得

(4)

式中Rx、Rz分別為繞x軸和繞y軸的旋轉矩陣。

因為同一點在同一坐標系下坐標相同，因此式(3)與式(4)相等

(5)

解式(5)可得偏轉角θ和方位角α為

(6)

聯(lián)立式(1)、(2)、(6)可解出齒盤位移為

(7)

2 萬向平臺結構設計

2.1 萬向平臺機械本體

萬向平臺結構由機械本體和控制系統(tǒng)兩部分組成。圖4為該萬向平臺的機械本體實物。電機通過絲杠滾珠機構驅動，使滑塊a和b分別沿x軸和z軸方向滑動；齒盤通過基座固連在滑塊a上，其運動為滑塊a和b的合成運動；圓環(huán)與支架鉸接，球齒輪通過橫軸與圓環(huán)鉸接，球齒輪可以在空間內做兩自由度的轉動，且轉動中心位于圓環(huán)的中心位置；齒盤與球齒輪相互嚙合，齒盤的平面運動轉化成球齒輪的球面運動；球齒輪輸出軸末端可以根據設計加裝不同類型的裝置，跟隨球齒輪做牽連運動。根據以上分析，可知該平臺自由度為2，原動件與系統(tǒng)自由度相等，因此該平臺具有確定的運動。

圖4 萬向平臺機械本體實物

2.2 萬向平臺控制系統(tǒng)

如圖5所示，萬向平臺控制系統(tǒng)主要由計算機、PLC、步進電機驅動器和步進電機組成?？刂葡到y(tǒng)控制原理是利用計算機軟件編程控制PLC產生脈沖，通過脈沖的個數來控制電機角位移量，達到定位的目的；同時通過控制脈沖頻率來控制電機轉動的速度，達到調速的目的。

圖5 萬向平臺控制系統(tǒng)示意

3 萬向平臺控制方法設計

3.1 萬向平臺控制流程

萬向平臺主要功能是將平面運動轉換成球面運動，平臺運行控制流程如圖6所示。

圖6 萬向平臺控制流程

3.2 萬向平臺運動學模型

萬向平臺控制的基礎是對運動學模型的求解，運動學模型包括正向運動學模型和逆向運動學模型。正向運動學模型是指在已知齒盤運動狀態(tài)的條件下求解球齒輪輸出軸末端點的運動狀態(tài)；逆向運動學模型是指在已知輸出軸末端點運動狀態(tài)的條件下，確定齒盤的運動狀態(tài)。由于萬向平臺是根據球齒輪輸出軸末端的運動軌跡來確定齒盤的運動輸入，因此關鍵是建立逆向運動學模型。

以該平臺球齒輪輸出軸末端為坐標原點，建立如圖4所示的坐標系。設球齒輪中心至輸出軸末端點距離為l，分度球半徑為r，用s1表示齒盤沿x軸位移，s2表示沿z軸位移，根據式(1)和式(2)可算出球齒輪的偏轉角θ和方位角α

(8)

由式(7)、(8)可得

(9)

根據式(9)可計算出s1和s2，進而可以計算出電機的驅動參數。

3.3 電機驅動參數計算

由于逆向運動模型求解出的僅僅是齒盤x軸方向和z軸方向上的位移，還需要將該位移換算成電機角位移和脈沖數。計算公式為

角位移=齒盤位移/螺距

脈沖數=角位移/(步距角×驅動器細分數)

PLC通過位置控制功能控制對電機的脈沖輸入。位置控制是指從起始地址到目標地址，地址表示每一時刻電機的位置，其值大小用脈沖數表示。位置控制功能有位置的絕對控制和位置的相對控制兩種運行方式，不同的運行方式對地址的計算方法有所區(qū)別。

(1)位置的絕對控制。這種方式需要指定原點地址，其在程序中寫入的是目標地址。目標地址是相對原點的有向距離，有正有負。電機的轉向決定于位置轉移量的符號，轉移量等于起始地址和目標地址之差。如果開始地址<目標地址，則轉移量為正，電機正轉；相反，如果開始地址>目標地址，則轉移量為負，電機反轉。如圖7所示，起始地址是1 000，目標地址是8 000，轉移量是8 000-1 000=7 000，符號為正，表示電機正轉7 000個脈沖控制的角位移量。

圖7 位置的絕對控制示意

(2)位置的相對控制。這種方式直接在程序中寫入位置的轉移量，轉移方向決定于轉移量的符號。如圖8所示，起始位置為5 000，轉移量為-7 000，表示電機反轉7 000個脈沖控制的角位移，所到達的目標地址為5 000-7 000=-2 000。

圖8 位置的相對控制示意

選定位置控制方式之后可進行計算機編程。

3.4 PLC編程

在計算機中對PLC進行編程控制。由于電機的轉動一般是非勻速的，無法直接通過編程實現連續(xù)控制，只能將其運動數據離散化。離散化的思想是將電機的轉動按一定的時間間隔，劃分為若干子區(qū)間，當時間間隔足夠小時，可近似認為在每個子區(qū)間內電機作勻速轉動。以位置的絕對控制為例說明利用離散化思想編程需要的基本參數：

(1)記ti時刻電機地址為L1,其中L0=0。

(2)時間間隔Δti=ti-ti-1，t0=0(i=0,1,…)。Δti要足夠小，保證在ti-1至ti內能將電機轉動近似看作勻速轉動而不至引起太大誤差。

(3)轉移量ΔLi=Li-Li-1，L0=0，電機轉速vi=ΔLi/Δti(i=1,2,…)。

根據以上參數編寫梯形圖程序，圖9為控制程序流程。

圖9 控制程序流程

4 萬向平臺運動仿真分析

4.1 螺旋運動仿真

用SolidWorks構建萬向平臺的實體模型，導入ADAMS中，添加相關約束，可得到如圖10所示的實體模型。

根據式(8)可以設計平臺輸出軸末端的運動軌跡，然后將相關參數輸入ADAMS中進行仿真，可以得到齒盤在x軸和z軸上的運動規(guī)律。

設計輸出軸末端點作螺旋運動:球齒輪極軸沿x軸正向偏轉30°，然后繞y軸順時針轉動兩周，同時輸出軸末端點沿z軸正方向上做勻速直線運動，最后回到原點，運動軌跡如圖11所示。采用一般驅動進行仿真，可以得到齒盤在x軸和z軸上的位移，如圖12和圖13所示。

圖10 萬向平臺機構實體模型

圖11 輸出軸末端點螺旋運動軌跡

圖12 齒盤x軸方向位移

圖13 齒盤z軸方向位移

4.2 仿真結果分析

將圖12與圖13中位移仿真結果與理論計算結果進行對比，其中實線代表理論值曲線，點劃線代表仿真值曲線?？煽闯鰞煞N曲線基本重合，說明齒盤位移的仿真值和理論計算值偏差較小。其中，齒盤在x軸方向上兩種位移曲線偏離程度最大的區(qū)間，是在運行至約1 s時負向位移最大值點附近，最大偏離值為0.84 mm；齒盤在z軸方向上兩種曲線偏離最大的區(qū)間，在約4 s時負向位移最大值點附近，最大偏離值為1.27 mm。兩圖中曲線均在位移最大值點附近產生了較大程度的偏離，主要原因是由于在這些區(qū)間中速度方向發(fā)生改變，導致既有負向位移，又由于速度方向變化產生了方向相反的正向位移。而且這些區(qū)間內平均速度較大導致正負位移在數值上均較大，而軟件在劃分運行步時將速度方向變化的時刻劃分在了區(qū)間內部，導致仿真值是被正負位移相互抵消后的結果，因而與理論值有較大偏差。除此之外，在其余區(qū)間內兩種曲線只有微小程度的偏離，這種誤差的來源可能是由于ADAMS建模時球齒輪齒盤機構的相關參數不夠精確產生的，也可能是對球齒輪中心至輸出軸末端點距離測量不準確造成的。

通過計算可知，在x軸和z軸方向上位移理論值和仿真值的最大誤差僅占總位移值的1.12%和2.54%，符合一些對控制精度要求不高的低速傳動機構的誤差標準，證明基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺是能夠滿足實際應用要求的。

5 結 語

本文分析了球齒輪齒盤機構的形成原理，推導了球齒輪齒盤機構的運動學公式。在此基礎上，設計了一種基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺及其控制方法。通過ADAMS運動仿真，分析了仿真過程中誤差產生的原因，驗證了基于運動學模型控制的球齒輪齒盤機構萬向平臺是能夠滿足實際應用精度要求的，為該平臺的實際應用奠定了基礎。

[1] 潘存云,溫熙森.漸開線環(huán)形齒球齒輪傳動原理與運動分析[J].機械工程學報,2005,41(5):1-9.

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[5] 李婷.漸開線環(huán)形齒球齒輪傳動理論研究[D].長沙：國防科學技術大學,2009.

[6] 高翔,劉政華,李明宇.基于球齒輪柔性軸的姿態(tài)算法[J].中國測試計數,2008,34(6):4-7.

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[8] 秦虎,朱小浩,張有兵,等.球齒輪研究發(fā)展綜述[J].現代制造工程,2008(9):128-131.

DevelopmentofUniversalPlatformforSphericalGearandFlutedDiscMechanismBasedonKinematicsModel

WANG Baiwang1, JIA Jumin2, XU Aifen2

(1.Postgraduate Training Brigade, Army Military Transportation University, Tianjin 30061, China;2.Military Logistics Department, Army Military Transportation University, Tianjin 300161, China)

Universal platform of spherical gear and fluted disc mechanism based on kinematics model can be used in the areas with low requirement of control accuracy, and it can realize the transition from planar motion to spherical motion. After analyzing the kinematics of spherical gear and fluted disc mechanism, the paper designs the mechanical structure and control method of universal platform. Then, it verifies the control precision of the platform with ADAMS, which can meet the requirements of practical application.

spherical gear and fluted disc mechanism; kinematics equation; PLC control; ADAMS simulation

2017-04-17；

2017-06-05.

王白王(1992—)，男，碩士研究生；

賈巨民(1965—)，男，博士，教授，碩士研究生導師.

10.16807/j.cnki.12-1372/e.2017.12.017

TH132.41

A

1674-2192(2017)12- 0074- 06

(編輯：史海英)