基于積分反步法的四旋翼無人機控制系統(tǒng)抗擾動分析

秦華偉

(山西職業(yè)技術(shù)學院，山西 太原 237016)

0 引 言

四旋翼無人機因其低成本、高性能、獨特的結(jié)構(gòu)和飛行模式而被廣泛應用于軍事和民用領(lǐng)域，而飛行控制系統(tǒng)是決定整體無人機飛行狀態(tài)的關(guān)鍵所在.目前，四旋翼無人機仍以傳統(tǒng)類型的PID控制器為主，然而，由于受各種環(huán)境因素以及外部干擾等影響，該類傳統(tǒng)控制方法已無法完全滿足實際使用需要.為此，人們相繼提出了各種非線性控制方法[1-4]，其中，為保證四旋翼無人機系統(tǒng)輸出狀態(tài)的快速收斂，Madani T.等人率先提出了一種反步控制法[5]，該方法在無干擾理想軌跡跟蹤條件下具有良好的性能；隨后，Mian等人結(jié)合實際情況提出了反饋線性化和基于反步法的PID控制策略來實現(xiàn)欠驅(qū)動系統(tǒng)的運動控制[6]，使系統(tǒng)能夠針對外界干擾和模型不確定性具有一定的魯棒性；同時，國內(nèi)石川等人在反步法中引入積分環(huán)節(jié)構(gòu)成了積分反步法，并和模糊控制相結(jié)合，來解決系統(tǒng)的不確定性，進而提高無人機的系統(tǒng)輸出響應和魯棒性[7].

事實上，四旋翼無人機在實際飛行過程中，風擾動是不可忽略的主要因素，因此，為考察風擾動因素對飛行控制方法的影響，本文結(jié)合飛行器動力學理論以及反步控制方法，提出了一種積分反步控制器模型，著重對比其在風擾動條件下積分反步法與PID控制系統(tǒng)的輸出響應，進而為反步控制方法在四旋翼無人機控制系統(tǒng)中的應用提供參考.

1 四旋翼無人機動力學模型

眾所周知，四旋翼無人機是依靠四旋翼運動提供的扭矩和升力進行飛行的，而不同的升力和扭矩則取決于四個旋翼的轉(zhuǎn)速變化.為便于進行動力學建模，針對四旋翼無人機需做如下假設：① 近似認為無人機本體和葉片均為剛體，忽略它們的彈性形變；② 機體坐標系的坐標原點與無人機的質(zhì)心一致；③ 四旋翼無人機的機身關(guān)于機體坐標系的各個坐標軸對稱；④ 升力和阻力與旋翼轉(zhuǎn)速的平方成正比；⑤ 無人機的質(zhì)量、重力加速度和轉(zhuǎn)動慣量保持不變.

為了建立無人機的數(shù)學動態(tài)模型，首先需要確認坐標系，典型十字布局的四旋翼無人機地面坐標系E與機體坐標系B如圖1 所示.根據(jù)Newton-Euler方法，在外力作用下，機體坐標系中的剛體動力學方程為[8]

(1)

式中：I3×3是機體坐標系的單位矢量；V是無人機的質(zhì)心線速度；ω是無人機的旋轉(zhuǎn)角速度；F是無人機受到的外力；τ是無人機受到的外力矩；I是無人機機體的三軸轉(zhuǎn)動慣量；m為無人機質(zhì)量.

對于式(1)可以改寫為[9]

(2)

式中：x，y，z分別為無人機的坐標位置；φ,θ,φ分別為無人機的橫滾角，俯仰角以及偏航角；Ix,Iy以Iz及分別為無人機繞機體坐標系的轉(zhuǎn)動慣量；U1,U2,U3,U4則為與無人機旋翼控制電機相關(guān)的變量；l1與l2分別是無人機涵道到質(zhì)心的橫向與縱向距離.

圖1 四旋翼無人機的坐標系Fig.1 The coordinate system of the quadrotor UAV

2 反步積分法控制律設計

2.1 飛行控制器總體設計

根據(jù)四旋翼無人機的動態(tài)數(shù)學模型，整個控制系統(tǒng)可分為兩個子系統(tǒng)，內(nèi)環(huán)為姿態(tài)控制，外環(huán)為位置控制.具體控制回路如圖2 所示.

實際飛行過程中，預先給定位置控制回路的軌跡控制量xd,yd,zd和姿態(tài)控制回路的控制量期待偏航角φd，期待滾轉(zhuǎn)角φd和期待俯仰角θd，同時，引入4個與旋翼控制電機相關(guān)的控制量[U1,U2,U3,U4]，將非線性系統(tǒng)分解成4個獨立的控制路徑.通過位置控制回路可以解算出控制x,y,z3軸位移的控制量U1，而通過姿態(tài)控制回路可以解算出控制φ,θ,φ3個姿態(tài)角的控制量U2,U3,U4，將這4個控制量輸入到電機轉(zhuǎn)速逆變換模塊可以解算出電機轉(zhuǎn)速[Ω1,Ω2,Ω3,Ω4].具體轉(zhuǎn)換關(guān)系為

(3)

式中：b為旋翼升力系數(shù)；d為旋翼阻力系數(shù)；Ω為旋翼的轉(zhuǎn)速.

依據(jù)上述關(guān)系將電機轉(zhuǎn)速逆變換后得到的速度引入到電機整體模型中，進而解算出整個控制回路的位置信號反饋和姿態(tài)信號反饋，從而形成閉環(huán)反饋系統(tǒng).

圖2 四旋翼無人機控制系統(tǒng)框圖Fig.2 Quadrotor UAV control system block diagram

2.2 位置控制回路設計

首先，設計基于積分反步法控制器的四旋翼無人機的高度控制通路，并通過積分反步法推導出控制變量U1.

第一步，先定義高度的跟蹤誤差e7及其積分項

(4)

選擇Lyapunov函數(shù)為

(5)

因為V(χ4,e7)≥0，則該函數(shù)是正定的，對式(5)求導得

(6)

式中：f1是假設的虛擬控制量，令：

(7)

第二步，定義高度的二階跟蹤誤差，即速度追蹤誤差

(8)

則

選擇Lyapunov函數(shù)為

(9)

該函數(shù)是正定的，求導得

(10)

(11)

則該系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

式(11)進一步整理可得

(c7+c8)e8-c7λ4χ4].

(12)

引入水平位置控制的虛擬控制量

(c9,c10,c11,c12,λ5,λ6>0)，

(13)

式中：

式中：(χ5,χ6)分別為x,y水平方向的誤差積分，并且c7,c8,c9,c10，c11均為大于零的常數(shù).

2.3 姿態(tài)控制回路設計

內(nèi)環(huán)的姿態(tài)控制回路同樣采用積分反步法來控制，用與推導高度控制量同樣的方法可以推出滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的控制量[U2,U3,U4].

(c3,c4,c5,c6,λ2,λ3>0),

(14)

其中，

式中：(χ1,χ2,χ3)分別代表滾轉(zhuǎn)角、俯仰角和偏航角的誤差積分，并且c1～c6均為大于零的常數(shù).

3 仿真算例

根據(jù)上述控制回路在MATLAB/SIMULINK環(huán)境下構(gòu)建四旋翼無人機控制系統(tǒng)的仿真模型，其中，無人機原始參數(shù)取值為：旋翼升力系數(shù)b與阻力系統(tǒng)d分別為：4.95×10-5，7.5×10-7；涵道到質(zhì)心的橫向距離l1與縱向距離l2均為：0.25 m；四旋翼無人機的質(zhì)量m為1.44 kg；繞機體坐標系xyz的3軸轉(zhuǎn)動慣量分別為：0.028 kg·m2，0.028 kg·m2與0.074 kg·m2.

3.1 軌跡跟蹤效果驗證

設無人機的初始狀態(tài)靜止于坐標系的原點，初始姿態(tài)角為0°，期望偏航角為0°，使其跟蹤軌跡：x=0.3sin(t/2);y=sin(t/4);z=0.2t.計算得到三維軌跡跟蹤曲線以及跟蹤誤差分別如圖3，圖4 所示.從圖3 與圖4 中可以看出，跟蹤軌跡與給定期望軌跡走向基本一致，并且3個軸的水平位移和高度變化在期望值的0.05 m之內(nèi)，滾轉(zhuǎn)角和偏航角變化在期望值的±10°之內(nèi)，因此，在積分反步控制方法下無人機飛行穩(wěn)定、跟蹤效果良好.

圖3 三維軌跡跟蹤曲線Fig.3 3D trajectory tracking curve

圖4 積分反步法控制律跟蹤誤差Fig.4 The tracking error of the integral anti-step control law

3.2 抗脈沖干擾分析

為便于對比分析，本文分別選擇了PID、反步法以及積分反步法進行對比，其中，針對脈沖干擾在t=5 s時在3個通道的力矩輸入端分別加入幅值為0.25 N·m，持續(xù)時間為0.1 s的干擾力矩.無人機的姿態(tài)角響應曲線如圖5 所示.從圖5 中可以看出，PID控制律的俯仰角和橫滾角波動約為1° ,偏航角波動約為2°，穩(wěn)定時間則需3 s；而積分反步法控制律的滾轉(zhuǎn)角波動僅約為0.2°，俯仰角波動約僅為0.3°，偏航角則不到1°，穩(wěn)定時間也只需1 s，并且對橫滾與偏航通道的控制性能也要優(yōu)于反步法.

圖5 3種控制方法脈沖干擾響應對比Fig.5 Comparison of pulse interference response of three control methods

3.3 抵抗陣風干擾效果對比

同樣地，針對陣風干擾，仿真中t=8 s～11 s之間在3個通道的力矩輸入端分別加入幅值為0.25 N·m，持續(xù)時間為3 s的干擾力矩，PID控制系統(tǒng)和反步法控制系統(tǒng)以及積分反步法控制系統(tǒng)的姿態(tài)角輸出曲線如圖6 所示.

圖6 3種控制方法陣風干擾響應對比Fig.6 Comparison of gust interference response of three control methods

PID控制律的俯仰角和滾轉(zhuǎn)角波動約為0.7°，偏航角約為18°，穩(wěn)定時間約需3 s；積分反步法控制律的滾轉(zhuǎn)角約為0.2°，俯仰角約為0.35°，偏航角則不到2°，穩(wěn)定時間也只需1 s.因此，當系統(tǒng)存在陣風干擾的時候，積分反步法的抗干擾效果也得到了顯著提高，同時，整體性能略優(yōu)于反步法.

4 結(jié) 論

本文依據(jù)四旋翼無人機的結(jié)構(gòu)和飛行原理建立了無人機動力學模型，設計了基于積分反步法的控制系統(tǒng)回路，在此基礎上，進行了軌跡跟蹤以及抗干擾仿真分析.仿真結(jié)果表明，該積分反步控制方法對四旋翼無人機的飛行軌跡跟蹤效果良好.同時，針對脈沖干擾和陣風擾動，分別對比了PID控制器、反步法控制器和積分反步法控制器的抗擾動響應.結(jié)果顯示，與PID控制器相比，反步法控制器和積分反步法控制器在脈沖和陣風擾動情況下的姿態(tài)角誤差較小，并且積分反步法控制相較于反步法控制的優(yōu)勢在于其引入了積分環(huán)節(jié)可以更好地消除模型誤差.