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    問題引領(lǐng) 拓展變式

    2019-12-16 05:32:42文張
    初中生世界 2019年42期
    關(guān)鍵詞:勾股定理紙片直角三角形

    文張 麗

    (作者單位:江蘇省太倉市第一中學(xué))

    勾股定理可以解決“已知直角三角形的兩條邊長,求第三邊”問題。除此之外,在求解折疊問題時,也常會出現(xiàn)直角三角形及其邊長的數(shù)量關(guān)系,此時可結(jié)合題意,借助相關(guān)概念及圖形性質(zhì),找到或者構(gòu)造出各邊之間存在著某些數(shù)量關(guān)系的直角三角形,從而利用勾股定理列出方程求解。下面對這類問題進(jìn)行歸類整理。

    一、利用折疊建立數(shù)量關(guān)系

    這類問題關(guān)鍵是要結(jié)合已知條件,利用折疊等性質(zhì),找到或構(gòu)造直角三角形,將三邊用含同一個字母的代數(shù)式表示,然后利用勾股定理列出方程求解。

    例1 如圖1,將一個三角形紙片沿著DE折疊,使點B落在點A處,請分析圖形特征,說出相關(guān)線段的數(shù)量和位置關(guān)系。

    圖1

    圖2

    【解析】這是一個開放性問題,主要考查同學(xué)們對折疊性質(zhì)的掌握情況,線段AD=BD,AE=BE,AB⊥DE。

    變式如圖2,直角三角形紙片的兩直角邊的長分別為AC=6cm,BC=8cm?,F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB上,且與AE重合,求CD的長。

    【解析】由翻折得AC=AE=6,設(shè)CD=x=DE,BE=4,BD=8-x,由勾股定理知x2+16=(8-x)2,解得x=3。

    【點評】通過勾股定理建立方程是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。先設(shè)未知數(shù)把未知的量與已知的量集中到一個直角三角形中,再通過勾股定理建立方程,然后解方程求出CD的長。

    例2 已知如圖3,將一個長方形紙片ABCD沿對角線AC折疊,使點B落在點E處,AE交CD于點F,AB=10cm,AD=8cm,求AF的長。(同學(xué)們可自己提出問題再解決)

    圖3

    圖4

    【解析】這是一個開放性問題,由翻折得AB=AE=10,EC=8,設(shè)CF=x,AF=x,EF=10-x,由勾股定理知,(10-x)2+64=x2,x=8.2。當(dāng)然也可以求EF等線段。

    變式在長方形紙片ABCD中,AB=10cm,AD=8cm,按圖4方式折疊,使點B與點D重合,折痕為EF,求DE的長。(同學(xué)們可自己提出問題再解決)

    【點評】通過勾股定理建立方程是數(shù)學(xué)中常用的思想方法。所謂方程思想,就是通過觀察、分析、判斷,從已知量和未知量之間的位置關(guān)系或數(shù)量關(guān)系入手,找出等量關(guān)系,運用數(shù)學(xué)符號語言將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程,再通過解方程來解決問題。運用勾股定理構(gòu)建方程,建立已知量與未知量之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵,同時體現(xiàn)了運用方程思想解題的簡便快捷。

    二、利用全等的性質(zhì)或者等腰三角形性質(zhì)建立數(shù)量關(guān)系

    例3 如圖5,在矩形ABCD中,AB=8,BC=6,P為AD上一點,將△ABP沿BP翻折至△EBP,PE與CD相交于點O,且OE=OD,則AP的長為 。

    圖5

    圖6

    【解析】根據(jù)OE=OD,可以證明△OPD≌△OGE,從而得到EG=PD,EP=DG。若設(shè)AP=x,則CG、BG可以用含x的代數(shù)式表示。在Rt△BCG中,BC的長已知,利用勾股定理列出方程求解即可。

    設(shè)AP=EP=DG=x,則GE=PD=6-x,CG=8-x,BG=2+x。在 Rt△BCG中,BC2+CG2=BG2,即 62+(8-x)2=(x+2)2,解得x=4.8,∴AP的長為4.8。

    變式如圖6,在矩形ABCD中,M為BC邊上一點,連接AM,過點D作DE⊥AM,垂足E。若DE=CD=1,AE=2EM,則BM的長為________。

    解:連接DM,在Rt△DEM和Rt△DCM中,

    ∴Rt△DEM≌Rt△DCM,

    ∴∠AMD=∠CMD。

    ∵AD∥BC,

    ∴∠DMC=∠ADM,

    ∴∠AMD=∠ADM,

    ∴AD=AM。

    設(shè)EM=CM=x,則AD=AM=BC=3x,

    ∴BM=2x。

    在Rt△ABM中,AB2+BM2=AM2,

    即 12+(2x)2=(3x)2,

    【點評】解決這類問題的關(guān)鍵是首先要找到或構(gòu)造出這樣的一個直角三角形,利用全等、等腰三角形等性質(zhì)確定其中兩邊的數(shù)量關(guān)系。那么,這兩條邊都可以用含同一個字母的代數(shù)式表示,然后利用勾股定理列出方程,求解即可。

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