新型二維三組元壓電聲子晶體板的缺陷態(tài)及振動能量回收*

孫偉彬 王婷 孫小偉 康太鳳 譚自豪 劉子江2)?

1) (蘭州交通大學數(shù)理學院,蘭州 730070)

2) (蘭州城市學院物理系,蘭州 730070)

設計了一種由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環(huán)氧樹脂短板上構(gòu)成的1×5新型二維壓電聲子晶體板,并利用超元胞法結(jié)合有限元方法分別計算了完美聲子晶體板和缺陷聲子晶體板的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損失.通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成點缺陷波導,以限制彈性波能量流,該聲子晶體板克服了材料參數(shù)和結(jié)構(gòu)參數(shù)已確定的情況下振動波導方向不可變的局限性.壓電效應有利于完全帶隙的擴大,當缺陷態(tài)的頻率出現(xiàn)在帶隙內(nèi)時,缺陷態(tài)響應頻率范圍隨之擴大,因此可以收集更寬頻率范圍的機械能.用振動能量回收電路連接缺陷處壓電片上下表面的電極,能夠?qū)⒄駝铀a(chǎn)生的機械能轉(zhuǎn)化為電能.

1 引 言

聲子晶體是聲波或彈性波在其中以一定的特性傳播的周期性復合材料,其最主要的特性是存在能夠阻止聲波或彈性波在一定頻率范圍內(nèi)傳播的聲子帶隙[1,2].當聲子晶體的固有周期性被打破時,就會產(chǎn)生缺陷態(tài),此時聲波或彈性波的分布將局限于點缺陷處或沿線缺陷傳播[3-6].由于帶隙和缺陷態(tài)的存在,聲子晶體具有許多潛在的應用前景,可以廣泛地應用到聲波導、便攜式設備和無線傳感器等器件中[7-9],同時這些裝置的能源供給需求也在不斷增長,因此研究如何從裝置本身周圍振動環(huán)境中回收能量,是方便且具有潛力的自供電方式[10-13].基于機械或聲學振動原理的材料應用中,經(jīng)常使用壓電、壓阻、磁致伸縮等各類功能性材料,其中壓電材料的能量回收技術(shù)主要是將機械或聲學振動引起散射體形變所產(chǎn)生的應變能轉(zhuǎn)換為電能,通過外接電路回收的電能,既可以儲存在電容中,又可以直接為負載供電[14-27].

壓電材料可將機械應變能轉(zhuǎn)化為電能,電能可被傳感器和無線發(fā)射機等電子設備儲存和利用.在利用壓電材料獲取能量的研究中,Poulin等[21]將壓電式能量回收和電磁式能量回收方法為便攜式電子元器件供電的能力進行了對比,得出壓電系統(tǒng)可以獲得更高的能量密度,更適合在微機電系統(tǒng)中應用；Roundy和Leland[22]比較分析了壓電、電磁和靜電能量回收效率,發(fā)現(xiàn)壓電式能量回收裝置的相對功率密度更高；Lu等[23]根據(jù)機電耦合效應,設計出了壓電發(fā)電機在微機電系統(tǒng)中的應用模型,發(fā)現(xiàn)增加壓電材料的振動頻率可以提高輸出功率；Horowitz等[24]和Liu等[25]使用機電諧振器作為聲能收集裝置,該裝置的原理是在諧振器的諧振腔內(nèi)產(chǎn)生振動壓力來引起壓電材料的振動,從而實現(xiàn)了聲能到電能的轉(zhuǎn)換；Wu等[26]用聲子晶體材料研制了一種聲能采集器,該采集器的原理是在完美聲子晶體板中移除一個桿從而產(chǎn)生點缺陷以充當共振腔,在共振腔上端覆蓋一層聚偏氟乙烯壓電聲子晶體薄膜進行能量收集,研究發(fā)現(xiàn)當入射聲波的頻率達到4.2 kHz時,壓電聲子晶體薄膜輸出電壓達到最大；Qi等[27]在具有硅橡膠涂層的鋁板上植入壓電聲子晶體板,使振動的能量集中在壓電片上,然后在壓電片的電極處外接電路將振動的機械能轉(zhuǎn)化為電能；Gao等[28]實現(xiàn)了低頻聲能量的采集,設計了由八個多腔環(huán)氧樹脂聲子晶體單胞組成的正方形超胞,由于超胞結(jié)構(gòu)與各單胞結(jié)構(gòu)存在單方向三重共振并相互耦合而產(chǎn)生的復合單極三重共振,從而形成能量集中；Park等[29]將具有單一缺陷的二維八角形壓電聲子晶體作為高密度彈性能量收集的超材料,通過尺寸優(yōu)化和系統(tǒng)設計,使帶隙達到最大,與無壓電聲子晶體材料的情況相比,具有壓電聲子晶體板的超材料的輸出功率在微瓦級放大了20倍以上.本研究組[30]曾提出一種二維三組元壓電聲子晶體模型,該模型實現(xiàn)了對多條完全帶隙的主動調(diào)控,據(jù)此設計了可切換路徑的壓電聲子晶體板波導,同時通過施加不同的電邊界條件,使得振動能量局域到點缺陷處,但振動能量的回收并沒有進一步研究.

由于振動存在不同的頻率,僅通過改變壓電材料的形狀和尺寸來回收壓電聲子晶體的固有頻率所對應的能量是非常困難的,在這種情況下,能量回收系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的設計應具有可調(diào)固有頻率的功能.基于以上考慮,本文新設計了一種1×5型二維三組元壓電聲子晶體板,通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成可調(diào)路徑的點缺陷波導；同時分析了壓電效應對缺陷態(tài)的影響；最后,利用振動能量回收電路連接壓電片上下表面的電極,將機械能轉(zhuǎn)化為電能.以上研究可為便攜式電子元器件提供新的可參考供電模式.

2 模型及方法

圖1為1×5超元胞二維壓電聲子晶體板及其初基原胞示意圖,其中圖1(a)為超胞平面圖,圖1(b)為原胞立體圖,圖1(c)為原胞平面圖,圖1(d)為第一布里淵區(qū)及不可約布里淵區(qū).該單胞結(jié)構(gòu)由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環(huán)氧樹脂短板上構(gòu)成,x-y 平面位于板的中間平面上,z 軸沿著厚度方向.研究采用沿[001]方向極化且具有高機電耦合系數(shù)的壓電材料0.27 PIN-0.4 PMN-0.33 PT作為中心散射體,該結(jié)構(gòu)參數(shù)定義如下：晶格常數(shù)為a ,環(huán)氧樹脂連接板的長度和高度分別為l1和d ；四棱柱壓電散射體的深度和高度分別為l2和h1；有機玻璃涂層的長度和高度為l3和h2.圖1計算所需的壓電材料和彈性材料的參數(shù)分別由表1和表2給出.

圖1 1×5超元胞二維壓電聲子晶體板及其初基原胞示意圖 (a) 1×5超胞；(b)原胞立體圖；(c)原胞平面圖；(d)第一布里淵區(qū)(陰影部分為不可約布里淵區(qū))Fig.1.1×5 supercell two-dimensional piezoelectric phonon crystal plate and its primary cells：(a) The supercell plan；(b) the protocell stereogram；(c) the protocell floor plan；(d) the first Brillouin zone (the shadow part is the irreducible brillouin zone).

表1 壓電材料0.27PIN-0.4PMN-0.33PT的參數(shù)Table 1.Piezoelectric material parameters of 0.27PIN-0.4PMN-0.33PT.

表2 彈性材料參數(shù)Table 2.Material parameters of elastic materials.

利用有限元軟件COMSOL Multiphysics 5.3[31]研究聲子晶體的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸特性.有限元方法是隨著電子計算機的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計算方法,該方法不僅計算精度高,而且能適應各種復雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段.基于有限元法的壓電控制方程為[17]：

其中ρ為壓電材料的密度,uj是位移,t 是時間,xi(i = 1,2,3) 分別對應坐標變量x ,y 和z ,Tij和Di為應力和電位移并分別遵守位移uj和電位φ作為變量的壓電本構(gòu)關(guān)系[17]：

(3)式和(4)式中,Cijkl,elij和εil分別是彈性常數(shù)、壓電常數(shù)和介電常數(shù).在壓電散射體的表面區(qū)域上,存在兩種不同類型的電邊界條件[12],如果表面是自由表面,則稱為開路狀態(tài),表面上電位移的法向分量Dz= 0；如果表面覆蓋一層薄金屬膜并接地,稱為短路狀態(tài),上下表面的電勢差 φ=0.聲波速度取決于材料的結(jié)構(gòu)特性,比如壓電材料,因此可通過控制波速來達到調(diào)控壓電聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)的目的.由于結(jié)構(gòu)具有二維周期性,根據(jù)Bloch定理,將周期性邊界條件施加在單位原胞的四個邊界處,位移場為[18]

式中u 和r 分別為位移和位置矢量,k 為Bloch波矢.通過改變第一布里淵區(qū)中的k 的值并求解由有限元算法產(chǎn)生的特征值問題,即可獲得色散關(guān)系以及本征模式.壓電聲子晶體具有正壓電效應,當受到諧波激勵時,正負電荷會分別向壓電層上下表面流動形成電勢差；電流、電荷和電壓均為時間函數(shù),這些周期函數(shù)將取決于聲子晶體結(jié)構(gòu)的機械振動模態(tài)；壓電散射體與外部阻抗相連,流向外部阻抗的電流會與電極表面電荷產(chǎn)生差值,將電荷表示為時間諧波函數(shù),即電流振幅I等于頻率f 乘以電荷Q[19]：

純負載電阻RL電路的電流I與電壓V關(guān)系為

由于外部阻抗是純電阻,所以輸出電壓和電流具有相同的相位.輸出功率可定義為

輸出功率的外負載電阻取決于壓電材料的振動頻率.

為驗證能帶的數(shù)值仿真結(jié)果,同時計算了所設計聲子晶體模型的傳輸損失譜,對應計算的結(jié)構(gòu)如圖2所示.x 方向上為5個單元組成的有限周期性結(jié)構(gòu)；y 方向上,在模型兩側(cè)施加Bloch周期性邊界條件并將波矢k 沿著 ?！鶻方向掃描；將完美匹配層(PML)應用于有限結(jié)構(gòu)的x 方向右端,以防止能量反射.由加速度激勵源提供的單頻率入射平面波從有限結(jié)構(gòu)的左邊界入射,沿x 方向傳播,傳輸損失T定義為

圖2 用于計算傳輸損失的有限結(jié)構(gòu)Fig.2.The finite structure for the calculation of the transmission loss.

式中din為在有限結(jié)構(gòu)左側(cè)施加的位移加速度激勵,dout為在右側(cè)拾取的位移加速度激勵.

3 結(jié)果與討論

3.1 缺陷態(tài)能帶結(jié)構(gòu)

本文設計的由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環(huán)氧樹脂短板上構(gòu)成的二維壓電聲子晶體板,結(jié)構(gòu)參數(shù)取值為：a = 20 mm,h1= 10 mm,h2= 4 mm,l1=5 mm,l2= 16 mm,l3= 18 mm,d = 2 mm.采用超晶胞法結(jié)合有限元方法來模擬無限長壓電聲子晶體板波導并計算能帶結(jié)構(gòu),超晶胞包含5個單位單元.在超晶胞的x 和y 方向施加Bloch周期性邊界條件,將中間壓電散射體的z 方向設置成開路電邊界條件,兩側(cè)壓電散射體的z 方向設置成短路電邊界條件,從而形成電邊界缺陷.圖3給出了1×5超晶胞完美聲子晶體板和缺陷態(tài)聲子晶體板周期性結(jié)構(gòu)的色散關(guān)系,通過對比,可以看到缺陷態(tài)聲子晶體板能帶結(jié)構(gòu)在900—1300 m/s之間存在三個頻散曲線,即缺陷頻帶.圖4為完美聲子晶體板和缺陷聲子晶體板的傳輸損失對比示意圖,可以看出該傳輸損失譜中存在的頻率衰減范圍與圖3中的完全帶隙的頻率范圍相符合,很好地驗證了能帶結(jié)構(gòu)的數(shù)值結(jié)果,并且在0—1550 m/s頻率范圍內(nèi),壓電聲子晶體板傳輸損失譜存在三個明顯的能量衰減區(qū)域,其能量衰減頻率范圍分別是180—750,1031—1289和1408—1507 m/s,當引入點缺陷時,第一和第三完全帶隙的頻率范圍幾乎保持不變,而在第二個能量衰減區(qū)域中的1248 m/s附近出現(xiàn)峰值,表明峰值是由電邊界缺陷造成的.

圖3 完美和缺陷周期性結(jié)構(gòu)壓電聲子晶體板的能帶結(jié)構(gòu)示意圖Fig.3.Schematic diagram of energy band structure of piezoelectric phononic crystal plate with perfect and periodic defect structures.

圖4 完美和缺陷周期性結(jié)構(gòu)壓電聲子晶體板傳輸特性對比示意圖Fig.4.Schematic diagram of transmission characteristics of piezoelectric phonon crystal plates with perfect and periodic defect structures.

本文設計的1×5新型二維壓電聲子晶體板超元胞總共有的三種點缺陷振動模式,即點缺陷分別位于超元胞中間位置(模式A)、左二或右二位置(模式B)和任意端位置(模式C).為了進一步說明峰值是由點缺陷造成的這一事實,計算了電邊界缺陷位置為模式B和模式C時的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損失,計算結(jié)果如圖5所示.圖6給出了超元胞三種不同點缺陷位置的傳輸特性對比結(jié)果.通過對比發(fā)現(xiàn),位于超元胞中間位置的點缺陷即模式A的峰值頻率為1248 m/s,模式B點缺陷的峰值頻率為1139 m/s,模式C點缺陷的峰值頻率為1050 m/s,可見點缺陷的位置越靠近中心,其峰值頻率越大,表明峰值變化是由引入點缺陷所造成的.

圖5 1×5超元胞的兩種不同點缺陷位置傳輸損失和能帶結(jié)構(gòu) (a)點缺陷為模式B；(b)點缺陷為模式CFig.5.The position transmission loss and band structures of two different defects in the 1×5 supercells：(a) The point defect is at pattern B；(b) the point defect is at pattern C.

圖7給出了上述三種處于不同電邊界缺陷位置峰值頻率的位移矢量場,三種模式都是良好的振動模態(tài),其彈性能量主要限制在開路電邊界缺陷處,中心壓電散射體的有效彈性剛度通過消除切向電場而減小,因此可以將彈性波限制在點缺陷周圍.壓電散射體在z 軸方向上有一個振幅很大的振動,且?guī)恿税矊雍瓦B接板的z 方向振動,從而產(chǎn)生大幅變形,以得到最大的應變,因此振動能量將局域在上下表面開路條件的壓電散射體中,更強烈地限制在缺陷處,利用壓電散射體在z 方向上(面外波)振動導致聲子晶體板形變從而將機械動能轉(zhuǎn)化為電能進行能量回收.

圖6 超元胞的三種不同點缺陷位置的傳輸特性對比Fig.6.Comparison diagram of transmission characteristics of three different defect locations of the supercell.

圖7 壓電聲子晶體板缺陷態(tài)處于三種不同位置的位移矢量場Fig.7.Displacement vector fields of piezoelectric phonon crystal plates with defect states at three different positions.

3.2 壓電常數(shù)對帶隙特性的影響

壓電材料具有正壓電效應,當受到外界壓力作用時會在上下兩端面間形成電勢差,而壓電常數(shù)e''是反映力學量(應力或應變)與電學量(電位移或電場)間相互耦合的線性響應系數(shù),對帶隙的位置和寬度有著很大的影響,從而導致缺陷態(tài)頻率發(fā)生改變.假定壓電常數(shù)e''= e /e',對于真實的壓電材料屬性,設定e''= 1,對于沒有壓電效應的情況,e''= 0.本文計算了點缺陷處于超元胞中間位置的壓電聲子晶體的壓電常數(shù) e''從0 (無壓電)逐漸改變?yōu)? (實際值)的傳輸損失譜,結(jié)果如圖8所示.第一和第三完全帶隙的頻率范圍幾乎保持不變,而隨著第二個能量衰減區(qū)域中壓電常數(shù)的增大,對應的峰值頻率也越來越大.

圖8 壓電常數(shù)對聲子晶體板傳輸特性的影響Fig.8.Influence of piezoelectric constant on the transmission characteristics of phonon crystal plates.

為了進一步分析,圖9給出了第五條帶隙和第六條帶隙邊緣隨壓電常數(shù)的變化情況.結(jié)果表明：隨著壓電常數(shù)增大,第五帶隙下邊緣大致保持不變,而帶隙上邊緣隨著耦合強度的增加而上移；第六完全帶隙的下邊緣隨著壓電常數(shù)的增大而向上移動,致使缺陷態(tài)頻率提高,這是因為較低的頻帶邊緣上的模式主要為壓電散射體的平移振動或不受壓電效應影響的彈性材料的振動,上邊緣模式是壓電柱的扭曲振動.因此,可以得出結(jié)論：壓電效應對完整帶隙有顯著影響,并有利于缺陷態(tài)的形成和擴大.

圖9 壓電常數(shù)e ''對第五和第六完全帶隙上邊緣和下邊緣(即缺陷態(tài))的影響Fig.9.Effect of piezoelectric constant e '' on upper and lower edge (i.e.defect state) of fifth and sixth complete bandgap.

3.3 振動能量回收能力分析

前面已經(jīng)證明了通過改變電邊界條件可以將壓電聲子晶體振動的機械能集中到點缺陷處,并且當點缺陷處于超元胞不同位置時對應的峰值振動頻率也發(fā)生了改變,本節(jié)旨在對比三種局域到不同點缺陷處的機械能轉(zhuǎn)化為電能并進行回收的能力.圖10給出了振動能量集中在壓電聲子晶體板三種不同位置時回收裝置整流電路原理圖,前端信號發(fā)生器連接激振器,利用機械振動使后端的壓電聲子晶體板獲得一定形式和大小的振動量,根據(jù)壓電效應,壓電散射體的形變將產(chǎn)生的正負電荷積聚在晶體的上下表面形成電勢差,表面電極上的電壓與應力的關(guān)系為[8]

圖10 振動能量回收整流電路原理圖Fig.10.Vibration energy recovery circuit diagram.

其中e 是0.27PIN-0.4PMN-0.33PT壓電陶瓷的壓電常數(shù),h 為壓電層的厚度,為整個壓電層自由面上的橫向應力取平均值.壓電散射體在共振頻率處發(fā)生共振所產(chǎn)生的是交流電壓,因此用整流電路連接壓電片上下表面的電極將交流電變成直流電,輸出的電能就可以為直流負載供電.圖11給出了交流電壓的波形圖,圖12給出了結(jié)構(gòu)發(fā)生共振時,負載電阻RL兩端的功率隨激勵交流電壓源的變化,可以看出負載電阻RL兩端的功率隨共振頻率處的電壓增大而增大,對比三種模式缺陷態(tài)回收電能的能力發(fā)現(xiàn),當缺陷態(tài)處于超元胞中間位置,即模式A時,其振動能量回收能力為三種方式中最大的,是缺陷態(tài)為模式C的能量的兩倍多.

圖11 壓電散射體上下表面電壓波形圖Fig.11.Voltage waveform of upper and lower surface of piezoelectric scatterer.

圖12 三種不同點缺陷位置的電阻R輸出功率隨激勵電壓的變化示意圖Fig.12.Schematic diagram of resistance R output power varying with excitation voltage at three different defect positions.

4 結(jié) 論

在完美壓電聲子晶體板中通過改變電邊界條件來引入缺陷態(tài),可以將振動所產(chǎn)生的機械能局域到點缺陷處,利用正壓電效應將壓電散射體中正負電荷積聚在晶體的上下表面,從而形成電勢差,實現(xiàn)機械能到電能的轉(zhuǎn)換,這種機電轉(zhuǎn)換方式更加綠色環(huán)保.本文設計了一種由包裹有機玻璃涂層的四棱柱形壓電材料按正方形晶格周期性連接在四個環(huán)氧樹脂短板上構(gòu)成的1×5新型二維壓電聲子晶體板,并利用超元胞法結(jié)合有限元法分別計算了完美聲子晶體板和缺陷態(tài)位于超元胞三種不同位置的聲子晶體板的能帶結(jié)構(gòu)和傳輸損失.通過改變施加在壓電散射體上下表面的電邊界條件,形成點缺陷波導,限制彈性波能量流.當電邊界缺陷在超元胞三種不同位置時,對應的峰值頻率也發(fā)生改變,壓電效應有利于收集更寬頻率范圍的機械能,為了對比三種局域到不同點缺陷處的機械能轉(zhuǎn)化為電能進行回收的能力,用回收電路分別連接到三種不同電邊界缺陷處的壓電片上下表面的電極,將振動的機械能轉(zhuǎn)化為電能,為負載供電,發(fā)現(xiàn)當缺陷態(tài)處于超元胞中間位置時,其振動能量回收能力為三種方式中最大的,是缺陷態(tài)處于超元胞任意端位置的能量的兩倍多.