三角形高的教學(xué)之我見

摘 要：《三角形的高》歷來是教師教學(xué)的難點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。為了更好地進(jìn)行這一知識點的教學(xué)，筆者根據(jù)自己多年的教學(xué)實踐，從難點的原因分析、高定義的教學(xué)策略及作高的教學(xué)策略三個方面提出自己粗淺的看法，以期為廣大教師提供參考。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);三角形的高;原因分析;教學(xué)策略

中圖分類號：G427 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：2095-624X（2019）30-0074-02

引 ? ?言

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，《三角形的高》知識點歷來是教學(xué)的難點，教師抱怨難教，叫苦不迭;學(xué)生感覺難學(xué)，抱怨連連。針對這一情況，本文首先分析了其成為難點的原因，接著提出了相應(yīng)的教學(xué)策略，希望對小學(xué)數(shù)學(xué)教師有所啟迪。

一、《三角形的高》成為教學(xué)難點的原因分析

《三角形的高》是人教版四年級下冊《三角形的認(rèn)識》一課中的重要內(nèi)容。教材給出了定義：從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點到垂足之間的線段叫作三角形的高。教材給出的定義比較長，有30個文字，同時教材也給出了高的圖像，以及一個問題：可以畫幾條高？

《三角形的高》所占篇幅很少，但它確實是廣大教師公認(rèn)的教學(xué)難點，這是為什么呢？原因主要有三個。

1.關(guān)聯(lián)概念多，增加了內(nèi)涵理解的難度

三角形高的定義，實際上是經(jīng)由點到直線的距離演繹而來的，再追溯上去，三角形的高本質(zhì)上是兩點之間的距離。我們可以這樣理解：三角形的高就是一條線段，一個端點在三角形的一個頂點上，另一個端點就是垂足。

因此，我們在教學(xué)三角形高時，就需要去梳理概念之間的脈絡(luò)，進(jìn)而讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)性。這就給三角形高概念的內(nèi)涵理解帶來了難度。有時可能連我們自己都沒有想明白，筆者認(rèn)為這是難點之一。

2.類似概念負(fù)遷移，增加了學(xué)習(xí)的曲折度

其實，學(xué)生對于“高”并不陌生，對生活中的高也有一定認(rèn)識，還認(rèn)識了平行四邊形的高，會畫平行四邊形的高，但這些經(jīng)驗對學(xué)生認(rèn)識三角形的高有幫助嗎？幫助肯定是有的，但同時也有負(fù)面影響。部分學(xué)生會認(rèn)為平行四邊形的高與三角形的高是一樣的，但平行四邊形的高實質(zhì)是平行線之間的距離，所以它有無數(shù)條，而三角形的高是最高點到對邊的距離，所以一條底邊上的高只有一條。所以說，類似概念的負(fù)遷移，讓學(xué)習(xí)高的這條道路變得曲折而又復(fù)雜，筆者認(rèn)為這也是難點之一。

3.非本質(zhì)屬性認(rèn)識的干擾，增加了學(xué)習(xí)的難度

在學(xué)生的認(rèn)知中，他們會認(rèn)為只要在豎直方向上才有高，也就是把高狹隘地理解為鉛垂的特殊情況。如果事先就有這樣的思維定式，那么不在水平線上的另外兩條底上的高，就成了學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。所以，才會有書中小精靈的提問。其實，底邊是否在水平線上，對三角形高的認(rèn)識而言，是非本質(zhì)屬性，但這些非本質(zhì)的屬性，卻給高的認(rèn)識帶來了困難。

二、教學(xué)“高”定義的策略

1.以實例歸納定義

在實際教學(xué)中，首先，教師讓學(xué)生觀察三個形狀大小一樣，但擺放位置不同的三角形，之后讓學(xué)生嘗試畫三角形的高。其次，教師提問學(xué)生：三角形中畫的虛線都是三角形的高，請你說說，什么是三角形的高？預(yù)設(shè)學(xué)生能悟到：三角形的高都是從頂點出發(fā)的一條線段，不管三角形怎么擺，三角形都是有高的。再次，教師出示反例，提問學(xué)生：“觀察下面圖形，這三個三角形中的虛線都不是三角形的高。現(xiàn)在再請你說說，什么是三角形的高？”甚至可以讓學(xué)生在草稿紙上寫下他對三角形高的定義。最后，教師讓學(xué)生對照正例與反例去修正與完善對于高的認(rèn)識。

為什么要這樣做呢？很明顯，學(xué)生對于三角形高的定義，不是教師與課本強(qiáng)加的，而是經(jīng)由觀察分析得到的，從而實現(xiàn)正例用于挖掘?qū)ο蟮谋举|(zhì)，反例用于修正概括的定義的作用。

2.給“高”進(jìn)行簡單定義

當(dāng)學(xué)生認(rèn)識完“高”后，我們可以設(shè)計這樣一個提問：三角形高的定義，你們理解了嗎？其實三角形高的定義是比較復(fù)雜的，而且是一段比較長的話。老師有一個辦法可以判斷你們理解了沒有，那就是看你能不能把復(fù)雜的事情說簡單。誰來試試？

學(xué)生的回答可能會聚焦到高是一條線段上，這時教師就可以追問：兩個端點在哪里？這不僅能抓住高概念的本質(zhì)，同時還能為“畫高”分解難度。

另外，還有一點，筆者認(rèn)為非常重要。那就是在教學(xué)三角形高的概念時，我們肯定會去關(guān)注概念的內(nèi)涵與外延。理解內(nèi)涵時，我們可能會通過解讀關(guān)鍵詞來理解。但這樣的做法是有缺點的，解讀關(guān)鍵詞往往只能得到支離破碎的理解，這些理解的碎片不可能“破鏡重圓”，拼出概念的完整理解。

三、畫高的教學(xué)策略

筆者認(rèn)為，在尋找作高錯因中歸納畫高策略，是條捷徑?；诮?jīng)驗，基于學(xué)生錯例，筆者認(rèn)為錯因主要有四個。第一，思維定式的困擾。學(xué)生畫垂線時習(xí)慣于畫水平方向的，即其心目中的“標(biāo)準(zhǔn)垂線”。當(dāng)遇到畫斜線方向的垂線，他們就會受“標(biāo)準(zhǔn)”影響，發(fā)生錯誤，認(rèn)定高一定在三角形內(nèi)部。在畫銳角三角形的高時，學(xué)生思維上會產(chǎn)生一種定式。受這種固有思維的干擾，畫鈍角三角形外高時，他們就會出現(xiàn)錯誤。第二，操作技能的欠缺。部分學(xué)生認(rèn)為底與高是一種假垂直的狀態(tài)。可見，學(xué)生對線概念理解不到位，畫垂線技能未過關(guān)。第三，負(fù)遷移的影響。平行四邊形高的定義是從平行四邊形一條邊上的一點向?qū)呉粭l垂線，這點和垂足之間的線段就是平行四邊形的高。定義中的一點可以是在邊上的任意一點。而三角形的高必須從頂點出發(fā)，這個點是指定的。從“任意點”到“指定點”，學(xué)生容易出現(xiàn)錯誤。第四，找直角邊上的高的能力缺失。部分學(xué)生認(rèn)定高一定在三角形內(nèi)部，認(rèn)定三角形的高與三角形的邊是兩回事，不可以是同一條線段。

面對學(xué)生作高中的錯誤，我們可以有以下幾點對策：第一，加強(qiáng)垂直變式練習(xí)。在提供給學(xué)生標(biāo)準(zhǔn)的水平與豎直方向畫垂線的同時，我們還要讓學(xué)生理解過直線外一點畫垂線的概念，以及不用延長畫垂線和需要延長畫垂線的概念等。第二，比較中求“同”辯“異”。我們可以同時出示平行四邊形的高與三角形的高，讓學(xué)生對比有什么不同，讓學(xué)生感受到其實都是指“點與點之間的距離”，但是平行四邊形其中一個端點可以是任意的，而三角形必須是指定的頂點。第三，操作想象中溝通聯(lián)系。這是突破外高與直角邊上高，可以借鑒的方法。教師可以利用多媒體讓頂點c動起來，讓學(xué)生想象現(xiàn)在是什么三角形了，高又在哪里了，這樣做不僅可以打破“高就在三角形內(nèi)部”這一思維定式，還可以幫助學(xué)生理解直角三角形兩邊直角邊為什么互為底和高，也加深了對鈍角三角形外高的理解。第四，“作高”小技巧。在實際教學(xué)中，我們可以借鑒“尺板作高法”，用直尺當(dāng)移動的軌道，這比“一板作高法”更能使學(xué)生理解如何作高。

以上這些都是應(yīng)對作高的小技巧，我們在分析錯因、糾正畫法時，其實都是在不斷地加深學(xué)生對“三角形高定義”的理解。

結(jié) ? ?語

荷蘭著名數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾關(guān)于高的觀點為：概念教學(xué)不在于只要求學(xué)生理解概念的表層含義，還應(yīng)該著眼于定義概念的過程，學(xué)習(xí)像數(shù)學(xué)家那樣思考，了解定義形成的方法和依據(jù)，理解蘊(yùn)含在定義背后的規(guī)定與意義，從而獲得可靠的數(shù)學(xué)知識[1]。因此，在實際教學(xué)中，我們應(yīng)讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)高的概念，從而為其以后的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ)。

[參考文獻(xiàn)]

李求邦.利用“再創(chuàng)造”原理 優(yōu)化數(shù)學(xué)概念教學(xué)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2006（03）：1-4.

作者簡介：羅海江（1971.12—），女，江西峽江人，中小學(xué)一級教師，2011年被評為峽江縣優(yōu)秀教師，2015年被評為峽江縣課改十佳。