直擊真疑問，力求真理解
——“乘加（乘減）混合運(yùn)算”教學(xué)設(shè)計之思考

浙江嘉興市海鹽縣向陽小學(xué) 莊迎春

人教版二年級下冊第五單元“混合運(yùn)算”例2，是教學(xué)類似“7+4×3”的含有兩級運(yùn)算的計算課。 學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前， 有過較長時間的兩步計算式題（同級運(yùn)算）的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，即按從左往右的順序進(jìn)行計算，對此留下了深刻的印象。 強(qiáng)烈的思維定式，導(dǎo)致學(xué)生在本課學(xué)習(xí)中得知這類式題竟然要先算右邊的乘法時，心里就涌出了一個巨大的問號：這是為什么呢？

教學(xué)中，很多教師這樣告訴學(xué)生：“這是數(shù)學(xué)家規(guī)定的，先乘除，后加減。 ”然后組織學(xué)生根據(jù)規(guī)則進(jìn)行強(qiáng)化鞏固。 這樣的教學(xué)，當(dāng)場看似效果也挺好，但是隨著時間的推移，學(xué)生根深蒂固的習(xí)慣就會消磨教師的“告訴”，到了三年級甚至到高段，學(xué)生還會出現(xiàn)運(yùn)算順序出錯的現(xiàn)象。 筆者對轄區(qū)內(nèi)一所城鎮(zhèn)小學(xué)和一所農(nóng)村小學(xué)的491名三年級學(xué)生進(jìn)行了專項測試，結(jié)果如下表：

?

由測試數(shù)據(jù)可見，②④⑤題的運(yùn)算順序錯誤率是0， 而①③⑥題的運(yùn)算順序錯誤率都在20%左右，且學(xué)生的錯誤都是按從左往右進(jìn)行計算。 這樣高的錯誤比例，不禁讓我們思考：先乘除后加減，學(xué)生為什么“記不牢”呢？

我們進(jìn)行了分析，覺得以下兩個原因也許是主要的。

圖1

原因一：按教材編排順序開展教學(xué)，使得學(xué)生對新知的形成感知不夠。

教材（圖1）的編排是從情境引入，學(xué)生讀圖后，看懂了每塊蹺蹺板上有4人，有這樣的3組，另外還有7人在觀看。 此時，若要學(xué)生計算總?cè)藬?shù)，他們根據(jù)對情境的理解， 就已經(jīng)想到了4和3是要相乘的，然后再和7相加。 因此，無論學(xué)生是列成4×3+7，還是在教師引導(dǎo)下列出7+4×3， 他們都已經(jīng)默認(rèn)了算式中需要先算乘法再算加法的。 如此一來，學(xué)生沒有很好地感知到新知與舊知的差別，更沒有深刻地經(jīng)歷新知形成的過程，知識的建構(gòu)自然不到位。

原因二：告訴式的教學(xué)方法，使得學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)定印象不深。

也許是教師們認(rèn)為“先乘除后加減”的數(shù)學(xué)原理不適合小學(xué)生探究，或者認(rèn)為理解其原理并不是本課的教學(xué)重難點(diǎn)，因此很多教師采用最簡單的方式，直接告訴學(xué)生：“這是數(shù)學(xué)家規(guī)定的。 ”這樣的做法，忽視了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，使得學(xué)生對這個規(guī)定產(chǎn)生的強(qiáng)烈疑問，缺乏一個釋放、釋疑的該有過程及深刻經(jīng)歷，以至于對數(shù)學(xué)規(guī)定印象不深，時間一長，難免就會遺忘。 簡而言之，學(xué)生缺少了一段難忘的學(xué)習(xí)經(jīng)歷。

基于以上思考，筆者認(rèn)為，本課的教學(xué)，教師應(yīng)在學(xué)習(xí)過程的設(shè)計和教學(xué)方式的運(yùn)用上動更多的腦筋， 要使學(xué)生對新舊知識產(chǎn)生強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，暴露并聚焦對新知的真實疑問，開展積極主動的思考和探究，最終實現(xiàn)對數(shù)學(xué)規(guī)定的真正理解。 為此，筆者設(shè)計了如下教學(xué)環(huán)節(jié)：

課始， 出示兩級混合的計算式題4×3+2和2+4×3，讓學(xué)生獨(dú)立計算，組織反饋。 第一小題學(xué)生都是先算4×3=12，再算12+2=14；第二小題2+4×3則出現(xiàn)兩個不同的答案18和14。

師：一個算式怎么會有兩個不同的結(jié)果？ 你們是怎么算的呢？

生1：2+4等于6，6×3等于18。

生2： 我是先算4×3， 再算2+12， 所以結(jié)果是14。

師：兩位同學(xué)的算法不一樣，誰的對呢？

生3：計算題都是從左往右算的，所以先算加法的對。

生4：我爸爸說要先乘除后加減的，所以等于14的對。

生5：我媽媽也說過要先算乘法。

……

師：同學(xué)們說的好像都很有道理，到底誰的對呢？ （學(xué)生都急切地看著教師）

師：老師告訴你，先算右邊的乘法才是對的，從左往右算是錯的。 （學(xué)生嘩然）

師：同學(xué)們有什么想問的嗎？

生（齊）：為什么要先算乘法？

師： 你們是不是都有這樣一個大大的疑問??？（學(xué)生頻頻點(diǎn)頭）

設(shè)計意圖： 由兩道兩級運(yùn)算式題的計算引入，直接把學(xué)生對“2+4×3”的不同算法暴露出來。 然后放手讓學(xué)生闡述各自的觀點(diǎn)， 引發(fā)雙方的激烈辯論，學(xué)生在爭議中達(dá)到矛盾的聚焦：到底先算什么？接著，教師“鄭重”地告知正確的方法，引發(fā)學(xué)生迸出真問題——為什么要先算乘法？ 整個環(huán)節(jié)，不斷造勢，步步緊逼，促使學(xué)生產(chǎn)生想探索原理的強(qiáng)烈愿望。

圖2

出示情境圖（圖2），按（1）→（2）→（3）→（4）的順序，分四步呈現(xiàn)完整的圖，領(lǐng)著學(xué)生口頭列式，逐步得出算式2+4+4+4。 （師板書）

師：答案等于多少?。?/p>

生：等于14。

師：完全正確。 同學(xué)們能把這個算式再列得簡單些嗎？

學(xué)生獨(dú)立列式，反饋。 絕大部分學(xué)生都列成4×3+2，學(xué)生說理。

生1：3個4相加可以列成4×3，再加2，就是4×3+2。

師：原來的加法算式中，2在最前面，你的算式中2到后面去了，看起來有點(diǎn)不一樣。 有沒有不同的列法？

圖3

生2：2+4×3。 （有少數(shù)學(xué)生這樣列）

師：這樣對不對呢？

生：其實就是3個4和2換了一下位置，道理是一樣的。 （師根據(jù)學(xué)生的解釋適時板書，如圖3，學(xué)生都認(rèn)可這個算式）

師：這兩個算式應(yīng)該怎么進(jìn)行計算呢？

隨著學(xué)生回答，教師在黑板上形成板書如下：

師：咦，乘法在前的先算，乘法在后的為什么也要先算呢？

生1：因為這兩個算式的意思，都是2和3個4相加，所以都要先算3個4。

生2：其實2放在前和放在后是一樣的，只是交換了位置，所以都先算4×3。

師：是的，有加有乘的混合運(yùn)算中，乘法表示的是幾個相同加數(shù)的和，它是一個整體，當(dāng)然要先算。（板書：先乘再加）2+4×3的正確答案就是14。

設(shè)計意圖：主題圖上的信息依次呈現(xiàn)，引著學(xué)生口頭列式， 可以讓學(xué)生感受此類式題的原始狀態(tài)，理解它的意義。 學(xué)生在計算中，自然會根據(jù)之前對乘法的掌握，主動選擇用乘法進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步增強(qiáng)“乘法比加法高級”的認(rèn)識。 讓學(xué)生列出與原來加法式子更“匹配”的乘法算式，目的是強(qiáng)化學(xué)生對2+4×3本質(zhì)含義的理解。 通過計算以及之后的說理、溝通，學(xué)生真正地理解了不管乘法在前還是在后都應(yīng)該先算的道理。

出示：1+5×3，3+2×4，2+3×3

請學(xué)生用遞等式進(jìn)行計算，反饋校對。 再選擇1+5×3進(jìn)行深入探究。

師：你能自己舉個例子，用畫圖的方法表示出1+5×3的意思嗎？

學(xué)生獨(dú)立嘗試，小組交流，展臺展示作品（圖略），交流。

生1：有3張5元的紙幣，還有一個1元的硬幣，一共有多少元？

生2：教室里有3排桌子，每排有5張，前面還有一個講臺。 教室里一共有多少桌子？

生3：老師分給3位同學(xué)每人5粒糖，手里還剩1粒，一共有多少粒糖？

……

設(shè)計意圖：讓學(xué)生用畫圖表征乘加混合算式的意義，這是一個變式的練習(xí)——逆向思考，目的是讓學(xué)生調(diào)用已有能力，結(jié)合新課所學(xué)，更理性更深刻地建構(gòu)“先乘后加”。 學(xué)生舉出了豐富多彩的例子，通過展示與交流，更加直觀、更加多元地支撐了學(xué)生對數(shù)學(xué)規(guī)定的理解。 由此，數(shù)學(xué)知識得以真正掌握，學(xué)習(xí)難點(diǎn)得以有效突破。

師：通過剛才的學(xué)習(xí)，我們知道了乘法和加法混合，要先算乘法，那么乘法和減法混合，應(yīng)該先算什么呢？

圖4

生1：我覺得還是先算乘法。

生2：我也認(rèn)為先算乘法，再算減法，因為乘法比加法高級，肯定也比減法高級。

師分步出示（如圖4， 棒棒糖是一根一根出現(xiàn)的），同步引領(lǐng)學(xué)生列出連減算式20-6-6-6。

……（教學(xué)展開略）

設(shè)計意圖：由乘加兩級混合向乘減兩級混合順向遷移，符合學(xué)生的學(xué)習(xí)心理。 教師設(shè)疑，學(xué)生猜測，在主題圖的推進(jìn)下，學(xué)生再次強(qiáng)烈地感受到乘法與減法在一起也要先算乘法的道理。 如此的學(xué)習(xí)，使學(xué)生對知識的應(yīng)用（遷移），不是簡單的機(jī)械模仿，而是更加深刻的理解和內(nèi)化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，類似于本課的規(guī)定性知識的教學(xué)內(nèi)容還有很多。 作為教師，要站在學(xué)生的角度來看待學(xué)生心中的真問題，盡量避免簡單化的說教或灌輸。 教師要設(shè)法讓學(xué)生提出自己的真問題，然后直擊真問題，以合適的材料和形式，引領(lǐng)學(xué)生從數(shù)學(xué)本質(zhì)的層面去理解這些規(guī)定背后的道理，使得規(guī)定性的知識成為學(xué)生水到渠成的認(rèn)同。 我們相信，這樣的教學(xué)，不僅能讓學(xué)生更好地掌握知識，還會有效促進(jìn)學(xué)生能力的提升。