用“等效替代法”破解初中物理難題

袁柏林

(四川省德陽中學(xué)校，四川 德陽 618000)

等效替代法是在保證某種效果相同的前提下,將實(shí)際的、復(fù)雜的物理問題和物理過程轉(zhuǎn)化為等效的、簡(jiǎn)單的、易于研究的物理問題和物理過程來研究和處理的方法.

在初中物理教學(xué)中“等效替代”主要應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)探究之中,如:在浮力教學(xué)的“曹沖稱象”案例中,用石頭替代大象利用等效替代稱出了大象的體重;在探究平面鏡成像特點(diǎn)的實(shí)驗(yàn)中,用玻璃板等效替代平面鏡、利用兩個(gè)完全相同的蠟燭,其中一根等效另一根的像來探究物與像的大小關(guān)系;在探究合力與分力的關(guān)系、電路的總電阻與分電阻的關(guān)系、測(cè)量電阻等實(shí)驗(yàn)中都應(yīng)用了“等效替代”思想.在實(shí)際教學(xué)過程中,特別是在競(jìng)賽輔導(dǎo)中,筆者通過長(zhǎng)期研究發(fā)現(xiàn):對(duì)于一些物理難題利用“等效替代”還可以使一些復(fù)雜的物理過程得到大大簡(jiǎn)化,甚至使一些用初中知識(shí)無法解答的問題得到破解.下面就列舉幾個(gè)應(yīng)用實(shí)例加以說明.

1 利用力作用效果的等效性

力的作用效果包括靜態(tài)效果(改變物體形狀)和動(dòng)態(tài)效果(改變物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)),動(dòng)態(tài)效果又分為平動(dòng)效果和轉(zhuǎn)動(dòng)效果.大小、方向、作用點(diǎn)、性質(zhì)不同的力產(chǎn)生的效果可能相同.

1.1 用合力等效代替分力的作用效果

一個(gè)力的作用效果可能與幾個(gè)力的作用效果相同,我們把這一個(gè)力叫那幾個(gè)力的合力.若用合力的等效替代分力來分析研究,就可以使問題得到大大的簡(jiǎn)化.

圖1

例1.兩個(gè)半球殼拼成的球形容器內(nèi)部已抽成真空,球形容器的半徑為r,大氣壓強(qiáng)為p,為使兩個(gè)半球殼沿圖1中箭頭方向分離,應(yīng)施加的力F至少為

(A) 4πr2p. (B) 2πr2p.

圖2

解析:由于大氣壓強(qiáng)是向各個(gè)方向的,壓力的方向是垂直于受力物體表面,所以兩個(gè)半球殼受到大氣壓力的方向如圖2所示.由于大氣對(duì)球面各個(gè)方向的壓強(qiáng)都為p,球體的表面積S=4πr2,根據(jù)公式F=pS,若按常規(guī)思路,很容易錯(cuò)誤的認(rèn)為要把兩個(gè)半球殼拉開,施加的力F至少應(yīng)等于一個(gè)半球表面受到的大氣壓力,即F=2πr2p.

圖3

而實(shí)際上,如圖3所示,要把兩個(gè)半球殼拉開,只需要克服半球所受大氣各個(gè)方向壓力的合力F′,我們用這個(gè)F′等效替代半球各個(gè)方向受到大氣的壓力,其方向與拉力F的方向相反,其受力面積等效于球的橫截面積πr2.所以F=F′=pS=πr2p,故應(yīng)選(C).

1.2 用分力等效代替合力的作用效果

大小、方向、作用點(diǎn)不同的兩個(gè)力對(duì)杠桿的轉(zhuǎn)動(dòng)效果可能相同,用一個(gè)特殊的、便于分析的力等效替代另一個(gè)復(fù)雜的、變化的、不易研究的力,就可以變復(fù)雜為簡(jiǎn)單、變變量為恒量、變“無解”為“有解”．

圖4

解析:要知道鏈條的節(jié)數(shù),就應(yīng)先求出鏈條的總重;要判斷兩木板距離增大時(shí),AB板的旋轉(zhuǎn)情況,就應(yīng)分析當(dāng)兩木板距離增大時(shí),鏈條作用在木板B端的力對(duì)AB板旋轉(zhuǎn)的影響.然而作用在AB木板B端和CD木板D端力的大小和方向都不確定,僅利用初中知識(shí),采用常規(guī)方法無法求解.那就讓我們轉(zhuǎn)換思路,采用等效替代法破解此問題.

圖5

如圖5所示,以長(zhǎng)方形木板AB和CD為研究對(duì)象,鐵鏈分別對(duì)B端和D端的拉力為FB和FD.FB的可以等效分解為FBx和FBy;FD的可以等效分解為FDx和FDy.其中FBx、FDx的方向分別過了杠桿支點(diǎn)O1、O2,其力臂為0,對(duì)杠桿AB和CD的轉(zhuǎn)動(dòng)沒有作用效果.所以,FB和FBy、FD和FDy對(duì)杠桿的作用效果相同,可以分別用FBy和FDy等效替代FB和FD,這樣杠桿的平衡就可以理解為是由木板受到的重力G和FBy(或FDy)決定的.根據(jù)杠桿平衡條件:G×O1O=FBy×O1B、G×O2O=FDy×O2D和已知條件:O為杠桿中點(diǎn)、AO1∶O1B=CO2∶O2D=2∶1，可得

(1)

圖6

如圖6所示,以鐵鏈MN為研究對(duì)象,鐵鏈在M端和N端受到的拉力為FM和FN,FM的可以等效分解為FMx和FMy;FN的可以等效分解為FNx和FNy,由平衡力和對(duì)稱性知識(shí)可得

(2)

再根據(jù)相互作用力的特點(diǎn)可以得出

FMy=FBy.

(3)

FNy=FDy.

(4)

由(1)-(4)式可得G鏈=G.

2 利用力做功效果的等效性

在初中階段,關(guān)于力做功問題一般只要求掌握力的大小不變,且力的方向與物體運(yùn)動(dòng)的方向一致的情況下,利用公式W=Fs來計(jì)算.但在一些初中物理競(jìng)賽和名校高中自主招生考試中常出現(xiàn)一些變力提升物體做功的問題,采用常規(guī)方法很難解答.但從力做功的效果來看,相當(dāng)于把物體的重心提高一定的高度,此力所做的功與克服物體重力所做的功具有等效性，即W=Fs=Gh.

圖7

例3.如圖7所示,在力F的作用下要把一根長(zhǎng)度為L(zhǎng),質(zhì)量為m的均勻細(xì)圓柱體從水平放置豎立起來,若F的方向始終與圓柱體垂直,則在此過程中F至少要做多少功?

解析:如圖7所示,在力F的作用下要把圓柱體從水平放置豎立起來,且F的方向始終與圓柱體垂直.說明圓柱體在提升過程中F的方向不斷變化,但其力臂不變;重力的大小不變,其力臂逐漸變小.根據(jù)杠桿平衡條件可得F逐漸減小.若利用常規(guī)方法,直接利用W=Fs無法求解.

3 利用熱傳遞效果的等效性

當(dāng)溫度不同的物體接觸時(shí),高溫物體放出熱量溫度降低,低溫物體吸收熱量溫度升高,直到溫度相同,達(dá)到熱平衡.若不計(jì)熱損失,Q吸=Q放.把多個(gè)溫度相同的物體先后逐個(gè)與另一個(gè)物體混合和把多個(gè)溫度相同的物體同時(shí)一起與那個(gè)物體混合,在不計(jì)熱損失的情況下,熱傳遞的效果是相同的.但后者熱傳遞的過程就簡(jiǎn)單多了.

例4.將一杯熱水倒入盛有冷水的足夠大的容器中,冷水的溫度升高了10℃,再向容器內(nèi)倒入一杯相同質(zhì)量和溫度的熱水,容器中的水溫又升高了6℃.如果繼續(xù)向容器中一杯又一杯地倒入同樣的熱水,則倒入第13杯同樣的熱水時(shí),容器中的水溫會(huì)升高多少℃?(不計(jì)熱損失)

解析:設(shè)原來冷水的質(zhì)量為m1、初溫為t01,一杯熱水的質(zhì)量為m2、初溫為t02,第一杯熱水與冷水混合后冷水的溫度升高了Δt1;Q吸1=cm1Δt1,Q放1=cm2(t02-t01-Δt1).由于不計(jì)熱損失:Q吸1=Q放1,即cm1Δt1=cm2(t02-t01-Δt1),又因?yàn)棣1=10℃，所以

m1×10℃=m2(t02-t01-10℃).

(5)

若采用常規(guī)方法:設(shè)當(dāng)?shù)谷氲诙瑯拥臒崴旌虾笕萜髦械乃疁赜稚吡甩2.

Q吸2=c(m1+m2)Δt2，

Q放2=cm2(t02-t01-Δt1-Δt2).

由Q吸2=Q放2,且Δt1=10℃,Δt2=6℃可以得

(m1+m2)×6℃=m2(t02-t01-16℃).

(6)

聯(lián)解(5)、(6)式可得

t02-t01=40℃,m1=3m2.

設(shè)當(dāng)?shù)谷氲谌瑯拥臒崴旌虾笕萜髦械乃疁赜稚吡甩3.

Q吸3=c(m1+2m2)Δt3，

Q放3=cm2(t02-t01-Δt1-Δt2-Δt3).

由Q吸3=Q放3,且t02-t01=40℃,m1=3m2，可以得Δt3=4℃.

利用同樣的方法就可以逐一求每增加一杯熱水,容器中的水升高的溫度,至到計(jì)算出倒入第13杯同樣的熱水時(shí),容器中的水升高的溫度.此題雖然采用常規(guī)方法最終能得到答案,但此方法太繁瑣,且倒水的次數(shù)越多,越不容易計(jì)算出結(jié)果.

若采用等效替代法:由于不計(jì)熱損失,一杯一杯的熱水先后倒入冷水中與把這幾杯熱水一起同時(shí)倒入冷水中效果相同.設(shè)把n杯熱水一起同時(shí)倒入冷水中,容器中的水溫升高ΔTn,那么,第n杯熱水倒入后升高的溫度Δtn=ΔTn-ΔTn-1.

一杯熱水與冷水混合后,由Q吸1=Q放1，得

cm1×10℃=cm2(t02-t01-10℃).

(7)

兩杯熱水與冷水混合后,由Q吸2=Q放2，得

cm1×16℃=2cm2(t02-t01-16℃).

(8)

聯(lián)解(7)、(8)式可得

t02-t01=40℃,m1=3m2.

12杯熱水與冷水混合后,由Q吸12=Q放12得

cm1×ΔT12=12cm2(t02-t01-ΔT12).

(9)

將t02-t01=40℃,m1=3m2代入(9)式得

T12=32℃.

13杯熱水與冷水混合后,由Q吸13=Q放13得

cm1×ΔT13=8cm2(t02-t01-ΔT13).

(10)

將t02-t01=40℃,m1=3m2代入(10)式得

ΔT13=32.5℃.

則倒入第13杯同樣的熱水時(shí),容器中的水升高的溫度:Δt13=ΔT13-ΔT12=0.5℃.

拓展:還可以推導(dǎo)出第n杯熱水時(shí)容器中的水升高的溫度的規(guī)律:

由cm1×ΔTn=ncm2(t02-t01-ΔTn)，

得3ΔTn=n(40℃-ΔTn).

4 利用電路、電阻的等效性

等效電路是指同一個(gè)電路的不同表示方法,元件的種類和位置都相同,但是在畫電路圖時(shí)有不同的畫線方法;將一個(gè)電阻代替原來的幾個(gè)電阻后,對(duì)整個(gè)電路的效果與原來幾個(gè)電阻的效果相同,這一個(gè)電阻叫做那幾個(gè)電阻的等效電阻(又叫總電阻).

圖8

例5.把19個(gè)阻值均為r的電阻絲連接成如圖8所示的圖形,則AB間的總電阻為________r.

解析:要求電路的總電阻,就要先分析清楚其電路的連接情況,但圖8不是簡(jiǎn)單的串聯(lián)、并聯(lián)或混聯(lián)電路,利用初中知識(shí)、采用常規(guī)方法無法解答.

方法1:利用高中知識(shí),電位相等的不同點(diǎn)之間即使用導(dǎo)線連通也沒有電流,這些等電位的節(jié)點(diǎn)合成一個(gè)點(diǎn)不會(huì)影響電路效果,可稱為等效電路.

圖8中根據(jù)AB之間電路的對(duì)稱性C、D兩點(diǎn)的電位相等,E、F兩點(diǎn)的電位相等,等效電路如圖9.

圖9

方法2:如圖10所示,當(dāng)兩條相同電流通過一導(dǎo)體時(shí),可以等效把此導(dǎo)體沿電流方向“切開”平分成兩條電路,由于每一半的橫截面積為原來的一半,所以其阻變?yōu)樵瓉淼?倍.這樣既沒有改變?cè)瓉黼娐返牡刃ё柚?又突破了解題的“瓶頸”,這樣利用初中知識(shí)就可以解答此題了.

圖11

圖8的電流流向如圖11所示,其中GH電阻絲上的“雙箭頭”表示有兩條相同電流流過此電阻絲,可以等效成阻值為2r的兩條電路,一條與CG、HE串聯(lián),另一條與DG、HF串聯(lián).

圖12

綜上所述,“等效替代法”是科學(xué)研究的重要方法.在初中物理教學(xué)中,除了在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中有著廣泛應(yīng)用以外,在分析、解答一些物理難題上也能起到不可忽視的積極作用.恰當(dāng)?shù)乩玫刃娲瓤梢允挂恍├贸Ｒ?guī)方法不易解答的難題得到破解,又能培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力,提高其理解、分析、推理以及思維的遷移和創(chuàng)新等能力,為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)乃至終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).這正是素質(zhì)教育的要求. 在提倡“核心素養(yǎng)”的今天,中考、高考、競(jìng)賽等選拔愈來愈注重考生的能力和素質(zhì),其命題愈加明顯地滲透著物理思想、物理方法的考查,等效思想和方法作為一種迅速解決物理問題的有效手段,仍將在問題的突破過程中充分發(fā)揮其作用.