一種新型的撓性航天器作動器布局優(yōu)化方案*

郭延寧，王鵬宇，金 珊

(哈爾濱工業(yè)大學 航天學院· 哈爾濱·150001)

0 引 言

近年來，隨著航天技術(shù)的不斷發(fā)展，航天器的規(guī)模不再受一次發(fā)射條件的限制，大尺度撓性航天器因此進入了人們的視野。例如，蘇聯(lián)在20世紀80年代發(fā)射的“和平”號空間站，長13.1m，質(zhì)量為21t，其側(cè)面還裝有多個撓性太陽能帆板[1]。除大型空間站外，一些用于深空探測、對地成像、目標跟蹤的新型航天器也裝配有大規(guī)模撓性附件或撓性艙段。例如，日本的工程試驗航天器ETS-VIII[2]、美國的“Mars Geoscience/Climatology Orbiter”火星探測器[3-4]，都采用了大規(guī)模的外展式桁架結(jié)構(gòu)，用于實現(xiàn)天地通信或電磁隔離。這些大型附件一般具有剛度低、阻尼小、振動頻率密集等特點，且其撓性振動與航天器本體姿態(tài)運動之間往往存在較大耦合，如果不對其進行有效振動抑制，將導致航天器失穩(wěn)等嚴重后果。因此，研究大撓性航天器的振動抑制問題，具有重要的工程意義。

對于撓性航天器的振動抑制問題，已有大量學術(shù)成果，主要方法可分為被動振動抑制和主動振動抑制[4]。其中，被動振動抑制是通過對撓性部件進行結(jié)構(gòu)設(shè)計，實現(xiàn)對振動的耗散、阻尼或隔離。該方法存在著精度低、魯棒性差等缺陷，往往難以滿足現(xiàn)代航天任務(wù)的高精度需求[5]。主動振動控制通過安裝在撓性附件上的作動器，能夠?qū)崿F(xiàn)對撓性附件的高精度控制；且其控制回路與航天器姿態(tài)系統(tǒng)分離，便于控制規(guī)律設(shè)計和系統(tǒng)穩(wěn)定性分析[6]。在采用主動振動抑制時，振動作動器的位置直接決定了系統(tǒng)對撓性振動的抑制能力，而如何對作動器進行合理配置，仍是目前需要深入研究的問題。

對于作動器布局方法的研究主要從兩個方面展開，一是根據(jù)實際需求，設(shè)計作動器安裝位置的優(yōu)化指標或約束條件；二是改進優(yōu)化算法，提升優(yōu)化速度[7]。對于優(yōu)化指標設(shè)計問題，目前已經(jīng)形成了一套較為完備的理論體系，本文對工程中常用的優(yōu)化指標歸納如下：

(1)考慮系統(tǒng)能量的優(yōu)化指標：從能量耗散的角度出發(fā)，重點研究彈性勢能衰減與作動器輸出控制力之間的數(shù)學關(guān)系，在實現(xiàn)對撓性結(jié)構(gòu)振動抑制的同時減少作動器的控制力[8-10]?；谙到y(tǒng)彈性勢能，李俊寶等通過引入能量耗散因子描述了系統(tǒng)彈性勢能的衰減速率，構(gòu)建了相應(yīng)的優(yōu)化指標，進而實現(xiàn)了作動器的優(yōu)化配置[8]。類似地，顧榮榮等從有效衰減能量出發(fā)，根據(jù)Lyapunov第二法定義了目標函數(shù)并對作動器安裝位置進行了設(shè)計[9]。

(2)考慮系統(tǒng)可控的優(yōu)化指標：在對系統(tǒng)進行控制律設(shè)計之前，首先要保證系統(tǒng)狀態(tài)是可控的，因此用于描述系統(tǒng)狀態(tài)受控程度的概念應(yīng)運而生，即系統(tǒng)可控度。Hamdan等基于二階微分方程，基于響應(yīng)系數(shù)矩陣給出了系統(tǒng)可控度的計算方法，為作動器的配置帶來了方便[11]。在此基礎(chǔ)上，李東旭等重新定義了振動控制系統(tǒng)可控度的概念，將作動器的控制電壓引入到系統(tǒng)設(shè)計中來并建立了更為實用的優(yōu)化準則[12]。

(3)考慮失效和可靠性的優(yōu)化指標：對在軌運行的航天器進行維修成本高昂且存在很多技術(shù)難題，因此考慮作動器故障的安裝位置優(yōu)化指標具有重要的工程價值。Matunaga等[13]從容錯系統(tǒng)設(shè)計的角度出發(fā)，分析了作動器失效的各種形式，建立了相應(yīng)的數(shù)學模型，為容錯優(yōu)化指標的建立和考慮可靠性的作動器優(yōu)化配置提供了理論基礎(chǔ)[14]。

上述優(yōu)化指標均從理論角度出發(fā)，分別對振動控制系統(tǒng)的能耗、可控度、容錯性進行優(yōu)化，然而為作動器供電的電纜所引發(fā)的能量損耗及電磁干擾并未考慮其中。此外，大型撓性航天器具有模態(tài)頻率低且密集的特點，高階模態(tài)振動對航天器姿態(tài)控制的影響不能忽略，在設(shè)計作動器安裝位置時，需先保證系統(tǒng)對各階模態(tài)都具一定的控制能力。綜上，本文針對振動作動器優(yōu)化布局問題，提出考慮系統(tǒng)狀態(tài)可控度及作動器電纜長度的復合優(yōu)化指標，并根據(jù)該指標采用遺傳算法對作動器安裝位置進行尋優(yōu)，在保證系統(tǒng)可控度的同時，減小作動器供電電纜長度，進而減少系統(tǒng)的能耗和電磁干擾。

1 數(shù)學模型的建立

本文利用有限元法建立撓性航天器的振動控制模型。假設(shè)航天器撓性部件上的有限元節(jié)點數(shù)目為n，安裝作動器的數(shù)目為nc，且所有作動器均跨接在兩個相鄰的有限元節(jié)點上。在有限元模型中，認為各節(jié)點之間由無質(zhì)量的彈簧鏈接，進而通過數(shù)學分析建立各節(jié)點之間的力學關(guān)系和運動約束。作動器嵌入桁架后，可認為作動器只對其跨接的兩個節(jié)點有力的作用；而對其他節(jié)點的作用力則是有限元模型的內(nèi)力，由無質(zhì)量彈簧進行傳遞。如圖 1所示，若作動器沿著節(jié)點編號m→n方向安裝，其與本體系三軸方向的夾角分別為α、β、γ，則作動器安裝方向在本體系下的方向余弦為cosα、cosβ、cosγ。

圖1 有限元節(jié)點受力分析圖Fig. 1 Force analysis for a finite element

當作動器產(chǎn)生幅值為Fc的控制力時，節(jié)點n受力為

(1)

節(jié)點m受力為

(2)

則作動器為整個撓性結(jié)構(gòu)提供的控制力為

(3)

考慮航天器剛撓耦合特性及環(huán)境干擾，航天器上所有撓性部件的振動控制規(guī)律，均可采用如下數(shù)學模型進行描述[15]

(4)

其中，M∈Rn*n、C∈Rn*n、K∈Rn*n分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼、剛度矩陣；ω∈R3*1為航天器姿態(tài)角速度在本體系下的投影；L∈Rn*3是航天器姿態(tài)運動與撓性結(jié)構(gòu)各有限元節(jié)點振動的耦合系數(shù)；δ為撓性附件上有限元節(jié)點的位移矩陣；fd∈Rn*1、fa∈Rnc*1分別代表干擾力列向量和作動器輸出的控制力列向量；B∈Rn*nc為振動作動器的安裝位置矩陣，由作動器的方向余弦組成。

為了便于控制系統(tǒng)設(shè)計，還需要將振動控制方程式(1)轉(zhuǎn)換至模態(tài)空間下，并進行適當?shù)哪B(tài)截斷。定義系統(tǒng)的振型矩陣為U∈Rn*n，則根據(jù)振動理論可知

δ=Uη

(5)

其中，η為撓性部件的振動模態(tài)坐標。考慮對上式進行模態(tài)截斷，則有

δ=Uaηa

(6)

其中，Ua是系統(tǒng)前na階振動的振型矩陣，ηa為截斷后的振動模態(tài)坐標。

進一步，可得模態(tài)空間下的系統(tǒng)振動控制方程，具體形式為[15]

(7)

2 基于遺傳算法的作動器布局優(yōu)化方案

2.1 考慮作動器電纜長度的復合優(yōu)化指標

VTAcV=uTu

(8)

其中，Ac=ATA是一個nc*nc階正定矩陣。

根據(jù)式(8)，可得如下不等式

(9)

(10)

則可建立如下的作動器安裝位置優(yōu)化指標：

(11)

如前所述，作動器電纜越長其能量損耗越大，且更容易對航天器的高精度載荷產(chǎn)生電磁干擾。因此，縮短作動器電纜長度可以有效減小系統(tǒng)能量損耗及電磁干擾，提高振動控制系統(tǒng)的可靠性。綜上，將式(11)中的優(yōu)化指標改寫為

(12)

其中，X為作動器安裝位置向量；μ為加權(quán)系數(shù)，μ越大則作動器電纜長度在優(yōu)化指標中所占權(quán)重越大。該加權(quán)優(yōu)化指標兼顧了系統(tǒng)可控度和作動器電纜長度，在保證系統(tǒng)可控的前提下，能夠有效縮短作動器電纜長度。

2.2 遺傳算法優(yōu)化

遺傳算法采用了達爾文進化論中優(yōu)勝劣汰的思想，利用復制、交叉、變異等操作來模擬自然進化過程，完成對復合性能指標的最優(yōu)個體的全局搜索，具有優(yōu)化速度快、干擾魯棒性強等優(yōu)勢[11]，其操作流程如圖2所示。

圖2 遺傳算法操作流程圖Fig. 2 Flow chart of the genetic algorithm

(1)編碼與解碼

本文利用二進制字符串對作動器的所有可選安裝位置進行編碼，二進制字符串長度與可選安裝位置總數(shù)相等。具體操作規(guī)則為：安裝作動器的位置二進制編碼設(shè)置為1；未安裝作動器的位置相應(yīng)二進制編碼設(shè)置為0。例如，在某個撓性部件上預(yù)先選定了10個位置作為可選安裝位置，在編號為3、5、7的位置上安裝作動器，則對應(yīng)的二進制編碼為[0 0 1 0 1 0 1 0 0 0]。

(2)適應(yīng)度比例選擇操作

(3)交叉操作

(4)變異操作

設(shè)變異概率為pm，對于每一位基因都產(chǎn)生一個[0,1]之間的隨機數(shù)c，用于判斷變異是否發(fā)生，若c≤pm則對該編碼進行變異操作，即由0置1或由1置0。變異操作能夠為種群不斷引入新的個體，提高遺傳算法的全局搜索能力，有效避免搜索陷入局部最優(yōu)。

3 仿真試驗及結(jié)果分析

本節(jié)采用Matlab/Simulink，驗證所提方法的有效性。 在對作動器安裝位置進行優(yōu)化之前，需預(yù)先規(guī)定作動器的可選安裝位置并進行編碼。以現(xiàn)代航天器上常用的太陽能帆板為例，在如圖3所示的有限元模型上均勻選取21組相鄰節(jié)點作為可選安裝位置。該太陽能帆板長7.38m，寬1.82m，有限元節(jié)點1354個，其具體撓性參數(shù)如表1所示。

表1 航天器撓性帆板參數(shù)Tab.1 Parameters of a flexible solar panel

為了便于計算，本文采用3個作動器對撓性結(jié)構(gòu)的前3階模態(tài)進行控制，并設(shè)計作動器的最優(yōu)安裝位置。根據(jù)優(yōu)化指標式(12)，對作動器安裝位置進行優(yōu)化，在如圖3所示的21個可選安裝位置中選取3個作為作動器的最終安裝位置。優(yōu)化結(jié)果如圖4至圖7所示，在采用遺傳算法優(yōu)化過程中，種群最大適應(yīng)度曲線如圖8至圖11所示，表2對上述仿真結(jié)果進行對比和歸納。

圖3 可選安裝位置示意圖Fig.3 Optional positions of actuators

圖4 最優(yōu)安裝位置 (μ=0)Fig.4 Optimal configuration of actuators with μ=0

圖5 最優(yōu)安裝位置(μ=2.2*10-5)Fig.5 Optimal configuration of actuators with μ=2.2*10-5

圖6 最優(yōu)安裝位置(μ=4.0*10-5)Fig.6 Optimal configuration of actuators with μ=4.0*10-5

圖7 最優(yōu)安裝位置(μ=6.3*10-5)Fig.7 Optimal configuration of actuators with μ=6.3*10-5

圖8 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=0)Fig.8 The maximum population fitness with μ=0

圖9 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=2.2*10-5)Fig.9 The maximum population fitness with μ=2.2*10-5

圖10 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=4.0*10-5)Fig.10 The maximum population fitness with μ=4.0*10-5

圖11 種群最大適應(yīng)度曲線(μ=6.3*10-5)Fig.11 The maximum population fitness with μ=6.3*10-5

表2 仿真結(jié)果總結(jié)Tab.2 Summarize of the simulation results

根據(jù)圖8至11可知，種群最大適應(yīng)度在不同情況下均能收斂于一個固定值，這說明遺傳算法通過一定次數(shù)的迭代后找到了作動器的最優(yōu)安裝位置。由圖4至圖7及表2可知，優(yōu)化指標(12)中的加權(quán)系數(shù)越大，優(yōu)化結(jié)果中作動器的電纜越小，與理論分析結(jié)果一致，說明改進的優(yōu)化指標兼顧了系統(tǒng)狀態(tài)可控度及作動器電纜長度，證明了優(yōu)化指標的有效性。

4 結(jié) 論

本文針對航天器撓性附件的振動抑制問題，研究了作動器的優(yōu)化配置方案。綜合考慮閉環(huán)系統(tǒng)的可控度和作動器的電纜長度，提出了一種新型的復合優(yōu)化指標，該指標在保證系統(tǒng)對振動的抑制能力的前提下，能夠有效縮減作動器電纜長度，減小航天器在軌運行期間的能量損耗和電磁干擾，具有較高的工程應(yīng)用價值。在此基礎(chǔ)上，采用遺傳算法，實現(xiàn)了作動器安裝位置的快速尋優(yōu)。本文以撓性太陽能帆板的前三階模態(tài)振動為例，通過大量數(shù)值仿真驗證了所提方法的有效性。