董瑞琦,吳愛國,張 穎,賀 亮
(1. 哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程與自動化學(xué)院·深圳·518055;2. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?!?01109)
姿態(tài)穩(wěn)定控制律設(shè)計是航天器控制系統(tǒng)設(shè)計最重要的一部分,為了滿足姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計的高精度、高穩(wěn)定度的要求[1],很多控制方法被提出,比如比例微分(Proportion Differentiation,PD)控制算法[2]、滑??刂品椒╗3]以及自適應(yīng)律[4]。
滑??刂坡?Sliding Mode Control, SMC)是一種非線性控制策略,由于它自身的強魯棒性和易實現(xiàn)性,吸引了很多學(xué)者的注意。實際上,滑??刂坡蛇€具有對于模型匹配不確定性以及外部干擾的不敏感性[5]等優(yōu)點。因此,滑??刂坡杀粡V泛應(yīng)用于航天器姿態(tài)控制律設(shè)計中。在文獻[6]中,通過解一個簡化模型的最優(yōu)控制問題,提出了滑??刂坡?。該文基于姿態(tài)角速度和姿態(tài)角信息構(gòu)造了最優(yōu)的切換面。為了進一步提高到達滑模面過程中系統(tǒng)狀態(tài)的瞬態(tài)響應(yīng),文獻[7]提出了光滑的模型參考滑??刂坡?。在文獻[8]中,滑模控制律用于解決航天器的姿態(tài)跟蹤問題。為了處理滑模控制律的抖振問題,文獻[9]針對剛體航天器設(shè)計了高階滑??刂坡?。文獻[10]針對撓性航天器設(shè)計滑模姿態(tài)控制律。
前述的滑模控制律包含兩個部分:由被控系統(tǒng)的名義部分推導(dǎo)得到的等效控制,以及處理系統(tǒng)的不確定性和外部干擾的控制項。并且上述文獻中提出的算法在設(shè)計滑模控制律過程中,要求由系統(tǒng)不確定性和外部干擾構(gòu)成的函數(shù)的上界可以得到。然而,在實際應(yīng)用中,這個函數(shù)的上界很難得到。因此,解決該問題非常保守的辦法就是選擇一個非常大的切換增益,以保證設(shè)計的控制律對于系統(tǒng)的不確定和干擾有足夠的魯棒性。然而,非常大的控制增益會激發(fā)抖振,甚至導(dǎo)致航天器姿態(tài)系統(tǒng)失穩(wěn)[11]。目前,有兩種主要的策略可以解決不確定性和干擾上界未知的問題。一種方法是利用文獻[12]描述的干擾觀測器方法,利用該方法設(shè)計控制律時,通常假設(shè)干擾和模型的不確定性由線性外源性系統(tǒng)引發(fā)[13]。由于參數(shù)不確定性和干擾很難預(yù)測,因此該條件在實際應(yīng)用中很難滿足。另一種方法是利用參數(shù)自適應(yīng)策略。通過假設(shè)不確定性上界與系統(tǒng)狀態(tài)線性相關(guān),文獻[14]提出了兩種自適應(yīng)滑??刂坡伞5?,該文獻中構(gòu)造的滑模函數(shù)是非連續(xù)的,不連續(xù)的滑模函數(shù)可以引起抖振。為了減弱抖振問題,文獻[15]對滑模面設(shè)計了一個邊界層,并且提出基于改進自適應(yīng)律的滑模控制律。此外,自適應(yīng)滑??刂品椒ū挥糜谔幚聿淮_定撓性航天器的魯棒姿態(tài)控制問題[16]。
上述提到的研究都是針對剛體航天器設(shè)計姿態(tài)控制律。然而,現(xiàn)代航天器攜帶大型的、復(fù)雜的輕質(zhì)材料,比如太陽能電池板、天線等,因此現(xiàn)代航天器都是撓性的。航天器的這些撓性結(jié)構(gòu)通常會有低頻的振動模態(tài)[1]。這些振動模態(tài)可能會導(dǎo)致一系列問題包括姿態(tài)控制精度,甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)。此外,當(dāng)航天器在軌運行時,材料消耗、撓性附件的伸展和收縮都可能會影響系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量。因此,撓性航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計必須要考慮轉(zhuǎn)動慣量不確定性。
本文是會議論文[17]的修改提高版本。本文內(nèi)容安排如下:首先,簡單介紹撓性航天器系統(tǒng);其次,利用可獲得的姿態(tài)信息構(gòu)造了部分狀態(tài)觀測器估計撓性航天器的撓性模態(tài);再次,利用姿態(tài)信息設(shè)計滑模面,并且設(shè)計自適應(yīng)律估計由不確定性和外部干擾組成的函數(shù)的上界;最后,利用Lyapunov穩(wěn)定理論設(shè)計了可以鎮(zhèn)定閉環(huán)航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模姿態(tài)控制律。此外,采用本文設(shè)計的控制律和現(xiàn)有方法對一個撓性航天器進行對比試驗。
本文采用單位四元數(shù)描述撓性航天器的姿態(tài),得到如下航天器姿態(tài)運動學(xué)方程:
(1)
式中:q0和qv=[q1q2q3]T∈R3分別為單位四元數(shù)q的標(biāo)量部分和向量部分;ω=[ω1ω2ω3]T∈R3為航天器本體角速度;T(q0,qv)為
(2)
其中,I3為3*3的單位矩陣,對于任意的向量x=[x1x2x3]T∈R3,x*的定義為:
(3)
顯然,對于任意的三維向量x,x*是一個反對稱矩陣。并且,單位四元數(shù)滿足如下的約束:
(4)
假設(shè)撓性附件的彈性形變很小[18],利用歐拉定理,得到如下?lián)闲院教炱鞯淖藨B(tài)動力學(xué)方程[19]:
(5)
式中:Jmb為撓性航天器剛體部分的轉(zhuǎn)動慣量;Φ∈R3*4為撓性附件與航天器主體之間的耦合矩陣,用以描述撓性附件對航天器本體的影響;η為撓性附件的位移向量;ψ為中間變量;u為作用在航天器主體上面的外部輸入力矩;d為作用在航天器上的外部干擾力矩;C,K分別為撓性航天器的阻尼矩陣和剛性矩陣。針對本模型,考慮N階撓性模態(tài),并且C,K為:
(6)
其中,ωni,i=1,2,…,N和ζi,i=1,2,…,N分別為自然頻率和阻尼系數(shù)。
注1:本文將文獻[20]中剛體航天器的結(jié)果推廣至撓性航天器。類似地,針對撓性航天器系統(tǒng)(5),為了避免矩陣T(q0,qv)在q0=0時發(fā)生奇異,本文中對撓性航天器的工作區(qū)間給出如下約束:
(7)
下面引理給出矩陣T(q0,qv)的性質(zhì)。
引理1[19]:針對矩陣T(q0,qv),有下述關(guān)系式成立:
(8)
式中:x=[x1x2x3]T∈R3為任意一個三維列向量。
本節(jié)首先構(gòu)造部分狀態(tài)觀測器估計不可測的撓性模態(tài)(η,ψ)。然后,基于姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω設(shè)計滑模函數(shù)。其次,為了估計轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾組成的函數(shù)的上界,提出自適應(yīng)律。最后,推導(dǎo)帶有轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。
為了估計不可測的撓性模態(tài),構(gòu)造下述撓性模態(tài)觀測器,
(9)
式中:矩陣P為下述Lyapunov方程的解
其中,矩陣Q滿足Q=QT>0。
利用構(gòu)造的撓性模態(tài)觀測器(9)可以得到撓性模態(tài)位移的估計,利用估計得到的撓性模態(tài)信息,接下來設(shè)計撓性航天器(5)的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。
針對撓性航天器(5),假設(shè)姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω可測,我們將要設(shè)計動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。首先,構(gòu)造如下的滑模函數(shù):
s=ω+Gqv
(10)
式中:G為3*3的對稱正定常數(shù)矩陣。接下來,通過下述定理給出構(gòu)造的滑模函數(shù)的有效性,即證明姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω在滑模面s=0上可以滑動至0。
定理1針對帶有轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5),當(dāng)系統(tǒng)的姿態(tài)四元數(shù)q和姿態(tài)角速度ω限制在滑模面s=0上時,系統(tǒng)的狀態(tài)最終趨于0。
證明:首先,選擇下述的Lyapunov函數(shù):
(11)
利用條件s=0,以及引理1,可得
(12)
定理1證畢。
基于上述構(gòu)造的滑模面,下面將要設(shè)計撓性航天器的動態(tài)自適應(yīng)滑??刂坡伞?紤]下述形式的狀態(tài)反饋控制律:
u=ueq+ud+uh
(13)
(14)
通過撓性航天器系統(tǒng)(5)的第二個方程可得名義系統(tǒng)如下:
ΦT(Cψ+Kη-CΦω)+u]
(15)
將上述表達式和系統(tǒng)(5)的第一個方程代入(14),可得ueq
ueq=ω*(Jmb0ω+ΦTψ)-ΦT(Cψ+Kη-
(16)
(17)
為了設(shè)計控制項ud,首先給出函數(shù)?的定義如下,
(18)
(19)
式中:函數(shù)ρ(t,ω)僅與姿態(tài)變量ω有關(guān),而與ΔJ、d無關(guān)。
假設(shè)1:假設(shè)存在正數(shù)c0、c1使得下述等式成立:
(20)
基于上述假設(shè),設(shè)計控制項ud如下:
(21)
(22)
最后,設(shè)計控制項uh如下:
uh=-Ws-DF(s)
(23)
式中:W、D均為正定對角矩陣,矩陣F為
(24)
總結(jié)前述推導(dǎo),可以得到下述基于部分狀態(tài)觀測器動態(tài)自適應(yīng)滑??刂坡?,
(25)
接下來,通過下述定理驗證所設(shè)計的基于部分狀態(tài)觀測器的動態(tài)自適應(yīng)滑??刂坡傻挠行?。
定理2針對存在未知上界的轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器系統(tǒng)(5),首先定義下述撓性模態(tài)觀測誤差:
(26)
采用動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(25),撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ以及切換函數(shù)s最終趨于0。
證明:選擇如下的Lyapunov函數(shù):
V2(t)=V3(t)+V4(t)
式中:
(27)
(28)
對(27)和(28)分別求導(dǎo)可得:
(29)
(30)
將式(5)中的第一個等式和第二個等式代入(29)中可得,
(31)
(32)
根據(jù)式(18)和(26)可得:
ΦTKeη)+sT(?+ud)
(33)
通過利用式(21)可得,
(34)
利用式(20)和(22),可得,
(35)
結(jié)合式(22),可得,
(36)
對式(28)求導(dǎo),并結(jié)合式(9)可得,
(37)
結(jié)合式(36)和(37)可得,
(38)
這表明,滑模函數(shù)最終趨于滑模面s=0,并且撓性模態(tài)的觀測誤差eη、eψ最終趨于0。證畢。
本文中提出的動態(tài)自適應(yīng)滑??刂坡蛇m用于存在轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的航天器撓性模態(tài)不可測時的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題,并且該控制律不需要已知轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的上界。
為了驗證控制器(25)的有效性,參考文獻的仿真算例,將航天器各參數(shù)選取如下:
撓性航天器的名義轉(zhuǎn)動慣量的標(biāo)稱值Jmb(kg·m2)為:
撓性附件與剛體之間的耦合矩陣Φ(kg1/2·m)為:
此外,考慮前四階撓性附件的振動頻率為:
ωn1=0.7681rad/s,ωn2=1.1038rad/s
ωn3=1.8733rad/s,ωn4=2.5496rad/s
和前四階撓性附件的振動阻尼為:
ζ1=0.005607,ζ2=0.00862
ζ3=0.01283,ζ4=0.02516
姿態(tài)四元數(shù)的初始值為:
q0(0)=0.173648
在仿真中,角速度的初始值設(shè)為:
撓性航天器撓性模態(tài)變量的初始值為:
ηi=0.001,ψi=0.001,i=1,2,3,4
外界干擾信號d為:
10-3(N·m)
控制器的可調(diào)參數(shù)選取為
G=diag{0.5,0.5,0.5},l0=5,l1=5
W=20I3*3,D=5I3*3,Q=2I3*3
考慮撓性航天器的旋轉(zhuǎn)角度為160°,歐拉軸為:
機動目標(biāo)為:在40s內(nèi)使撓性航天器從初始狀態(tài)機動到目標(biāo)狀態(tài),并且有效地抑制振動。
與文獻[21]中定理2提出的控制律(在本文中稱為Controller A)對比的仿真結(jié)果在圖1中。其中,實線代表本文提出的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律(Dynamical Adaptive Sliding Mode Control, DASMC),藍色虛線代表文獻[21]中提出的Controller A。
通過總結(jié)仿真結(jié)果可得,本文提出的動態(tài)自適應(yīng)滑??刂坡刹粫a(chǎn)生抖振,并且在有限時間內(nèi)可以鎮(zhèn)定撓性航天器系統(tǒng)。
(a)撓性模態(tài)位移響應(yīng)
(b)控制力矩響應(yīng)曲線
(c)姿態(tài)四元數(shù)響應(yīng)
(d)姿態(tài)角速度響應(yīng)圖1 DASMC控制律與 Controller A比較Fig.1 Comparison of DASMC law and controller A
本文主要研究了存在轉(zhuǎn)動慣量不確定性和外部干擾的撓性航天器的姿態(tài)穩(wěn)定控制問題,并設(shè)計基于觀測器的動態(tài)自適應(yīng)滑模姿態(tài)穩(wěn)定控制律。
本文設(shè)計的控制律不需要轉(zhuǎn)動慣量不確定性以及外部干擾的先驗知識,并且還適用于撓性模態(tài)不可測的情況。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論分析了撓性航天器閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。另外,通過將所設(shè)計的控制律運用于四階撓性模態(tài)撓性航天器系統(tǒng)中,驗證了系統(tǒng)狀態(tài)的收斂性。