一種柔性可展桁架結構的主動振動抑制技術*

朱東方，劉付成，黃 靜，孫祿君，黃庭軒

(1. 上海航天控制技術研究所·上海·201109；2.上海市空間智能控制技術重點實驗室·上海·201109)

0 引 言

隨著空間遙感探測任務對高品質(zhì)載荷的需求不斷提升，航天器的結構尺寸不斷趨向大型化發(fā)展。隨著航天器結構尺寸的增大，傳統(tǒng)機械結構在質(zhì)量、體積和成本等方面的代價越來越大，并且由于機械展開式大型空間機構有大量旋轉關節(jié)或驅動機構，使得其制造復雜和可靠性差。相對于傳統(tǒng)機械結構存在的上述弊端，采用形狀記憶復合材料(Shape-Memory-Polymer-based Composites，SMPC)的可展桁架結構憑借其質(zhì)量小、形狀回復率大、結構穩(wěn)定等優(yōu)點，在航空航天領域得到了迅速發(fā)展與應用[1-3]。

同時，柔性可展桁架結構的自由度高、構型復雜、運行環(huán)境特殊，使得對其進行動力學分析時建模難度大、耗時耗力，且難以用于結構的設計與振動控制。因此，建立復雜柔性可展桁架結構的合理簡化模型是開展動力學分析與控制的關鍵之一。Noor等提出了空間周期性桁架結構連續(xù)體等效模型研究方法[4-7]，基于能量等效原理，分別將梁式和板式的周期桁架單元等效為梁模型和板模型，得到了等效連續(xù)體模型的剛度和質(zhì)量系數(shù)，并通過靜力學、動力學和熱分析驗證了等效模型的精度。Lee運用能量等效原理將周期桁架結構等效為考慮拉伸、剪切與彎曲之間耦合的Timoshenko梁模型，結合有限單元法推導等效連續(xù)梁結構的剛度和質(zhì)量矩陣，并對其進行了結構振動特性分析[8]。郭宏偉和楊慧等對直線式類梁桁架和環(huán)形類梁桁架進行了連續(xù)體模型等效，對其振動特性進行對比分析[9-10]。劉福壽等研究了環(huán)形周期桁架結構的等效連續(xù)體模型，對環(huán)形桁架結構面內(nèi)和面外的振動特性進行了分析[11]。雖然連續(xù)體等效建模可以對柔性桁架結構的動力學特性進行分析，但較難建立適用于含作動執(zhí)行機構的智能桁架結構主動振動控制器設計的動力學模型。為了建立上述模型，需要采用能夠保留局部作動執(zhí)行機構特性的建模方法。模態(tài)綜合建模方法是將整體結構按照一定策略進行分解，分析分解得到的多個子結構系統(tǒng)動力學特性，然后將子結構按照原始界面幾何連續(xù)原則進行裝配連接，根據(jù)子結構間存在不獨立坐標得到動力學方程，最終建立整體結構動力學模型。由于模態(tài)變換過程中，針對各個子結構僅選取少數(shù)模態(tài)進行綜合，因而通過子結構方法降低整體結構求解階數(shù)，既能提高計算效率，同時還可以對更大更復雜的模型進行仿真計算。Hurty于20世紀60年代首次提出固定界面模態(tài)綜合技術[12]，Craig和Bampton提出Craig-Bampton方法對Hurry的固定界面模態(tài)綜合技術進行改進[13]，目前自由界面模態(tài)綜合技術通常指Craig-Bampton方法。自由界面模態(tài)綜合技術由Hou S N于1969年提出，綜合過程中完全將高階模態(tài)忽略導致計算精度難以保證，Rubin在剩余柔度基礎上引入剩余慣性項，提出2階近似剩余模態(tài)綜合方程極大提高了計算精度[14]，王文亮等采用李茲法給出自由界面模態(tài)綜合方程[15]。楊文山等采用模態(tài)綜合方法研究了一種基于子結構方法的艦艇整體結構模態(tài)信息求解方法和水下爆炸載荷作用下沖擊環(huán)境預報技術[16]。

在建立了柔性結構動力學模型后，需要設計適用的控制器實現(xiàn)對其撓性振動抑制。主動振動抑制控制理論也是研究的重點，目前學者們已經(jīng)研究了許多控制方法可以有效地抑制大型柔性結構的振動，例如混合正反饋(Hybrid Positive Feedback，HPF)控制設計[17]、正位置反饋(Positive Position Feedback，PPF)[18]、基于最小能量的控制器[19]、基于Lyapunov函數(shù)的非線性振動系統(tǒng)的控制方法[20]、極點-配置-積分諧振控制方法等[21]。隨著柔性結構的尺度變大，控制元件的選擇和控制方法的合理設計是兩個影響抑振效果的主要因素。Wang等使用可控性指標對壓電執(zhí)行機構-傳感器對的尺寸和位置進行了優(yōu)化[22]。Yang等采用最大化的能量耗散作為性能指標實現(xiàn)執(zhí)行機構的優(yōu)化配置與系統(tǒng)的控制[23]。Liu等將閉環(huán)傳遞函數(shù)矩陣的空間H2范數(shù)作為執(zhí)行機構優(yōu)化配置的性能指標[24]。Güney等提出了同時設計H∞控制器和優(yōu)化執(zhí)行機構傳感器位置方法[25]。當給定執(zhí)行機構的優(yōu)化性能指標后，需要考慮如何求解最優(yōu)位置。不同的方法已經(jīng)用于求解最優(yōu)配置問題，如禁忌算法、粒子群算法、模擬退火算法、遺傳算法等。盡管Wang等使用粒子群算法實現(xiàn)了執(zhí)行機構的最優(yōu)配置，但是粒子群算法在求解最優(yōu)配置問題中只能得到非凸函數(shù)的全局最優(yōu)解[26]。Sadri等使用遺傳算法得到了各向同性板上執(zhí)行機構的優(yōu)化位置[27]。Sheng等研究了一系列的微型遺傳算法用于大量數(shù)目的執(zhí)行機構的優(yōu)化配置問題，討論了微型遺傳算法在不同隨機種子產(chǎn)生器、不同算法重啟標準以及不同數(shù)目執(zhí)行機構條件下的求解效果[28]。雖然上述研究方法針對典型結構或典型問題目前已經(jīng)取得了相應研究成果，但對于柔性可展桁架結構的主動振動抑制問題需要開展針對性的研究。

本文針對采用形狀記憶復合材料的智能柔性可展桁架結構，首先基于模態(tài)綜合的方法建立其整體動力學模型，然后采用動態(tài)滑?？刂坡稍O計主動振動控制器，并基于遺傳算法對作動執(zhí)行機構的布局配置進行優(yōu)化，最后通過數(shù)值仿真驗證所設計方法的有效性和精度。

1 智能柔性可展桁架結構動力學建模

智能柔性可展桁架結構是柔性可展桁架結構與作動執(zhí)行機構共同構成。作動執(zhí)行結構串接在柔性可展桁架結構內(nèi)部，主要是在柔性可展桁架結構展開鎖定的狀態(tài)下工作；在保證柔性可展桁架結構具備相應剛度的基礎上，提供作動執(zhí)行力矩，實現(xiàn)對柔性可展桁架結構撓性振動的主動抑制控制。

1.1 柔性可展桁架結構的動力學模型

柔性可展桁架結構采用文獻[29]中的結構形式，主要由復合材料縱梁、連接隔板、斜拉索和矩陣板構成，橫截面為三角形，展開鎖定后的柔性桁架結構如圖1所示。

圖1 柔性可展開桁架結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of the integral structure

根據(jù)圖1中柔性可展桁架整體結構的幾何特征可見，其結構具有周期特性，單節(jié)桁架結構可作為其周期胞元。對于超大尺度的柔性可展桁架結構，為了建立適用于控制器設計的低階動力學模型，結合其周期性特征，采用固定界面模態(tài)綜合建模方法。單節(jié)桁架結構采用有限單元法對結構進行離散化(見圖2)，將連接界面的交界面節(jié)點自由度定義為界面自由度，將其余節(jié)點統(tǒng)稱為內(nèi)部節(jié)點，相關自由度定義為內(nèi)部自由度。

圖2 單節(jié)桁架結構有限單元法離散后節(jié)點定義Fig.2 The nodes of a single truss structure discretized by the finite element method

(1)

其中(1)m和(1)k分別為質(zhì)量矩陣與剛度矩陣。

為了建立低階模型，將物理坐標(1)u變換到模態(tài)坐標(1)p，并選擇交界面節(jié)點的物理坐標作為廣義坐標，則采用模態(tài)坐標描述為

(2)

在(1)ΦN中略去對系統(tǒng)響應貢獻度較小的高階模態(tài)，僅保留k階主模態(tài)(1)Φk時，自由度減縮后的變換為

(3)

其中，固定界面主模態(tài)(1)Φk可通過求解界面固定狀態(tài)下的單節(jié)桁架結構動力學方程得到，約束模態(tài)(1)ΨIJ可通過逐一釋放界面自由度使其產(chǎn)生單位位移而得到的各組靜態(tài)變形構成。

將式(3)代入式(1)，建立單節(jié)桁架結構模態(tài)坐標方程為

(4)

(5)

根據(jù)界面位移協(xié)調(diào)條件(i)uJ=(i+1)uJ，則柔性可展開桁架結構的模態(tài)坐標可轉換為

(6)

其中，T2為波爾矩陣，(c)uJ表示所有子結構各界面中的獨立節(jié)點坐標向量。

p=T1T3q

(7)

根據(jù)式(4)和式(7)，可以建立由各子結構動力學方程組裝成的總體動力學方程為

(8)

其中，

1.2 作動執(zhí)行機構的動力學模型

作動執(zhí)行機構提供兩個方向的控制力矩，實現(xiàn)對柔性可展開桁架結構彎曲振動形態(tài)的主動控制。作動執(zhí)行機構的原理圖和結構圖如圖3所示。

(a)原理圖

(b)結構圖圖3 作動執(zhí)行機構的原理圖與結構圖Fig.3 The schematic and structural drawings of the actuator

根據(jù)圖3中定義，建立作動執(zhí)行機構的力矩平衡方程為

(9)

其中，M表示音圈電機產(chǎn)生的力矩，J表示動平臺轉動慣量，θ表示動平臺轉動角度，c表示系統(tǒng)阻尼系數(shù)，mc表示電機動子質(zhì)量，l表示轉動力臂，x表示電機運動距離。

結合音圈電機原理，建立系統(tǒng)的動力學方程為

(10)

其中，c′表示音圈電機阻尼系數(shù)，Km表示音圈電機驅動力系數(shù)，Ks表示電機力常數(shù)，R表示電阻，k表示系統(tǒng)剛度，I表示線圈中的電流。

由于作動執(zhí)行機構轉動角度非常小，采用線性近似關系tan(θ)≈θ。由式(9)和式(10)，建立作動執(zhí)行機構單自由度傳遞函數(shù)為

(11)

同理，可以建立作動執(zhí)行機構另外一個自由度的傳力函數(shù)。

1.3 智能柔性可展桁架結構的動力學模型

對于智能柔性可展桁架結構，是將作動執(zhí)行機構安裝在柔性可展桁架結構內(nèi)部，提供相應的控制力矩。根據(jù)式(8)和式(11)，建立智能柔性可展桁架結構的動力學模型為

(12)

其中，F(xiàn)c表示作動執(zhí)行機構的控制力矩，F(xiàn)表示柔性可展桁架結構所受外部激勵作用。

2 智能柔性可展桁架結構主動振動控制器設計

(13)

其中，A=-M-1K，B=M-1。

為了提高主動振動控制器的魯棒性，更好地適應系統(tǒng)未建模動態(tài)的影響，采用魯棒性較強的滑模變結構控制方法設計控制律。為了降低滑模變結構切換控制律的高頻切換抖動影響，采用動態(tài)滑?？刂评碚撛O計控制器，將不連續(xù)項轉移到控制的一階導數(shù)中，從而得到在時間上本質(zhì)連續(xù)的動態(tài)滑模控制律。

定義系統(tǒng)的誤差和切換函數(shù)分別為

(14)

則

(15)

構造新的動態(tài)切換函數(shù)為

(16)

根據(jù)到達條件，采用等速趨近律，設計系統(tǒng)的動態(tài)滑?？刂坡蔀?/p>

(17)

將控制律(17)積分，可以得到系統(tǒng)(13)的動態(tài)滑模變結構控制律，然后結合式(11)可以獲得作動執(zhí)行機構的實際輸出力矩。

3 作動執(zhí)行機構布局優(yōu)化配置

在柔性可展桁架結構復合材料縱梁的折疊約束下，為了保證作動執(zhí)行機構的輸出能力，將作動執(zhí)行機構安裝柔性可展開桁架子結構連接的交界面節(jié)點處。為了實現(xiàn)作動執(zhí)行機構最少的數(shù)量對柔性可展開桁架結構的主動振動控制，需要對作動執(zhí)行機構的位置進行布局優(yōu)化配置。

為了反映控制器增益、作動執(zhí)行機構位置及數(shù)目與柔性可展桁架機構振動控制性能間的影響關系，設計系統(tǒng)的線性二次型性能指標函數(shù)為

(18)

其中，Q和R分別為半正定的狀態(tài)加權矩陣和正定的控制輸入加權矩陣。

式(18)表示系統(tǒng)的能量主要由兩部分組成，第一項為結構振動能量，第二項為控制能量。通過求解系統(tǒng)狀態(tài)的Riccati方程，可以得到系統(tǒng)(13)的控制律為

Fc=-KX(t)=-R-1BTPX(t)

(19)

其中，P為如下Riccati方程(22)的正定解。

ATP+PA-PBR-1BTP+Q=0

(20)

當初始條件為X(0)時，t時刻方程的解為

(21)

將式(19)和式(21)代入式(18)可得

(22)

在最小化性能指標約束下，通過求解Riccati方程，可同時實現(xiàn)控制增益和作動器布局優(yōu)化配置。但由于性能指標函數(shù)與系統(tǒng)的初始狀態(tài)有直接關系，可能會影響最終的優(yōu)化結果，所以假定系統(tǒng)的初始狀態(tài)是在n維單位球上均勻分布的隨機量，用性能指標函數(shù)的平均值作為目標函數(shù)進行計算，以避免系統(tǒng)初始狀態(tài)的影響。

則式(22)可轉化為

(23)

對于優(yōu)化問題(23)，可采用遺傳優(yōu)化算法等多種智能優(yōu)化算法進行求解。

4 仿真研究

選擇4節(jié)桁架子結構構成的桁架結構作為仿真對象，桁架結構的幾何尺寸參數(shù)和材料屬性參數(shù)如表1和表2所示。

表1 桁架結構的幾何尺寸參數(shù) Tab.1 Geometrical parameters of truss members

表2 桁架結構的材料屬性參數(shù)Tab.2 Material parameters of truss members

根據(jù)上述參數(shù)，采用1節(jié)中的建模方法，每個子結構保留7階主模態(tài)，建立懸臂態(tài)的4節(jié)桁架結構動力學模型。然后將4個子結構的12個連接交界面節(jié)點處均作為初始候選位置，選擇5個最優(yōu)位置，采用遺傳優(yōu)化算法進行優(yōu)化配置。優(yōu)化后的作動執(zhí)行機構的布局優(yōu)化配置圖如圖4所示。

圖4 作用執(zhí)行機構布局優(yōu)化初始位置(紅點位置)與優(yōu)化位置圖(黑點位置)Fig.4 Optimized initial position (red spot position) and optimized position (black spot position) of actuators

優(yōu)化后最優(yōu)適應度值與平均適應度值收斂如圖5所示。

圖5 最優(yōu)適應度值與平均適應度值收斂曲線Fig.5 Convergence curve of optimal fitness value and average value

根據(jù)優(yōu)化的作動執(zhí)行機構位置，在4節(jié)桁架結構的自由端頂點前1s施加50N與矩形板法線平行的階躍干擾力，采用動態(tài)滑?？刂坡?17)，進行閉環(huán)控制仿真。

圖6 無控制下柔性桁架結構自由端節(jié)點位移響應Fig.6 Displacement response of free end node of flexible truss structure without control

圖7 不同數(shù)量作動執(zhí)行機構作用時柔性桁架結構自由端節(jié)點位移響應Fig.7 Displacement response of free end node of flexible truss structure with different actuating actuators

從圖6和圖7對比可以看出，采用作動執(zhí)行機構實施主動控制作用時，能夠快速衰減柔性桁架結構的撓性振動，并且能夠有效地降低干擾作用產(chǎn)生的振動的幅值。從圖7中不同數(shù)量作動執(zhí)行機構作用下柔性桁架結構的響應對比可以看出，經(jīng)過布局優(yōu)化配置后，僅采用5個作動執(zhí)行機構即可實現(xiàn)與所有作動執(zhí)行機構全部工作時相當?shù)目刂菩Ч炞C了布局優(yōu)化算法的有效性。

5 結 論

本文針對柔性可展桁架結構的主動振動控制問題，采用模態(tài)綜合方法、動態(tài)滑模控制方法和遺傳算法等提出一種主動振動控制器設計方法。主要結論如下：

(1)根據(jù)柔性可展桁架結構的周期性幾何特征，采用模態(tài)綜合方法在建立周期胞元單節(jié)桁架結構的降階模型基礎上，基于固定界面協(xié)調(diào)條件，綜合建立整體桁架結構適用于控制器設計的低階模型；進而建立作動執(zhí)行機構的動力學模型，建立智能柔性可展桁架結構的動力學模型。

(2)針對柔性可展桁架結構易受到外部干擾影響問題，設計了魯棒性強的動態(tài)滑模控制器，將不連續(xù)切換項引入到控制的一階導數(shù)，大大削弱了控制作用的高頻抖動。

(3)設計了作動執(zhí)行機構布局優(yōu)化配置的線性二次型性能指標函數(shù)，采用遺傳算法獲得了最優(yōu)安裝位置。

(4)仿真結果表明，所設計的主動振動控制器保證了系統(tǒng)的魯棒性，達到了控制要求，具有較好的工程應用前景。