利用三階精度方法對氣柱頻率的研究

2019-12-12 05:04:50

液壓與氣動 2019年12期

(內(nèi)蒙古科技大學(xué)機械工程學(xué)院, 內(nèi)蒙古包頭 014010)

引言

全球工業(yè)進入高速發(fā)展階段，使得環(huán)境問題日益加劇。對清潔能源的深入研究已經(jīng)成為科研者們探尋的主要方向。對于人類賴以生存，且取之不盡用之不竭的氣體研究已經(jīng)成為研究的焦點。重型卡車是工業(yè)運輸?shù)难}，以往的重型卡車多以液壓作為制動媒介，如今氣動制動已經(jīng)在重型卡車的制動系統(tǒng)中占有主導(dǎo)地位。制動系統(tǒng)的好壞關(guān)系到卡車的安全性和舒適性，因此制動管路的研究就有著重要意義。

李范波等[1]通過分析閥的動作頻率設(shè)計了一種氣動優(yōu)化程度更高的高速開關(guān)閥，也得到了閥體在氣動過程中由閥產(chǎn)生不同脈動的開關(guān)形式。方桂花等[2]在分析管路過程中通過幾種差分格式的分析對比，證明利用一階迎風(fēng)差分格式相比中心差分與二階的Lax-Wendroff格式分析精確度更高，穩(wěn)定性更強。另外通過迎風(fēng)差分格式的分析也同時為緊致插值的在氣動管路中的研究進行了很好的鋪墊作用。權(quán)凌霄等[3]分析液壓管路在隨機振動下的疲勞強度，通過應(yīng)力響應(yīng)功率譜密度函數(shù)并利用有限元方法對管路結(jié)構(gòu)危險部位疲勞壽命進行預(yù)估。ZHAO等[4-5]在分析流體運動時，基于差分格式下的緊致插值方法解雙曲偏微分方程，通過圓柱繞流、堤壩實驗等證明了利用緊致插值方法在流體的研究中精度更高、穩(wěn)定性更好。YANG等[6]利用差分方法應(yīng)用于氣動管路中，并證明管路長度是影響制動時長的主要原因，其方法更加接近于真實變化。牧彬等[7]通過充氣試驗臺對管路充氣過程進行仿真通過把管路進行網(wǎng)格化，在時間和空間上進行差分計算，利用該研究方法得出研究管路中變量參數(shù)的理論狀態(tài)解。余先鋒等[8]在進行開洞結(jié)構(gòu)風(fēng)壓實驗，仿真結(jié)果表明：下流區(qū)域比例閥開口變化對管路部分影響較大，長時間充氣提高管路部分的疲勞壽命。在提高管路部分研究理論依據(jù)的過程中，利用氣體動力學(xué)方程的分離變量方法得出不同開口產(chǎn)生共振頻率。吳炳勝[9]進行振動故障的診斷,并分析了出現(xiàn)這些振動故障的原因，提出了減小振動故障的改進措施。張振乾[10]利用ANSIS軟件分析了管路的幾階振動頻率，并通過差分格式利用微分變換法將氣動管路進行了固有頻率計算。為了避免由氣動脈沖引起的管路共振，通過合理分配管路長度減小對管路部分的損害，從而提高管路壽命。黃玲璐等[11]通過對彈性梁內(nèi)外共振和激勵作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的研究，證明振動產(chǎn)生的破壞的最大形式是通過頻率相一致導(dǎo)致振動所導(dǎo)致的。國忠金等[12]研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)下諧波在振動頻率隨著系統(tǒng)非線性項系數(shù)，利用振幅和顯性系數(shù)等變化趨勢，同時給出了初始振幅和非線性項系數(shù)等因素對系統(tǒng)振動頻率響應(yīng)的影響。

1 緊致插值方法

1.1 緊致插值模型介紹

緊致插值方法是模擬流體變化的一種較為成熟的算法，主要應(yīng)用于流體內(nèi)部交叉和流體表面變化復(fù)雜形狀的界面移動問題。當(dāng)遇到流體數(shù)值擴散和不穩(wěn)定等問題，需要對流體網(wǎng)格內(nèi)部信息得到更加準確的數(shù)值。于是需要大量的網(wǎng)格應(yīng)用于計算仿真當(dāng)中，然而一階導(dǎo)數(shù)對于網(wǎng)格的分析精度較低，于是可以利用三次多項式進行插值近似。其方法所得到的都是時間和空間上的三階精度顯示穩(wěn)定格式。氣體作為一種特殊流體已經(jīng)廣泛應(yīng)用于生產(chǎn)當(dāng)中，利用精度更高的方法作為研究氣體狀態(tài)的依據(jù)是非常有必要的。

下面公式為氣體的一般偏微分方程：

(1)

如果u是正數(shù)且為常數(shù)，則分析方法為f(t,x)=f(t-Δt,x-Δx)，這就意味著節(jié)點的值到下一個時間段的值可以通過目前時刻的值獲得，下面給出一階差分格式工作原理圖。

如圖1所示，其中由圖1a～圖1c分別是迎風(fēng)差分格式在分析過程中的原理圖，通過原初始波在經(jīng)過uΔt后波之間的關(guān)系由點與點之間的直線連接來展示函數(shù)情況的。而圖1d是緊致插值方法采用一種獨特的方式，在1個網(wǎng)格內(nèi)實現(xiàn)了高階差分格式，通過利用空間網(wǎng)格點的變量值及其空間導(dǎo)數(shù)值，來描述該網(wǎng)格內(nèi)的信息，可逼真地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)的信息，函數(shù)是通過uΔt形式進行漂移的。

圖1 緊致插值工作原理

1.2 緊致插值原理

如果所知的(x-uΔt)是在2個節(jié)點之間，那么需要通過在2節(jié)點間插值，即高精度的插值方程為：

f(x)=ai(x-xi-1)3+bi(x-xi-1)2+

(2)

上式中系數(shù)由下面方程得：

(3)

(4)

(5)

di=fi

(6)

于是可以得到下一個時間段函數(shù)值和其導(dǎo)數(shù)值：

(7)

(8)

式中,ai，bi，ci，di分別表示緊致插值系數(shù)。

對于一階迎風(fēng)差分格式來說，它利用直線的方式聯(lián)立相鄰2個節(jié)點的信息來工作，而忽略了網(wǎng)格內(nèi)部的信息，會引較大的數(shù)值耗散。為了真實地再現(xiàn)網(wǎng)格內(nèi)部的信息，需要借助緊致插值方法對氣動制動管路進行分析。

1.3 緊致插值方法下波動方程的分析

靜止氣體內(nèi)的聲速表達式為：

(9)

其中各式參數(shù)為，T為絕熱溫度；R為氣體常數(shù)；k為絕熱指數(shù)；g為重力加速度。

由連續(xù)方程和運動方程的偏微分變換整理可得脈動壓力的一般偏微分方程為：

(10)

式中，p—— 壓力

t—— 時間

x—— 為空間距離

通過帶入相關(guān)參數(shù)，利用有限差分格將式(10)進行MATLAB數(shù)值仿真，再通過精度更高、穩(wěn)定性更強的緊致插值方法與所提供基頻進行數(shù)值仿真，最終通過相對誤差的計算分析來判斷氣柱頻率的振動誤差。

2 數(shù)值仿真分析

2.1 有限差分波動的分析

重型卡車的一般制動壓力為6.5～8.5 MPa，設(shè)進氣壓力為8.5 MPa，通過MATLAB軟件對管路模型進行差分計算。管路距離一般為20～50 m，時間為2.5 s，時間和空間步長為100和1000。分別在20 m和50 m管路的進氣口輸入一個頻率為1.7 Hz和4.25 Hz的余弦信號8.4 cos(3.4×π×t)和8.4 cos(8.5×π×t)作為模擬邊界條件，管路下游邊界條件壓力均為0。利用波動方程式(10)仿真計算可得有限差分波動和頻率，如圖2～圖5所示。

圖2 20 m有限差分波動圖

如圖2～圖5所示，通過有限差分進行仿真計算后，得到的頻率圖像，將該數(shù)據(jù)進行緊致插值分析有限差分方程在快速傅里葉變換后所表示的頻率與振幅情況，將振幅值進行絕對值處理|x|，把所有頻率所對應(yīng)的振幅均描述為正方向，其便于觀察曲線變化情況。利用緊致插值的方法把相關(guān)有限差分格式通過MATLAB仿真程序進行理論求解，將緊致插值原理介入波動理論解當(dāng)中。