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    剖分-點聯(lián)圖和剖分-邊聯(lián)圖的Kirchhoff指標(biāo)

    2019-12-11 01:36:36馬婷妍王維忠
    關(guān)鍵詞:拉普拉斯剖分將式

    馬婷妍,王維忠

    (蘭州交通大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 甘肅 蘭州 730030)

    1993年,Klein等[1]提出了圖的電阻距離的概念。將圖G的每條邊用一個固定電阻代替,則對應(yīng)得到電網(wǎng)絡(luò)N,圖G的頂點i和j之間的電阻距離rij等于電網(wǎng)絡(luò)N中節(jié)點i和j之間的有效電阻,其求解過程遵循基爾霍夫法則和歐姆定律。Kirchhoff指標(biāo)Kf(G)定義為圖G的所有頂點對之間的電阻距離之和。1996年,Gutman[2]和Zhu[3]等分別證明了圖的Kirchhoff指標(biāo)與其拉普拉斯特征值之間的如下關(guān)系:

    Kirchhoff指標(biāo)是分子結(jié)構(gòu)描述符,是一個重要的拓?fù)渲笜?biāo),關(guān)于它的研究已有很多成果[4-13],其中文獻[13]研究了R-點聯(lián)和R-邊聯(lián)圖的Kirchhoff指標(biāo)。受此啟發(fā),本文考慮剖分-點聯(lián)和剖分-邊聯(lián)圖的Kirchhoff指標(biāo)。

    本文僅考慮簡單的無向圖。設(shè)圖G=(V,E)的頂點集和邊集分別為V={1,2,…,n}和E={e1,e2,…,em},并設(shè)DG=diag(d1,d2,…,dn)是圖G的度對角矩陣,其中di(1≤i≤n)為頂點i的度。圖G的鄰接矩陣AG=(aij)n×n定義如下:若頂點i和j相鄰,則aij=1;否則aij=0。圖G的Laplacian矩陣LG=DG-AG,其特征值為μ1≥μ2≥…≥μn=0(LG特征值的多重集就稱作圖G的Laplacian譜)。設(shè)BG=(bij)n×m是圖G的點-邊關(guān)聯(lián)矩陣,若頂點i與邊ej關(guān)聯(lián),則bij=1;否則bij=0。

    1 預(yù)備知識

    為了方便,設(shè)Jn×n表示元素均為1的n階矩陣,1表示元素均為1的列向量。

    圖1 G1=G2=P2時的剖分圖、剖分-點聯(lián)圖及剖分-邊聯(lián)圖

    引理2[14]設(shè)G1為n1個頂點m1條邊的d-正則圖,G2為n2階圖,則G1和G2的剖分-邊聯(lián)圖G1G2的Laplacian矩陣的{1}-可逆矩陣為

    其中l(wèi)(G1)為G1的線圖。

    引理3[15]設(shè)G為n階連通圖,則Kf(G)=ntr(L(1)(G))-1TL(1)(G)1。

    2 主要結(jié)果

    證明由引理1可得

    (1)

    tr(A-1DG1)+tr(A-1AG1),

    (2)

    (3)

    同理可得

    (4)

    將式(2)—(4)帶入式(1)可得

    (5)

    由引理1同時可得

    (6)

    由于BG11=π,所以

    (7)

    又因為

    (8)

    (9)

    (10)

    同樣地,(LG2+n1I)-11=n11表明

    (11)

    將式(7)—(11)代入式(6)可得

    (12)

    結(jié)合式(5)和式(12),由引理3可得定理2.1。

    在定理2.1中,若G1為正則圖,則可得推論2.2。

    其次,當(dāng)G1為正則圖時,得到如下關(guān)于剖分-邊聯(lián)圖G1G2的Kirchhoff指標(biāo)計算公式。

    定理2.3 設(shè)G1為n1個點m1條邊的d-正則圖,則G1和G2的剖分-邊聯(lián)圖G1G2的Kirchhoff指標(biāo)為

    其中l(wèi)(G1)為G1的線圖。

    證明由引理2可得

    dtr((Ll(G1)+dn2I)-1)+(2+n2)tr((LG1+dn2I)-1)+

    (13)

    下面計算式(13)中的每一項,注意到矩陣Ll(G1)+dn2I和LG2+dn2I的拉普拉斯特征值分別為μ1(l(G1))+dn2,…,μm1(l(G1))+dn2和μ1(G1)+dn2,…,μn1(G1)+dn2,故可得

    (14)

    同理可得

    將式(14)—(16)代入式(13)可得

    另一方面

    (18)

    現(xiàn)計算上式中的每一項,由1T(Ll(G1)+dn2I)=dn21T可得

    (19)

    同理可得

    (20)

    (21)

    (22)

    類似地,由(LG2+m1I)-11=m11可得

    (23)

    將式(19)—(23)代入式(18)可得

    (24)

    結(jié)合式(17)和式(24),由引理3可得定理2.3。

    3 應(yīng)用實例

    這進一步驗證了定理2.1以及推論2.2中結(jié)論的正確性。

    例2 設(shè)G1=G2=P2,則圖1(d)P2P2的Kirchhoff指標(biāo)Kf(P2P2)=38/3。

    容易知道P2的拉普拉斯特征值為0和2,而其線圖的拉普拉斯特征值為0。于是由定理2.2可得圖P2P2的Kirchhoff指標(biāo)Kf(P2P2)=38/3。

    另一方面,經(jīng)計算可得圖P2P2的Laplacian矩陣的{1}-可逆矩陣

    由引理3可計算圖P2P2的Kirchhoff指標(biāo)

    這進一步驗證了定理2.1以及推論2.2中結(jié)論的正確性。

    4 結(jié) 語

    本文主要借助圖的Laplacian矩陣的廣義逆矩陣,給出了兩個圖的剖分-點聯(lián)圖與剖分-邊聯(lián)圖的Kirchhoff指標(biāo)計算公式,并通過兩個簡單的實例驗證了所得結(jié)果的正確性。

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