十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)學(xué)再研究

徐永帥，陳 純，房 舟，王佳偉，徐慧茹

(陜西理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院， 陜西 漢中 723000)

十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器可用來(lái)連接兩相交軸，作為機(jī)械傳動(dòng)中的重要部件，自問(wèn)世以來(lái)受到廣大專(zhuān)家、學(xué)者的青睞。由于具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、使用壽命長(zhǎng)、傳動(dòng)效率高、維護(hù)方便等優(yōu)點(diǎn)，在汽車(chē)等行業(yè)得到廣泛應(yīng)用[1-4]。十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器在連接兩相交軸時(shí)，由于兩軸間存在夾角，會(huì)使得輸出軸的轉(zhuǎn)動(dòng)存在速度波動(dòng)，傳遞運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力不平穩(wěn)。因此許多專(zhuān)家、學(xué)者先后對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性做了分析，如范景峰等[5]對(duì)單十字軸利用平面法線的運(yùn)動(dòng)軌跡對(duì)聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)規(guī)律做了研究；陳科等[6]利用空間幾何投影的方法建立了雙聯(lián)虎克萬(wàn)向節(jié)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析了聯(lián)軸器傳動(dòng)比及轉(zhuǎn)角差的影響因素；王學(xué)鋒等[7]利用數(shù)值方法對(duì)三叉滑移型聯(lián)軸器機(jī)構(gòu)在單徑向軸承和調(diào)心軸承安裝時(shí)進(jìn)行了理論分析，得到其為一種準(zhǔn)等角速萬(wàn)向聯(lián)軸器的結(jié)論；常德功等[8]利用空間機(jī)構(gòu)坐標(biāo)變換方法對(duì)三叉桿滑塊式萬(wàn)向聯(lián)軸器做了運(yùn)動(dòng)分析；李寧等[9]定量分析了相位角對(duì)傳動(dòng)比的影響，得出傳動(dòng)軸相位角與傳動(dòng)面夾角相等且方向相反時(shí)對(duì)傳動(dòng)比影響最小。同時(shí)也有其他專(zhuān)家、學(xué)者對(duì)不同的萬(wàn)向聯(lián)軸器做了大量的研究[10-14]。

為了了解十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器在不同軸間夾角下輸入、輸出軸間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，本文擬通過(guò)建立聯(lián)軸器的空間模型，運(yùn)用向量法對(duì)其進(jìn)行研究。最后運(yùn)用ADAMS仿真，并進(jìn)行數(shù)值分析，驗(yàn)證所建立的模型及分析結(jié)果的正確性。

1 運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器如圖1所示，輸入軸與輸出軸通過(guò)十字軸連接，在聯(lián)軸器上建立坐標(biāo)系，輸出軸的軸線與Y軸重合，十字軸的水平軸線與X軸重合，根據(jù)右手定則確定Z軸，輸入軸軸線與Y軸正向的夾角定義為β(即輸入、輸出軸間的夾角為β)。

根據(jù)所建立的十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的三維模型，將三維摸型轉(zhuǎn)換為空間幾何模型，如圖2所示?！鰽BC和△EFG分別表示十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的輸出軸和輸入軸的平衡位置，其中OA和OG分別表示輸出、輸入軸的軸線，OG與Y軸正向夾角為β。當(dāng)輸入軸(△EFG)繞著其軸線OG以角速度ω1旋轉(zhuǎn)α1角度時(shí)，相應(yīng)的輸出軸(△ABC)會(huì)繞著其軸線OA以角速度ω2旋轉(zhuǎn)α2角度，此時(shí)輸出、輸入軸分別到達(dá)新的位置(△A′B′C′、△E′F′G′)。

圖1 十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器模型 圖2 聯(lián)軸器空間幾何模型

從十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的三維模型中可知十字軸的水平軸和豎直軸相互垂直，即BC⊥EF，亦即OB⊥OF，同理可知在新的位置同樣有OB′⊥OF′。

由于直線OG與Y軸正向夾角為β，故直線EF與Z軸的夾角也為β，當(dāng)輸入、輸出軸分別繞著其軸線OG、OA分別以角速度ω1、ω2旋轉(zhuǎn)α1、α2角度時(shí)，假設(shè)OB=OF=R，則在新的位置(△E′F′G′、△A′B′C′)易得點(diǎn)B′的坐標(biāo)為(Rcosα2，0，Rsinα2)，故OB′={Rcosα2，0，Rsinα2}。

圖3 輸入軸空間模型

則F′的坐標(biāo)為(-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1)，故

OF′={-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1}。

又由OB′⊥OF′，即

OB′·OF′=0，

(1)

{Rcosα2，0，Rsinα2}·{-Rcosβsinα1cosβ，Rcosβsinα1sinβ，Rcosβcosα1}=0，

(2)

整理式(2)可得：

(3)

整理式(3)得：

α2=arctan(cosβtanα1)，

(4)

式(4)即為十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的位置方程；

將式(4)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得聯(lián)軸器的速度方程：

(5)

將式(4)對(duì)時(shí)間求二階導(dǎo)數(shù)得聯(lián)軸器的加速度方程：

(6)

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

為了驗(yàn)證所建立的十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，利用ADAMS仿真軟件對(duì)聯(lián)軸器進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析。

分析可知聯(lián)軸器前半個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)與后半個(gè)周期完全相同，故這里只做其前半個(gè)周期的仿真分析。給輸入軸輸入ω1=10 (°)/s(t∈[0，18 s])的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，分別對(duì)輸入、輸出軸軸間夾角β=0°、25°、45°時(shí)進(jìn)行仿真分析(β=0°時(shí)的輸出軸轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)可代表不同β值下輸入軸的轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài))，仿真結(jié)果如圖4—圖6所示。

圖4 轉(zhuǎn)動(dòng)角度曲線 圖5 轉(zhuǎn)動(dòng)速度曲線

圖6 轉(zhuǎn)動(dòng)加速度曲線

分析圖4可知，給輸入軸輸入ω1=10 (°)/s的轉(zhuǎn)動(dòng)速度，當(dāng)輸入、輸出軸軸間夾角β=0°時(shí)，輸入、輸出軸的轉(zhuǎn)角是相同的(均為一條傾斜的直線)，轉(zhuǎn)角差為0，當(dāng)β=25°時(shí)輸出軸轉(zhuǎn)角曲線與輸入軸產(chǎn)生偏差，當(dāng)β=45°時(shí)輸出軸轉(zhuǎn)角曲線與輸入軸有明顯偏差。在β=25°、45°時(shí)，輸出軸轉(zhuǎn)角曲線前9 s處于β=0°曲線(輸入軸轉(zhuǎn)角曲線)的下方，后9 s處于上方，且隨著輸入、輸出軸軸間夾角β的增大，輸出軸轉(zhuǎn)角曲線偏離β=0°曲線的程度也在增大。在t=9、18 s時(shí)(90°、180°)三條曲線重合。

分析圖5可知，輸入、輸出軸夾角β=0°時(shí)其轉(zhuǎn)速完全相等(均為10 (°)/s)，β≠0°時(shí)輸出軸的轉(zhuǎn)速隨著夾角β的增大偏離輸入軸的程度越大，且轉(zhuǎn)速均在前9 s逐漸增大，后9 s逐漸減小，并關(guān)于t=9 s處對(duì)稱(chēng)。β=25°時(shí)，在t∈[0，4.6 s]與[13.4 s，18 s]上輸出軸轉(zhuǎn)速小于輸入軸，在[4.6 s，13.4 s]上大于輸入軸轉(zhuǎn)速；β=45°時(shí)，在t∈[0，5 s]與[13 s，18 s]上輸出軸轉(zhuǎn)速小于輸入軸，在[5 s，13 s]上大于輸入軸轉(zhuǎn)速。t=9 s時(shí)速度達(dá)到最大，t=0、18 s時(shí)速度最小且相等，β=25°時(shí)速度最大為11.033 8(°)/s，最小為9.065 1(°)/s，β=45°時(shí)速度最大為14.143 8(°)/s，最小為7.035 7(°)/s。

分析圖5亦可知，β≠0°時(shí)輸出軸在前9 s加速大于零，后9 s加速度小于零，在9 s時(shí)加速度等于零，速度達(dá)到最大，且加速度曲線關(guān)于t=9 s處成中心對(duì)稱(chēng)，這與速度曲線圖像分析結(jié)果是一致的。β=0°時(shí)輸出軸加速度恒為0。β=25°時(shí)，在t=5 s處加速度達(dá)到最大為0.347 2(°)/s2，在t=13 s處加速度最小為-0.347 2(°)/s2；β=45°時(shí)，在t=6.2 s處加速度達(dá)到最大為1.374 0(°)/s2，在t=11.8 s處加速度最小為-1.374 0(°)/s2。

為了驗(yàn)證所建立的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性，分別取t=3、6、9、12、15 s時(shí)不同β值下的理論計(jì)算值與仿真值進(jìn)行比較，結(jié)果如表1所示。

表1 不同β值下的理論計(jì)算值與仿真值

分析表1中的數(shù)據(jù)可知，在β=25°時(shí)，理論計(jì)算值與仿真值的角度最大偏差為0.001°，速度最大偏差為0.000 4 (°)/s，加速度最大偏差為0.000 2(°)/s2；β=45°時(shí)，理論計(jì)算值與仿真值的角度最大偏差為0.003 6°，速度最大偏差為0.000 5 (°)/s，加速度最大偏差為0.000 2(°)/s2，偏差均很小。輸出軸轉(zhuǎn)速關(guān)于t=9 s(90°)成對(duì)稱(chēng)關(guān)系，加速度關(guān)于t=9 s(90°)成中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系。隨著β的增加，各數(shù)據(jù)偏離t=9 s時(shí)數(shù)據(jù)的程度也越大，這與仿真曲線的分析結(jié)果一致，再次證明了運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的正確性。

3 結(jié) 論

根據(jù)所建立的十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程以及對(duì)該聯(lián)軸器的運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真分析，可得出以下結(jié)論：

(1)十字軸式萬(wàn)向聯(lián)軸器的一個(gè)完整的運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)包含著兩個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全相同的半周期；

(2)在其半個(gè)周期內(nèi)，輸出軸的角速度關(guān)于其轉(zhuǎn)角90°處成軸對(duì)稱(chēng)關(guān)系，角加速度成中心對(duì)稱(chēng)關(guān)系；

(3)隨著輸入、輸出軸間夾角β的增大，輸出軸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)曲線偏離輸入軸的程度越大，但在輸入軸運(yùn)動(dòng)狀態(tài)曲線的兩側(cè)周期性的波動(dòng)。