淺談復(fù)合函數(shù)中定義域的求法問題

趙青波

摘要：復(fù)合函數(shù)的定義域是高等數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí)之一，同樣對(duì)學(xué)生也有著挑戰(zhàn)性，由于該部分理論知識(shí)的應(yīng)用性強(qiáng)、復(fù)雜性較高，對(duì)部分學(xué)生來說有著較高的挑戰(zhàn)性。但是，有關(guān)復(fù)合函數(shù)定義域出題，雖然具有靈活性，但是本質(zhì)上仍舊是萬變不離其宗，筆者結(jié)合日常教學(xué)中經(jīng)常遇到的幾種類型，對(duì)其進(jìn)行分析，并在此基礎(chǔ)上對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域解題的關(guān)鍵進(jìn)行闡述與分析，從而對(duì)學(xué)生掌握該類題型提供幫助。

關(guān)鍵詞：復(fù)合函數(shù);定義域;求法;解題關(guān)鍵

復(fù)合函數(shù)是指由兩個(gè)及兩個(gè)以上函數(shù)組成的函數(shù)，從其定義來看就能發(fā)現(xiàn)其中的復(fù)雜性，但是復(fù)合函數(shù)定義域的求解不僅在單一類型題目上有著重要性，也往往作為一個(gè)基礎(chǔ)條件應(yīng)用到其他類型題目上，因此學(xué)生掌握復(fù)合函數(shù)定義域的相關(guān)知識(shí)有著極重要性和必要性。與此同時(shí)，學(xué)生對(duì)于復(fù)合函數(shù)的學(xué)習(xí)與掌握，能夠充分調(diào)動(dòng)與培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維和邏輯思維，從而對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)起到有效的幫助。從當(dāng)前學(xué)生復(fù)合函數(shù)掌握的具體情況來看，多數(shù)學(xué)生對(duì)該類知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)度和掌握度仍有不足，甚至不能充分掌握該類題型的做題規(guī)律，影響到自身整體的數(shù)學(xué)成績。筆者圍繞日常教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)復(fù)合函數(shù)定義域的求法進(jìn)行歸納與總結(jié)，并結(jié)合相關(guān)例題進(jìn)行分析，為學(xué)生對(duì)該方面知識(shí)的掌握提供參考。

一、學(xué)生對(duì)復(fù)合函數(shù)學(xué)習(xí)的現(xiàn)狀

復(fù)合函數(shù)這一知識(shí)點(diǎn)在大一高數(shù)的課本上，該知識(shí)點(diǎn)有著抽象性強(qiáng)、邏輯強(qiáng)等特點(diǎn)，對(duì)于部分學(xué)生的學(xué)習(xí)來說有著極端的挑戰(zhàn)性。由于學(xué)生剛剛接觸到抽象函數(shù)本身就存在著不適應(yīng)性，再加上復(fù)合函數(shù)本身的晦澀難懂，導(dǎo)致一部分學(xué)生在學(xué)不會(huì)的情況下自行放棄這一章節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。但是，復(fù)合函數(shù)及其有關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，在整個(gè)數(shù)學(xué)中有著極端的重要性，他不僅作為一個(gè)單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)存在，同時(shí)還會(huì)充當(dāng)其他函數(shù)題的條件，成為解題的基礎(chǔ)與關(guān)鍵。

也由于復(fù)合函數(shù)本身的晦澀性，也導(dǎo)致部分學(xué)生對(duì)其產(chǎn)生了恐懼心理，筆者調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，有80%以上的學(xué)生能夠掌握住簡單的復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算，40%左右的學(xué)生能夠掌握住中等程度的復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算，僅有15%左右的學(xué)生能夠掌握住非常復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算。但是，就整個(gè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歷程來看，這種情況也會(huì)在反復(fù)的模擬考試中得到改善，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)結(jié)束以后，對(duì)于復(fù)合函數(shù)定義域的題型多數(shù)學(xué)生已經(jīng)能夠充分的掌握和應(yīng)用，并且會(huì)隨著后續(xù)復(fù)習(xí)的強(qiáng)化，對(duì)該知識(shí)點(diǎn)不斷鞏固。

二、復(fù)合函數(shù)中定義域的幾種求法

（一）已知f（x）定義域求f[g（x）]定義域

對(duì)于這一類型的復(fù)合函數(shù)定義域題相對(duì)屬于基礎(chǔ)與簡單的題，只需要進(jìn)行值域之間的轉(zhuǎn)化，便可以推導(dǎo)出復(fù)合函數(shù)的定義域。在這類題的解題思路上，要明確一個(gè)觀念，即g（x）的定義域與f（x）中x的定義域一樣，再次基礎(chǔ)上進(jìn)行推算即可。出題類型上一般是：已知f（x）定義域?yàn)閇n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，這幾種類型，讓求f[g（x）]定義域，我們只需將g（x）=t，則t與x的定義域一樣，如此便可以推出f[g（x）]的定義域。如，例題1和例題2。

例題1：已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)閇2，5），求函數(shù)f（x+1）的定義域。

解：由題意可知，2≤x<5，則2≤x+1<5，1≤x<4，由此推出f（x+1）定義域?yàn)閇2，4）。

例題2：已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋?，6]，求函數(shù)f（x2+1）的定義域。

解：由題意可知，2

（二）已知f[g（x））]定義域求f（x）定義域

該類型的復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算題，也是屬于相對(duì)較為簡單的題型，在該類題中關(guān)鍵也在于定義域值域之間的轉(zhuǎn)換。一般來說，該類題的出題思路為，已知f[g（x）]定義域?yàn)閇n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f（x）定義域。在解題的思路上，我們要先把g（x）=t，得出的定義域就是f（x）定義域。如例題3。

例題3：已知函數(shù)f（4x-6）的定義域?yàn)閇5，8]，求函數(shù)f（x）定義域。

解：由題意可知，5≤4x-6≤8，則11≤4x≤14，則11/4≤x≤7/2，則f（x）定義域?yàn)閇11/4，7/2]。

（三）已知f[g（x）]定義域求f[h（x）]定義域

這類型的復(fù)合函數(shù)定義域題相對(duì)來說比較復(fù)雜，可以明顯看出該類型題綜合了上述一二兩種類型，因此在計(jì)算上我們可以先由f[g（x）]求出f（x）定義域，然后在去計(jì)算f[h（x）]的定義域，即以f（x）為橋梁，進(jìn)行轉(zhuǎn)化與計(jì)算。在出題上，一般會(huì)是按照如下的思路：

已知函數(shù)f[g（x）]的定義域?yàn)閇n，m]或（n，m）、[n，m）、（n，m]，求f[h（x）]的定義域。如例題4。

例題4：已知函數(shù)f（2x+2）定義域?yàn)椋?，8），求f（2x-2）的定義域。

解：由題意知，4<2x+2<8，則1

（四）已知f（x）定義域求四則運(yùn)算型函數(shù)定義域

該類型的題是復(fù)合函數(shù)定義域中最復(fù)雜的題，也是最令學(xué)生與教師頭疼的題，需求求出各個(gè)函數(shù)的定義域，然后再求交集，一般來說，多數(shù)學(xué)生能夠求出各個(gè)函數(shù)的定義域，但是在交并集的計(jì)算上，往往容易出問題，而且，該類型的題往往不是真實(shí)數(shù)字，而是一些字母，這樣無疑增加了題目本身的抽象性。如例題5。

例題5：已知函數(shù)f（x）定義域?yàn)椋╪，m），且n+m>0，求g（x）=f（x+a）+f（x-a） （a>0）的定義域。

解：由題意可知，n

另由題意知，a>0，∴n-a

若使g（x）定義域?yàn)榉强占希瑒t必須使n+a

三、復(fù)合函數(shù)定義域解題的關(guān)鍵

（一）把握出題的類型

對(duì)于復(fù)合函數(shù)定義域的題在解答的時(shí)候，學(xué)生一定要充分把握住出題的類型，能夠根據(jù)題干明白在考察什么，在此基礎(chǔ)上思考解題的方法，并加以計(jì)算。如在考察四則運(yùn)算型函數(shù)定義域的時(shí)候，不能按照其他的解題思路進(jìn)行，這樣才能夠保證最終的定義域。同時(shí)，在算題的過程中，一定要充分考慮到各個(gè)方面的條件，一定要把非空集合考慮到位，這也是數(shù)學(xué)解題思路的一個(gè)關(guān)鍵。

（二）分清內(nèi)函數(shù)值域與外函數(shù)定義域

在復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算的過程中，也要充分把握住內(nèi)函數(shù)值域與外函數(shù)定義域，要謹(jǐn)記兩句話，即內(nèi)函數(shù)值域一定要包含于外函數(shù)定義域中，以及外函數(shù)定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。同時(shí)，學(xué)生也一定要能夠辨別出什么是內(nèi)函數(shù)，什么是外函數(shù)，如函數(shù)f（2x-3）中，令函數(shù)y=f（t），則，外函數(shù)為y=f（t），內(nèi)函數(shù)為2x-3。充分辨別和把握住內(nèi)外函數(shù)，才能夠保證做題過程中的正確率。

（三）掌握做題技巧

對(duì)于復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算類型的題，也有著自身的規(guī)律和答題技巧，掌握住技巧與規(guī)律學(xué)生不僅能夠在做題的效率上得到提高，也能夠在做題的正確率上得到提高。對(duì)于復(fù)合函數(shù)定義域計(jì)算的規(guī)律與類型，可以參考本論文中第二部分，根據(jù)各種題型進(jìn)行歸納總結(jié)，并且將每個(gè)題型的解題思路進(jìn)行充分的掌握。

四、結(jié)束語

復(fù)合函數(shù)定義域的計(jì)算，對(duì)于學(xué)生來說既具有掌握的必要性，也具有掌握的重要性，這是高等數(shù)學(xué)中的做題基礎(chǔ)。函數(shù)類型的題一般都具有晦澀難懂和抽象的特點(diǎn)，學(xué)生只有在充分把握住這些做題規(guī)律的基礎(chǔ)上，將總體的類型進(jìn)行細(xì)分，在細(xì)分的基礎(chǔ)上按照難易程度有順序的進(jìn)行理解，并在日常的訓(xùn)練中加以訓(xùn)練和注意，便能夠有效的掌握住總體的類型。

參考文獻(xiàn)：

[1]李婧巖，李曉虹，程叢電.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)改革方案[J].牡丹江師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019（01）：64-66.

[2]張悅.中學(xué)數(shù)學(xué)中復(fù)合函數(shù)相關(guān)問題分析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究（華南師范大學(xué)版），2019（02）：45-50.

[3]郭歡.關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)探索[J].中州大學(xué)學(xué)報(bào)，2018，35（04）：125-128.

[4]張曉鳳.淺析多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（04）：11.