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    用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系的討論

    2019-12-06 06:22:21林冬梅
    商情 2019年48期
    關(guān)鍵詞:特征向量特征值

    【摘要】本文推導(dǎo)出一種方法,通過(guò)此方法可以利用特征值與特征向量求線性遞推關(guān)系中的通項(xiàng)公式。

    【關(guān)鍵詞】遞推關(guān)系 特征值 特征向量。

    正文:? ?用特征值和特征向量對(duì)一般線性遞推關(guān)系進(jìn)行討論。

    設(shè)k階線性循環(huán)數(shù)列{xn}滿足遞推關(guān)系:

    [xn=a1xn-1+a2xn-2+…+akxn-k,n=k+1,k+2,…]

    其中[ai(i=1,2,…k)]是常數(shù),且[ak]≠0。

    方程組

    可表示為矩陣形式:

    則(1)可寫(xiě)成:

    由(2)式遞推得[an-k+1=A2an-k-1=…=An-ka1]

    其中[a1=[xk,xk-1,…x2,x1]T]

    于是求通項(xiàng)xn就歸結(jié)為求xn-k+1,也就是求[An-k]。

    如果A可對(duì)角化,即存在可逆矩陣P,使得P-1AP=B,則An-k=PBn-kP-1,由于

    從第一列開(kāi)始每一列乘以λ加到后一列上,可得到:

    若λ是A的一重特征值,顯然有R(λE-A)=k-1,則線性齊次方程(λE-A)X=0的基礎(chǔ)解系中只含有一個(gè)解向量。因此當(dāng)A有k個(gè)特征值時(shí)λ1,λ2,…,λk這k個(gè)特征值對(duì)應(yīng)的特征向量分別是p1,p2,…pk,以這k個(gè)特征向量為列構(gòu)成的方陣記為P,則P是可逆的,并且P-1AP=B。

    例1? 設(shè)數(shù)列{xn}滿足遞推關(guān)系:

    求通項(xiàng)xn。

    解? {xn}是三階循環(huán)數(shù)列,將方程組

    用矩陣表示為:

    并有上式遞推得

    其中x1=1,x2=x3=5

    由[λE-A]=0,即

    得A的特征值為:[λ1=1,λ2=-2,λ3=2]

    再有特征方程([λiE-A)X=0(i=1,2,3)]解得對(duì)應(yīng)于A的特征[λ1,][λ2],[λ3]值的特征向量分別為:

    代入(3)式得? 。

    參考文獻(xiàn):

    [1]曹錫皞等編《高等代數(shù)》北京師范大學(xué)出版社.

    [2]奚傳志.矩陣特征值與特征向量在遞推關(guān)系上的應(yīng)用.棗莊師專(zhuān)學(xué)報(bào).

    作者簡(jiǎn)介:林冬梅,女, ,畢業(yè)于山東師范大學(xué),數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè).淄博職業(yè)學(xué)院,副教授,從事數(shù)學(xué)研究、數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

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