基于反步法的差動轉(zhuǎn)向無人車輛軌跡跟蹤*

余卓平，侯譽燁，熊 璐，陳素琴

（同濟大學汽車學院，上海 201804）

前言

差動轉(zhuǎn)向無人車輛（SSUV）主要應(yīng)用在一些特殊場景來提高六輪車輛在崎嶇道路上的轉(zhuǎn)向行駛能力。而高速極限轉(zhuǎn)向或濕滑工況要求作戰(zhàn)車輛配備一個側(cè)向穩(wěn)定性控制系統(tǒng)，這使SSUV在軍事領(lǐng)域受到廣泛關(guān)注。

SSUV高速路徑跟蹤控制系統(tǒng)為欠驅(qū)動機械系統(tǒng)，并呈現(xiàn)高階強非線性非仿射輸入的特點。車輛質(zhì)心側(cè)偏角作為系統(tǒng)的內(nèi)動態(tài)，不能被任意配置。如何實現(xiàn)高速下SSUV路徑跟蹤時內(nèi)動態(tài)的穩(wěn)定是目前存在的難點。

在SSUV路徑跟蹤控制器的研究中，動力學模型是路徑跟蹤控制器設(shè)計和分析的基礎(chǔ)。常用模型采用車輛笛卡爾坐標和航向角來表述車輛的位置和方向。相關(guān)研究廣泛采用非完整約束建模［1］，其中以零質(zhì)心側(cè)偏角假設(shè)最為常見。另外一種常在SSUV上施加的非完整約束是假設(shè)車輛運動的瞬心在車輛坐標系縱軸上投影為定值，如圖1所示。通過忽略低速運動的SSUV的側(cè)滑運動，來降低問題的復(fù)雜性。但非完整約束并不適用于高速大側(cè)向加速度工況下的軌跡跟蹤系統(tǒng)。另一方面，一些研究人員則不采用任何非完整約束，直接建立車輛的動力學方程。本文中面向SSUV高速運動控制系統(tǒng)設(shè)計，因此采用第2種建模方式。

圖1 瞬心縱向分量固定約束

現(xiàn)有的對于系統(tǒng)內(nèi)動態(tài)鎮(zhèn)定的非線性控制方法主要有以下幾種研究方法。對于簡單的系統(tǒng)，可采用在平衡點處局部線性化后用線性的方法設(shè)計控制。顯然，局部線性化具有一定的局限性。另外，當系統(tǒng)具有特殊的結(jié)構(gòu)形式時，可運用相對應(yīng)的特定方法進行鎮(zhèn)定。比如，對于下三角結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)采用反步法進行鎮(zhèn)定。但一般來說，為維數(shù)較高的非線性系統(tǒng)設(shè)計具有全局穩(wěn)定性質(zhì)的控制器十分困難。比較常見的解決方案是將高維的系統(tǒng)分解為若干個維數(shù)較低而互聯(lián)的子系統(tǒng)。

近來，SSUV控制邏輯受到越來越多的關(guān)注，Jackson等［2］采用了直接橫擺力矩控制來提高六輪車輛在轉(zhuǎn)向時的穩(wěn)定性。Kang等［3］通過分層控制思想直接控制輪胎力來實現(xiàn)軌跡跟蹤控制。Yi等［4］設(shè)計了一個滑模跟蹤控制器并提出了相應(yīng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析?；？刂瓶蓪崿F(xiàn)對不同參考軌跡漸進地穩(wěn)定跟蹤誤差［5-6］。Aslam等［7］針對高速轉(zhuǎn)向的差動車輛設(shè)計了一種魯棒的反饋控制器。而文獻［8］中提出最優(yōu)控制方法和非線性模型預(yù)測控制方法。Elshazly等［9］提出了一種LQR控制器并對降階的增廣動力學模型采用前饋補償。對比這些方法，反步法比較容易實現(xiàn)輸入狀態(tài)穩(wěn)定。反步法具有構(gòu)造性的特點，不依賴系統(tǒng)參數(shù)的完全精確，也更容易實現(xiàn)魯棒與自適應(yīng)控制。文獻［10］中通過有界反步法實現(xiàn)了存在執(zhí)行器飽和情況下的非最小相VTOL飛行器對參考狀態(tài)軌跡的輸出反饋跟蹤。文獻［11］中則通過一步向前反步法實現(xiàn)了Uni-cycle的全部飽和軌跡跟蹤控制。不難發(fā)現(xiàn)，反步法適用于差動轉(zhuǎn)向車輛的控制，本文中將設(shè)計基于反步法的軌跡跟蹤控制器。

1 車輛模型

選擇目標軌跡上目標點的切線方向和其垂直方向構(gòu)成衡量跟蹤誤差的坐標系，如圖2所示。選擇車輛狀態(tài)變量為跟蹤誤差ex和ey，可得如下狀態(tài)方程：

式中：φ1為實際車速v與目標車速vr的夾角；φ2為縱軸xr與大地坐標系X軸的夾角；γr為目標橫擺角速度。忽略滾動阻力、空氣阻力和坡度阻力后，車輛動力學狀態(tài)方程為

式中：β為質(zhì)心側(cè)偏角；ax和ay分別為縱向和側(cè)向加速度；γ為橫擺角速度；Iz為轉(zhuǎn)動慣量；Mz為作用到車輛上的橫擺力矩。

圖2 車輛軌跡跟蹤動力學

2 動力學控制器

對于差動轉(zhuǎn)向無人車輛的控制系統(tǒng)，本文中采用分層控制方法來設(shè)計控制器。由于系統(tǒng)欠驅(qū)動和內(nèi)動態(tài)不穩(wěn)定的特點［12-13］，直接處理輸出跟蹤問題會導致系統(tǒng)不穩(wěn)定［14］，故將系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為平衡點鎮(zhèn)定問題。假設(shè)參考航向角的1階導數(shù)和目標車速不隨時間而變，即車輛動力學系統(tǒng)存在平衡點，而控制器的目標就是鎮(zhèn)定該平衡點，然后通過考慮平衡點的變化作為系統(tǒng)的擾動從而保證控制器的魯棒性，系統(tǒng)如圖3所示。

圖3 差動轉(zhuǎn)向無人車輛控制系統(tǒng)

2.1 車輛速度控制

定義跟蹤誤差 v～x＝vx-vxc，其微分方程為

設(shè)計反饋線性化控制律以跟蹤目標車速：

但式（4）可能產(chǎn)生過大的需求縱向力，同時也可能導致側(cè)向力的嚴重喪失，加劇車輛失穩(wěn)和側(cè)滑。因此，當車輛速度誤差超過一定限度時，施加如下飽和控制：

式中：k1＞0，θ2＞θ1＞0；sw1（v）為在 vthre1與 vthre2之間從0～1的一個連續(xù)過渡函數(shù)。假設(shè)參考車速一定，則車速將被保持在上邊界vthre2以下。

分析車速vx＞0的情況，考慮v≥vthre2的情形。如圖4所示，當且，則

另一方面，當 ｜vx｜≤k1-1θ1＋vxc，利用 v≥vthre2＞

圖4 速度控制域

由式（5）可知，因為 v≥vthre2所以 axvx＜0。且當車輛速度較高時，vy≠0，ayvy＜0。故v≥vthre2，v·＜0，因此車速將得到限制。

2.2 車輛橫擺運動控制

定義跟蹤誤差 β～＝β-βs，γ～＝γ-γs，則其微分方程為

其中：

式中：βs和γs為側(cè)偏角和橫擺角速度在平衡點處的值；u為控制器的輸入當運動控制層給出的航向角的2階導數(shù)滿足對應(yīng)車輛的一個平衡點，則其 1階導數(shù)滿足條件0），則質(zhì)心側(cè)偏角跟蹤偏差的微分方程可做以下變換：

如式（9）所示，狀態(tài)方程具有上三角結(jié)構(gòu)特點，因此可參考反步法對其控制律進行設(shè)計。

對偽控制輸入進行求導，可得

選擇實際控制輸入為

則系統(tǒng)的微分方程可改寫為

選擇如下的李雅普諾夫函數(shù)：

對其求導可得

研究表明，車輛在非極限條件下，輪胎的縱向力和橫擺力矩對側(cè)向力的影響不大，故可得

式中kbeta為車輛的等效側(cè)偏剛度。則

因此，通過約束上層運動控制輸出的目標參考質(zhì)心側(cè)偏角的變化速率，選取合適的控制參數(shù)，λ＞0，k3＞0，k4＞0，能保證系統(tǒng)誤差的一致有界性。控制律保證了系統(tǒng)是穩(wěn)定的，且狀態(tài)邊界為為了保證魯棒性和減少偏差［15］，本控制律進一步加入了抗飽和積分控制，具體控制律為

不難證明，設(shè)計的飽和控制參數(shù)滿足：

2.3 車輛航向角控制

針對航向角控制系統(tǒng)：

其中 k5＞該控制律保證了有 界，且 滿 足 邊 界 約 束另外，如果考慮李雅普諾夫函數(shù)其中 a＞0，b＞0，對其求導得

由上式可知，若參數(shù)滿足條件：k5＞0，θ5＞0，c1＞，則加入控制器后的航向角系統(tǒng)為輸入狀態(tài)穩(wěn)定，保證誤差的一致有界性。滿足：

只要設(shè)計參數(shù)k5足夠大，偽控制輸入的跟蹤誤差對其影響就很弱，該系統(tǒng)對參考航向角的跟蹤就越準確。同時新狀態(tài)變量s可確保航向角誤差是有界的，最終狀態(tài)變量就收斂到如圖5所示的平行四邊形中。

圖5 航向角控制結(jié)果

3 互聯(lián)穩(wěn)定性分析

圖6 互聯(lián)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于航向角子系統(tǒng)，可得

綜上所述，本文中將SSUV的軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為對目標軌跡的平衡點鎮(zhèn)定問題，通過變換系統(tǒng)誤差方程，采用反步法的設(shè)計思想，對車輛的橫擺運動控制和航向角跟蹤控制引入虛擬控制輸入，然后通過滑模控制手段和李雅普諾夫穩(wěn)定性分析，保證了系統(tǒng)狀態(tài)會收斂到運動學控制器給出的平衡點，把時變信號作為平衡點的擾動并證明控制系統(tǒng)的輸入狀態(tài)穩(wěn)定。

4 仿真結(jié)果

為驗證控制效果，在仿真環(huán)境中分別設(shè)置蛇行路徑工況和變曲率圓周路徑工況，目標航向角分別為，車輛目標速度為20 m／s，初始條件：車速為 6 m／s，跟蹤誤差為 0，車輛側(cè)向速度和橫擺角速度均為0。圖7和圖8分別為變曲率圓周路徑跟蹤和蛇行路徑跟蹤的仿真結(jié)果。由圖可見，車輛能很好地跟蹤給定路徑，對于曲率變化的情況也能迅速響應(yīng)并跟蹤，滿足路徑跟蹤需求。

圖7 變曲率路徑跟蹤仿真結(jié)果

圖8 蛇行路徑跟蹤仿真結(jié)果

當車輛初始跟蹤誤差較大時，為驗證控制系統(tǒng)具有一定的魯棒性，必須驗證車輛跟蹤目標路徑的穩(wěn)定性。設(shè)置車輛具有較大初始位置誤差的變曲率圓周工況，目標車速12m／s，車輛的初始位置誤差為（-5 m，5 m）。

由圖9可見，運動控制系統(tǒng)能在較短時間內(nèi)保證車輛的狀態(tài)收斂至目標軌跡。

通過上述仿真工況驗證，能夠獲得如下結(jié)論：

（1）本文中設(shè)計的軌跡跟蹤控制器具備良好的跟蹤性能，即使動力學控制器對于航向角的跟蹤存在一定的誤差，但只要誤差能保持在一定的范圍內(nèi)，就不會影響到系統(tǒng)對路徑的跟蹤穩(wěn)定性，且跟蹤誤差能收斂到設(shè)計的邊界內(nèi)；

圖9 較大初始誤差航向角跟蹤仿真結(jié)果

（2）該跟蹤控制器具有較大的吸引域，即使在車輛初始狀態(tài)處于較大偏差時，仍可快速穩(wěn)定車輛并消除跟蹤誤差，使車輛跟蹤目標軌跡；

（3）控制器對于直線、圓周和蛇行路徑都具有良好的跟蹤性能，且在低、高速或大側(cè)偏角工況下，都能使車輛穩(wěn)定跟蹤目標軌跡，但隨著車速增加，車輛的振蕩過程和收斂時間會增加。

5 結(jié)論

針對差動轉(zhuǎn)向無人車輛動力學軌跡跟蹤問題，分析了差動轉(zhuǎn)向車輛欠驅(qū)動系統(tǒng)的特點。在此基礎(chǔ)上，將動力學軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)變?yōu)檐囕v瞬時平衡點鎮(zhèn)定問題。相應(yīng)地，根據(jù)反步法設(shè)計方法，設(shè)計了利用積分抗飽和控制律的車輛速度控制、航向角跟蹤控制和橫擺運動控制算法。動力學控制系統(tǒng)的互聯(lián)穩(wěn)定性保證了在滿足航向角1階導數(shù)為零或常數(shù)的條件下，車輛能快速、穩(wěn)定地跟蹤上期望軌跡。仿真結(jié)果表明，即使在高速大側(cè)向加速度工況和初始誤差較大的情況下，車輛仍然能跟蹤目標軌跡，驗證了算法的有效性。今后的進一步工作將是對控制系統(tǒng)進行實車試驗，以驗證控制算法的有效性。