點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系常見典型考題賞析

■張文偉

題型1：平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用

證明點(diǎn)共線問題,就是證明三個(gè)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上,證明三線共點(diǎn)問題,一般先證明待證的三條直線中的兩條相交于一點(diǎn),再證明第三條直線也過該點(diǎn)。證明點(diǎn)線共面問題主要有兩種方法:①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);②將所有條件分為兩部分,然后分別確定平面,再證兩平面重合。

例1如圖1 所示, 在 正 方 體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分 別 是AB和AA1的中點(diǎn)。

圖1

求證:(1)E,C,D1,F四點(diǎn)共面。

(2)CE,D1F,DA三線共點(diǎn)。

證明：(1)連接EF,CD1,A1B。因?yàn)镋,F分別是AB,AA1的中點(diǎn),所以EF∥BA1。

又A1B∥D1C,所以EF∥CD1,所以E,C,D1,F四點(diǎn)共面。

(2)因?yàn)镋F∥CD1,EF＜CD1,所以CE與D1F必相交。設(shè)交點(diǎn)為P,則由P∈CE,CE?平面ABCD,得P∈平面ABCD。同理可得,P∈平面ADD1A1。又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,所以P∈直線DA,所以CE,D1F,DA三線共點(diǎn)。

跟蹤訓(xùn)練1：如圖2所示,在空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2。

圖2

(1)求證:E,F,G,H四點(diǎn)共面。

(2)設(shè)EG與FH交于點(diǎn)P,求證:P,A,C三點(diǎn)共線。

提示：(1)因?yàn)镋,F分別為AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD。在△BCD中,由,可得GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面。

(2)因?yàn)镋G∩FH=P,P∈EG,EG?平面ABC,所以P∈平面ABC。同理可得,P∈平面ADC,所以P為平面ABC與平面ADC的公共點(diǎn)。 又平面ABC∩平面ADC=AC,所以P∈AC,故P,A,C三點(diǎn)共線。

題型2：異面直線所成的角

求異面直線所成的角常用平移法,平移法有三種類型,即利用圖中已有的平行線平移、利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移、利用補(bǔ)形平移。求異面直線所成角的步驟:一作,即根據(jù)定義作出異面直線所成的角;二證,即證明作出的角就是異面直線所成的角;三求,即解三角形,求出作出的角。如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角。判斷空間兩條異面直線的方法:利用判定定理,即平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過點(diǎn)B的直線是異面直線;利用反證法,即證明兩條直線不可能平行、相交或證明兩條直線不可能共面,從而可得兩條直線異面。

圖3

例2如圖3,已知三棱錐A-BCD中,AB=CD,且直線AB與CD所 成的角為60°,點(diǎn)M,N分別是BC,AD的中點(diǎn),則異面直線AB與MN所成角的大小為____。

解：取AC的中點(diǎn)為P,連接PM,PN,則PM∥AB且PM=AB,PN∥CD且PN=CD,所以∠MPN或其補(bǔ)角為AB與CD所 成 的 角,可 得∠MPN=60°或∠MPN=120°。

因?yàn)镻M∥AB,所以∠PMN或其補(bǔ)角就是AB與MN所成的角。

因?yàn)锳B=CD,所以PM=PN。 若∠MPN=60°,則△PMN是等邊三角形,所以∠PMN=60°,所以AB與MN所成的角為60°。若∠MPN=120°,則∠PMN=30°,所以AB與MN所成的角為30°。

綜上可知,異面直線AB與MN所成的角為30°或60°。

跟蹤訓(xùn)練2：在空間四面體ABCD中,E,F分別為AD,BC的中點(diǎn),AB=CD,且AB⊥CD,則異面直線EF與AB所成角的大小為( )。

A.6πB.4π

C.3πD.2π

提示：取BD的中點(diǎn)為O,連接OE,OF(圖略)。因?yàn)镋,F分別為AD,BC的中點(diǎn),AB=CD,所以EO∥AB,OF∥CD,且EO=OF=CD。又因?yàn)锳B⊥CD,所以EO⊥OF,可知∠OEF為異面直線EF與AB所成的角。由△EOF為等腰直角三角形,可得∠OEF=。應(yīng)選B。

題型3：線面平行關(guān)系的基本問題

證明直線與平面平行,一般有以下幾種方法:①用定義直接判斷,一般用反證法;②用判定定理證明,關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行,證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程;③應(yīng)用兩平面平行的性質(zhì),即兩平面平行時(shí),其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平面。證明平面與平面平行,一般有以下幾種方法:①利用定義,即證明兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)(不常用)。②利用面面平行的判定定理(主要方法)。③利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)。④利用平面平行的傳遞性,即兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,則這兩個(gè)平面平行(客觀題可用)。

例3如圖4 所示,在 正 方 體ABCDA1B1C1D1中,O為 底 面ABCD的 中 心,P是DD1的中點(diǎn),設(shè)Q是CC1上的點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)Q____時(shí),平面D1BQ∥平面PAO。(只填序號(hào))

圖4

①與C重合,②與C1重合,③為CC1的三等分點(diǎn),④為CC1的中點(diǎn)。

解：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因?yàn)镺為底 面ABCD的 中 心,P是DD1的 中點(diǎn),所以PO∥BD1。當(dāng)點(diǎn)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí),PQ■AB,則四邊形ABQP是平行四邊形,所以AP∥BQ。

因?yàn)锳P∩PO=P,BQ∩BD1=B,AP、PO?平 面PAO,BQ、BD1?平 面D1BQ,所以平面D1BQ∥平面PAO。答案為④。

跟蹤訓(xùn)練3：如圖5,四邊形ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn)。

圖5

求證:(1)BE∥平面DMF。

(2)平面BDE∥平面MNG。

提示：(1)連接AE,則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O,連接MO,則MO為△ABE的中位線,所以BE∥MO。 因?yàn)锽E?平面DMF,MO?平 面DMF,所 以BE∥平 面DMF。

(2)因?yàn)镹,G分別邊AD,EF的中點(diǎn),所以DE∥GN。又DE?平面MNG,GN?平面MNG,所以DE∥平面MNG。

因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),N為AD的中點(diǎn),所 以MN為△ABD的 中 位 線,所 以BD∥MN。因?yàn)锽D?平面MNG,MN?平面MNG,所以BD∥平面MNG。

又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BDE∥平面MNG。

題型4：線面垂直關(guān)系的基本問題

證明直線和平面垂直的常用方法:①利用線面垂直的定義;②利用判定定理;③利用平行線垂直平面的傳遞性(a∥b,a⊥α?b⊥α);④利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α,α∥β?a⊥β);⑤利用面面垂直的性質(zhì)。證明面面垂直的常用方法:①利用定義(直二面角)。②利用判定定理,即通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直。

例4已知m,n是空間中兩條不同的直線,α,β為空間中兩個(gè)互相垂直的平面,則下列命題正確的是( )。

A.若m?α,則m⊥β

B.若m?α,n?β,則m⊥n

C.若m?α,m⊥β,則m∥α

D.若α∩β=m,n⊥m,則n⊥α

解：在A 中,若m?α,則直線m和平面β可能垂直,也可能平行或相交,A 不正確。在B中,直線m與直線n的關(guān)系不確定,可能平行,也可能相交或異面,B 不正確。在C中,若m⊥β,則m∥α或m?α,又m?α,故m∥α,C正確。在D 中,缺少條件n?β,D 不正確。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練4：如圖6,在四棱錐P-ABCD中,△PAB與△PBC是 正 三 角 形,平 面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,則下列結(jié)論不一定成立的是( )。

圖6

B.PD⊥平面ABCD

C.AC⊥PD

D.平面PBD⊥平面ABCD

提示：對(duì)于A,取PB的中點(diǎn)O,連接AO,CO,在四棱錐P-ABCD中,由△PAB與△PBC是正三角形,可得AO⊥PB,CO⊥PB。因?yàn)锳O∩CO=O,所以PB⊥平面AOC。因?yàn)锳C?平面AOC,所以PB⊥AC,A 正確。對(duì)于B,設(shè)AC∩BD=M,連接PM,因?yàn)椤鱌AB與△PBC都是正三角形,所以PA=PC,由此可得PM⊥AC,所以PD與AC不垂直,所以PD⊥平面ABCD不成立,B 不正確。對(duì)于C,因?yàn)镻B⊥平面AOC,AC?平面AOC,所以AC⊥PB。因?yàn)锳C⊥BD,PB∩BD=B,所以AC⊥平面PBD。又因?yàn)镻D?平面PBD,所以AC⊥PD,C成立。對(duì)于D,因?yàn)锳C⊥平面PBD,AC?平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD,D 成立。應(yīng)選B。

題型5：線面角與二面角的問題

(1)求直線和平面所成角的關(guān)鍵是確定斜線在平面內(nèi)的射影,射影一般都要確定一些特殊的點(diǎn),如中心、垂心、重心等。(2)求二面角的步驟:一作,即作出平面角,作平面角時(shí),一定要注意頂點(diǎn)的選擇;二證,即證明所作的角就是二面角的平面角;三求,即將作出的角放在三角形中,計(jì)算出平面角的大小。

例5把正方形ABCD沿對(duì)角線AC折起,當(dāng)以A,B,C,D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的三棱錐的體積最大時(shí),直線BD和平面ABC所成的角的大小為( )。

A.2πB.3π

C.4πD.6π

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解：如圖7 所示,由三棱錐B-ACD的體積公式可知,當(dāng)平面BAC⊥平面DAC時(shí),三棱錐B-ACD的體積最大。

圖7

取AC的中點(diǎn)為E, 則BE⊥ 平 面DAC,可知直線BD和平面ABC所成的角為∠DBE。

由題意可得cos∠DBE=,故∠DBE=。應(yīng)選C。

跟蹤訓(xùn)練5：如圖8 所示,在正方體ABCD-A'B'C'D'中,二面角D'-AB-D的大小是( )。

A.6πB.4π

C.3πD.2π

圖8

提示：連接AD'。由正方體的性質(zhì)易知AB⊥平面ADD'A',則AB⊥AD,AB⊥AD',可知∠D'AD就是二面角D'-AB-D的平面角。 由四邊形ADD'A'為正方形,可知∠D'AD=,即二面角D'-AB-D的大小是。應(yīng)選B。

題型6：立體幾何中的最值問題

立體幾何中的最值問題一般涉及距離、面積、體積、角度等,此類問題多以規(guī)則幾何體為載體,涉及幾何體的結(jié)構(gòu)特征以及空間線面關(guān)系的邏輯推理、空間角與距離的求解等。解決此類問題一般可從兩個(gè)方面思考:一是函數(shù)法,建立所求的目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的最值求解;二是直接法,根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征或平面幾何中的相關(guān)結(jié)論,直接判斷最值。

例6如圖9所示,在四面體ABCD中,AB=CD=2,直線AB與CD所成的角為90°,點(diǎn)E,F,G,H分別在棱AD,BD,BC,AC上,若直線AB,CD都平行于平面EFGH,則四邊形EFGH面積的最大值是 。

圖9

解：因?yàn)橹本€AB∥平面EFGH,且平面ABC∩平面EFGH=HG,所以HG∥AB。同理可得,EF∥AB,FG∥CD,EH∥CD。所以FG∥EH,EF∥HG,可 知 四 邊 形EFGH為平行四邊形。

因?yàn)锳B⊥CD,所以四邊形EFGH為矩形。設(shè)=x(0≤x≤1),則FG=2x,易得HG=2(1-x)。

由上可得S四邊形EFGH=FG×HG=4x(1。 由二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)可得,當(dāng)時(shí),四邊形EFGH面積的最大值為1。

跟蹤訓(xùn)練6：如圖10 所示,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等,則平面α截此正方體所得截面面積的最大值為( )。

圖10

A.3 4 3 B.2 3 3

C.3 4 2 D.23

提示：在正方體ABCD-A1B1C1D1中,平面AB1D1與棱A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等。因?yàn)檎襟w的其余棱都分別與A1A,A1B1,A1D1平行,所以正方體ABCDA1B1C1D1的每條棱所在的直線與平面AB1D1所成的角都相等。

取棱AB,BB1,B1C1,C1D1,D1D,DA的中點(diǎn)分別為E,F,G,H,M,N,則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大,此截面面積為S正六邊形EFGHMN=。應(yīng)選A。