偏微分方程解的一種新求法

李 偉

(渤海大學(xué) 數(shù)理學(xué)院， 遼寧 錦州 121013)

0 引言

非線性偏微分方程的解法受到如數(shù)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)和生物學(xué)等各個(gè)學(xué)科工作者的廣泛重視，為了尋求它們的解法，科學(xué)家做了大量而有益的工作，同時(shí)得到了一些行之有效的求解方法，如分離變量法、反散射方法、Backlund變換法、Hirota雙線性方法、Darboux變換法、tanh函數(shù)法、Riccati方程法等〔1-7〕.本文借助于行波變換法〔8〕，擬解法和齊次平衡法〔9-13〕獲得了Burgers方程和Boussinesq方程組的全新的精確解.

1 (2+1)維Burgers方程的新的精確解

(2+1)維Burgers方程如下：

(ut+αuux+βuxx)x+γuyy=0

(1)

假定(1)有如下形式的解：

u(x,t)=u(ζ),ζ=kx+hy+wt+ζ0

(2)

k,h,w是待定常數(shù)，ζ0為任意實(shí)常數(shù). 將(2)代入(1)整理并且積分兩次，積分常數(shù)均取0，(1)變?yōu)?/p>

(3)

借助齊次平衡法，令(3)的擬解的具體形式為

u(ζ)=a0+a1φ(ζ)

(4)

ai是待定常數(shù),φ(ζ)是函數(shù)且滿足方程：

φ′(ζ)=φ2(ζ)+λφ(ζ)

(5)

其中

(6)

為(5)的解.

將(4)和(5)代入(3),得到關(guān)于φi(ζ),(i=0,1,2)的方程，令φi(ζ),(i=0,1,2)的系數(shù)為0，得到關(guān)于ai(i=0,1)的代數(shù)方程組，利用Mathematica運(yùn)算，求兩組解：

(7)

將(4), (6) 和(7)代入(2)，就得到(1)的新的精確解，即：

(8)

ζ=kx+hy+wt+ζ0.

2 Boussinesq方程組的新的精確解

Boussinesq方程組如下

(9)

假定(9)有如下形式的解：

u(x,t)=u(ζ),v(x,t)=v(ζ),ζ=x+kt+ζ0

(10)

k是待定常數(shù)，ζ0為任意實(shí)常數(shù). 將(10)代入(9)整理并且積分，積分常數(shù)均取0，則(9)變?yōu)?/p>

(11)

借助齊次平衡法，令(11)的擬解的具體形式為

u(ζ)=a0+a1φ(ζ)+a2φ2(ζ),v(ζ)=b0+b1φ(ζ)

(12)

ai(i=0,1,2),bi(i=0,1)是待定常數(shù),φ(ζ)是函數(shù)且滿足方程(5),

將(5)和(12)代入(11),得到關(guān)于φi(ζ)(i=0,1,2,3)的方程組，令φi(ζ),(i=0,1,2,3)的系數(shù)為0，得到關(guān)于ai(i=0,1,2,3),bi=(i=0,1)的代數(shù)方程組，利用Mathematica運(yùn)算，求兩組解：

a0=0,a1=2k,a2=-2,b0=-2k,b1=2,λ=-k

a0=0,a1=-2k,a2=-2,b0=-2k,b1=-2,λ=-k

(13)

將(12), (13) 和(6)代入(10)，就得到(9)的新的精確解，即：

(14)

其中ζ=x+kt+ζ0.

3 結(jié)論

利用行波變換法、擬解法、齊次平衡法獲得了Burgers方程和Boussinesq方程組的全新的精確解.這種方法也用于解其他非線性偏微分方程(組).精確解的獲得將為近似計(jì)算,定理分析等現(xiàn)實(shí)問題提供必備的基礎(chǔ).