關(guān)于分塊三角矩陣的幾個(gè)行列式不等式

劉俊同

（阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

AT,,A*分別表示矩陣A的轉(zhuǎn)置，共軛以及共軛轉(zhuǎn)置。對(duì)于兩個(gè)n級(jí)厄爾米特矩陣A和B，若A-B是半正定矩陣（正定矩陣），則記作A≥B(A＞B)，因此，A≥0(A＞0)表示A是半正定矩陣（正定矩陣）。用In表示n級(jí)單位矩陣，在不需要界定矩陣的級(jí)數(shù)時(shí)常用I來表示單位矩陣。對(duì)于兩個(gè)相同級(jí)數(shù)的矩陣A和B，用A°B表示矩陣A和B的Hadamard積，用來表示多個(gè)矩陣Ak(k=1,…,m)的Hadamard積。n級(jí)方陣A若滿足A*A=AA*，則稱A為正規(guī)矩陣[1]。

國(guó)內(nèi)外有許多專家學(xué)者致力于研究半正定矩陣行列式不等式[3-12]。

任一半正定矩陣A都可分解成A=T*T，其中是一分塊三角矩陣，且和A具有相同的分塊方式，利用（1），很容易證明

利用Fischer型反向不等式（3），Lin在文獻(xiàn)[13]中還證明了

其中，Xk和Zk是正規(guī)矩陣。

Liu等在文獻(xiàn)[14]中對(duì)Fischer型反向不等式（3）給出了如下模擬，即涉及 Hadamard積的Fischer型反向不等式

利用Fischer型反向行列式不等式（6），再結(jié)合Hadamard積和復(fù)合矩陣的若干性質(zhì)[15]，本文旨對(duì)不等式（4）和（5）給出關(guān)于Hadamard積的模擬，即涉及Hadamard積的行列式不等式。

1 輔助引理

為證明主要結(jié)果，先給出幾個(gè)引理。其中引理1是Hadamard積的簡(jiǎn)單性質(zhì)，引理2和引理3是矩陣論的基本結(jié)果，引理4是復(fù)合矩陣的一個(gè)簡(jiǎn)單性質(zhì)[2,15]。

引理1設(shè)A是n階級(jí)正定矩陣，B是n級(jí)半正定矩陣，則有

且（7）式中的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Y=0。

證明設(shè)矩陣A和B的對(duì)角元分別為ai,bi,i=1,…,n即

因?yàn)锳正定，B半正定，于是有ai＞0,bi≥0,i=1,…,n且有

于是（7）式成立，并且由上述不等式知（7）式中的的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)bi=0,i=1,…,n，再結(jié)合矩陣B的半正定性，因此有（7）式中的的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Y=0。

引理2設(shè)A是n級(jí)矩陣，則有A*A=0當(dāng)且僅當(dāng)A=0。

引理3設(shè)A和B是兩個(gè)n級(jí)矩陣，若A≥0且B≥0，則有A°B≥0[15]。

引理4設(shè)A，B，C，D均為n級(jí)方陣，若二分塊矩陣，則有

2 主要結(jié)果及證明

定理1設(shè)是一n級(jí)分塊三角矩陣，X和Z分別是r級(jí)和n-r級(jí)方陣，則有

進(jìn)一步地，若X和Z是非奇異的，則在（8）式中的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Y=0。

證明顯然，不等式（8）是不等式（6）的特例，只需證明等式情形即可。若Y=0，顯然有不等式（8）是一個(gè)恒等式。反之，由于

因此，有

因?yàn)閄是非奇異的，于是 det(Ir°X*X)＞0 ，因此，有

再由Z是非奇異的，于是Z*Z是正定的，Y*Y是半正定的，利用引理1和引理2易證（8）中的等式成立當(dāng)且僅當(dāng)Y=0。

注不等式（8）是不等式（4）關(guān)于Hadamard積的模擬。

定理2設(shè)是一組具有相同分塊方式的n級(jí)分塊三角矩陣，若Xk和Zk是正規(guī)矩陣，則有

證明考慮到Fischer型反向行列式不等式（6），要證明不等式（9），只需證明下述不等式

因?yàn)?/p>

這里k=1,…,m，對(duì)指標(biāo)k從1到m求Hadamard積，有

進(jìn)一步地，有

等價(jià)地，有

因?yàn)閄k,k=1,…,m是正規(guī)矩陣，所以

結(jié)合不等式（11）和等式（12），不等式（10）得證。

注不等式（9）是不等式（5）關(guān)于Hadamard積的模擬。

3 小結(jié)

Lin研究了分塊上三角矩陣，得到了幾個(gè)有趣的行列式不等式。對(duì)于Lin的部分結(jié)果，本文利用Hadamard積和復(fù)合矩陣的若干性質(zhì)，證明了這些不等式關(guān)于Hadamard積的模擬不等式，即涉及Hadamard積的行列式不等式。