超音速反艦導(dǎo)彈末端有損飛行彈道分析

張龍杰,胡 慧,張龍?jiān)?/p>

(1.海軍航空大學(xué),山東 煙臺(tái) 264000; 2.山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)工程研究中心, 濟(jì)南 250061)

反艦導(dǎo)彈末端突防過程中，受到防御系統(tǒng)攔截后，出現(xiàn)的典型毀傷模式有3種[1]：解體、啞彈以及偏航。在彈體受損偏航的情況下，由于毀傷部位和毀傷程度的不同，導(dǎo)彈的飛行彈道會(huì)隨機(jī)多變。在不同飛行速度以及彈目距離下，導(dǎo)彈的飛行軌跡不同，對目標(biāo)的脫靶量也不同，因此在分析導(dǎo)彈末端可能的殺傷區(qū)域以及艦載近程武器系統(tǒng)(CIWS)反導(dǎo)靶場實(shí)驗(yàn)的安全性評估過程中，都必須深入分析反艦導(dǎo)彈損傷情況下飛行彈道以及對應(yīng)的目標(biāo)脫靶量。

圍繞導(dǎo)彈損傷后的運(yùn)動(dòng)問題，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[2]從反艦導(dǎo)彈實(shí)彈射擊訓(xùn)練時(shí)，對航區(qū)內(nèi)被保護(hù)設(shè)施威脅概率的求解需求出發(fā)，通過概率分析法建立了反艦導(dǎo)彈故障飛行落入概率計(jì)算模型，并進(jìn)行了仿真計(jì)算。文獻(xiàn)[3]從導(dǎo)彈武器設(shè)備子系統(tǒng)和分部件的可靠性和重要性出發(fā)，從初始發(fā)射異常、發(fā)動(dòng)機(jī)故障、姿態(tài)控制系統(tǒng)故障等角度，通過仿真分析建立了導(dǎo)彈的典型故障彈道，研究成果對導(dǎo)彈靶場試驗(yàn)的安全控制工作具有積極的推動(dòng)作用。文獻(xiàn)[4]從舵機(jī)的角度分析了X型舵故障對導(dǎo)彈控制性能及命中點(diǎn)散布的影響，仿真結(jié)果指出，在一些極端初始條件下，舵機(jī)故障會(huì)使彈道畸變，導(dǎo)致導(dǎo)彈墜落。

本文從系統(tǒng)控制的角度出發(fā)，利用一階和二階控制環(huán)節(jié)對導(dǎo)引頭和彈體自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行模擬，在三維廣義比例導(dǎo)引(TPN)攻擊模型的基礎(chǔ)上，對于導(dǎo)彈突防過程中出現(xiàn)的各種損傷模式，將其產(chǎn)生的影響映射到末制導(dǎo)控制回路中，通過對TNP攻擊模型的仿真分析，對導(dǎo)彈在不同損傷模式下的飛行彈道進(jìn)行研究。

1 坐標(biāo)系

地面坐標(biāo)系為固定坐標(biāo)系，原點(diǎn)O位于末制導(dǎo)攻擊時(shí)刻導(dǎo)彈質(zhì)心在地面的投影點(diǎn)位置，x0軸指向東向，y0軸指向北向，z0軸指向天向。

平移坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)M位于導(dǎo)彈的質(zhì)心點(diǎn)位置，隨導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)而平動(dòng)，其余各軸與地面坐標(biāo)系Ox0y0z0對應(yīng)的各坐標(biāo)軸保持平行，如圖1所示。

圖1中，T為目標(biāo)，vt為目標(biāo)速度矢量，vm為導(dǎo)彈速度矢量，vr為相對速度矢量，R為彈目視線矢量。

相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)M位于導(dǎo)彈的質(zhì)心點(diǎn)位置，yr軸始終指向目標(biāo)T，即與視線矢量R保持一致，zr在視線轉(zhuǎn)移平面MTN內(nèi)，垂直于yr軸，沿相對速度vr方向?yàn)檎瑇r通過右手定則確定，如圖1所示。

圖1 導(dǎo)彈三維運(yùn)動(dòng)示意圖

準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于導(dǎo)彈的質(zhì)心點(diǎn)M，xb軸沿導(dǎo)彈縱軸指向彈體頭部，zb軸位于鉛垂面內(nèi)指向上方，yb軸通過右手定則確定，如圖2所示。

舵機(jī)坐標(biāo)系與導(dǎo)彈固連，原點(diǎn)位于導(dǎo)彈縱軸與舵機(jī)控制面的交點(diǎn)Mc上，xc軸與準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的xb軸重合，彈體無滾轉(zhuǎn)情況下，沿xb軸觀察，yc軸由原點(diǎn)Mc指向右上角區(qū)域的舵面，zc軸由原點(diǎn)Mc指向右下角區(qū)域的舵面，并與xc和yc軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系，如圖2。

圖2 舵機(jī)和準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系

2 考慮彈體動(dòng)力學(xué)環(huán)節(jié)的末制導(dǎo)方程

2.1 導(dǎo)引方程

將國際上通用的TPN導(dǎo)引律[5-7]擴(kuò)展到三維空間中，采用矢量法在相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系Mxryrzr下建立導(dǎo)彈的末制導(dǎo)方程，如圖3。

圖3 相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系

(1)

式(1)中，K為TPN比例系數(shù)。ac施加在垂直于R的方向，與vn方向相同，結(jié)合圖3，根據(jù)矢量叉積運(yùn)算的方向定義,有:

(2)

將式(1)代入式(2)中，得到:

ac=Kvc×ωq

(3)

下面求解vc和ωq。根據(jù)矢量點(diǎn)積運(yùn)算的投影性質(zhì)，相對速度矢量vr在R上投影速度的大小為:

(4)

由于vc與R方向相反，因此有：

vc/|vc|=-R/|R|

結(jié)合式(4)得到法向相對速度矢量vc的求解表達(dá)式為：

將上式代入式(3)中，得到：

(5)

對于質(zhì)量為mt的目標(biāo)T，其相對導(dǎo)彈M轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量矢量L為：

L=Jtxωq=mt|R|2ωq

(6)

式(6)中，Jtx=mt|R|2為目標(biāo)T繞xr軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?？梢钥闯觯莿?dòng)量矢量L的方向與視線轉(zhuǎn)動(dòng)角速度矢量ωq的方向相同。

根據(jù)質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量的定義，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)與軸線的距離為R并且繞軸線作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，它的角動(dòng)量L是R與質(zhì)點(diǎn)的線性動(dòng)量P的矢量積，即：

L=R×P=R×(mtvr)=mtR×vr

(7)

結(jié)合式(6)和式(7)，得到視線轉(zhuǎn)移角速度矢量

ωq=(R×vr)/|R|2

(8)

將式(8)代入式(5)中，得到導(dǎo)引加速度矢量方程為：

(9)

式(9)即為三維空間中的TPN方程。

2.2 控制環(huán)節(jié)

(10)

式(10)中，Tk為導(dǎo)引頭時(shí)間延遲常數(shù)。一階控制環(huán)節(jié)對應(yīng)的控制結(jié)構(gòu)示意圖如圖4。

圖4 一階導(dǎo)引頭環(huán)節(jié)

由圖4得到求解一階控制環(huán)節(jié)的微分方程為：

(11)

對于彈體自動(dòng)駕駛儀，簡化情況下，一般采用一階控制環(huán)節(jié)[9-11]進(jìn)行分析，由于彈體自動(dòng)駕駛儀往往呈現(xiàn)出高階動(dòng)態(tài)特性[12]，為了準(zhǔn)確模擬導(dǎo)引指令加速度ac與彈體實(shí)際輸出加速度am的關(guān)系，本文以二階控制環(huán)節(jié)對彈體自動(dòng)駕駛儀的高階動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行模擬，對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)為：

(12)

式(12)中，ζ為彈體阻尼比；ω為彈體無阻尼振蕩頻率。二階控制環(huán)節(jié)對應(yīng)的控制結(jié)構(gòu)示意圖如圖5。

圖5 二階自動(dòng)駕駛儀環(huán)節(jié)

由圖5得到求解二階控制環(huán)節(jié)的微分方程為：

(13)

假設(shè)地面坐標(biāo)系Ox0y0z0下導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度和位置矢量分別為vm,vt以及Rm,Rt，則有vr=vt-vm，R=Rt-Rm，再結(jié)合式(5)和式(8)～(13)，得到考慮導(dǎo)引頭和彈體自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性的TPN末制導(dǎo)方程為：

(14)

3 故障模式及處理

3.1 故障分類

導(dǎo)彈被CIWS彈丸擊中后，會(huì)出現(xiàn)多種故障，表1給出了導(dǎo)彈末端突防過程中的幾類典型故障及對應(yīng)的部件。

表1 導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制系統(tǒng)故障模式

在對各類故障模式進(jìn)行分析時(shí)，假設(shè)導(dǎo)彈不具有故障自修復(fù)能力，或者對于具有容錯(cuò)控制[13]的導(dǎo)彈，所有故障都超出了其容錯(cuò)控制的范圍。

由式(14)計(jì)算得到的am=[a0xa0ya0z]，是地面坐標(biāo)系Ox0y0z0下的矢量，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Mxbybzb下的表示為：

abm=[aea?aψ]=amMb0=

(15)

式(15)中，Mb0為地面坐標(biāo)系Ox0y0z0到準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Mxbybzb的轉(zhuǎn)換矩陣；ae為導(dǎo)彈沿彈體縱軸方向的加速度，主要由發(fā)動(dòng)機(jī)推力提供；a?,aψ主要由舵面偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生。

下面分別對故障模式下3個(gè)方向的加速度大小進(jìn)行分析。

3.2 故障處理

3.2.1控制舵故障

導(dǎo)彈采用“×”型正交舵，圖6為從彈體尾部觀察“×”型正交舵的布局示意圖。

圖6 “×”型正交舵示意圖

圖6中，導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)角γ為零時(shí)，從右上角順時(shí)針開始，各舵面依次編號1～4，對應(yīng)的舵偏角為δ1～δ4，并規(guī)定使導(dǎo)彈右偏、低頭和右滾轉(zhuǎn)的舵偏角為正。

下面推導(dǎo)“×”型正交舵偏轉(zhuǎn)過程中，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Mxbybzb下對應(yīng)的等效舵偏角。如圖6所示，對于“×”型正交舵，各舵面偏轉(zhuǎn)過程中，在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的yb軸和zb軸方向的合力大小分別為：

Fby=-F1cosλ+F2sinλ+F3cosλ-F4sinλ

Fbz=-F1sinλ-F2cosλ+F3sinλ+F4cosλ

(16)

式(16)中，λ=γ+π/4為各個(gè)舵面與準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系的zb軸所成的角，λ∈[0°,360°]，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正；Fi(i=1,2,3,4)為舵面偏轉(zhuǎn)引起的空氣動(dòng)力分量，是對應(yīng)的舵偏角δi的函數(shù)，又記作Fi(δi)。對于確定的舵結(jié)構(gòu)，假設(shè)各舵面面積相等，有：

Fi(δi)=Kδδi

(17)

式(17)中，Kδ為單位舵偏角產(chǎn)生的空氣動(dòng)力在Mcyczc平面上的投影大小。從而式(16)轉(zhuǎn)化為：

Fby=Kδ(-δ1cosλ+δ2sinλ+δ3cosλ-δ4sinλ)

Fbz=Kδ(-δ1sinλ-δ2cosλ+δ3sinλ+δ4cosλ)

(18)

對應(yīng)的滾轉(zhuǎn)力矩為：

(19)

式(18)、式(19)中，L為橫滾力臂。假設(shè)“×”型正交舵的等效俯仰、偏航以及滾轉(zhuǎn)舵偏角分別為δ?、δψ和δγ，即有Fby=Kδδ?，F(xiàn)bz=Kδδψ以及Mγ=KδLδγ/2，結(jié)合式(18)、式(19)得：

δ?=-(δ1-δ3)cosλ+(δ2-δ4)sinλ

δψ=-(δ1-δ3)sinλ-(δ2-δ4)cosλ

δγ=δ1+δ2+δ3+δ4

(20)

式(20)即為“×”型正交舵到等效舵偏角的轉(zhuǎn)換模型。

下面分析等效舵偏角到“×”型正交舵各舵面的分解方法，為此定義δd=δ1+δ3，結(jié)合式(20)得到

δ1=(-δ?cosλ-δψsinλ+δd)/2

δ2=[δ?sinλ-δψcosλ+(δγ-δd)]/2

δ3=(δ?cosλ+δψsinλ+δd)/2

δ4=[-δ?sinλ+δψcosλ+(δγ-δd)]/2

(21)

式(21)的解不唯一，這是由于對于“×”型正交舵同樣的舵效會(huì)存在多種操舵方式，式(22)給出的是一種工程解決方案：

(22)

式(22)中，δf=|δ1-δ3|-|δ2-δ4|。舵面偏轉(zhuǎn)后，最終將改變導(dǎo)彈在不同方向的機(jī)動(dòng)能力。假設(shè)舵偏角大小與對應(yīng)的加速度近似成線性關(guān)系，在舵機(jī)坐標(biāo)系Mcxcyczc下，由舵偏角δi(i=1,2,3,4)引起的導(dǎo)彈加速度aci以及繞彈體滾動(dòng)的角速度大小ωi分別為：

aci=kaδi,ωi=kωδi

(23)

式(23)中，ka,kω為常系數(shù)。在舵機(jī)坐標(biāo)系Mcxcyczc下，對于單個(gè)控制舵，由于舵偏角最大時(shí)對應(yīng)的加速度值以及滾轉(zhuǎn)角速度值分別達(dá)到最大值amax和ωmax，因此式(19)轉(zhuǎn)化為：

aci=kaδi,ωt=ktkaδi

(24)

式(24)中，系數(shù)kt=ωmax/amax。定義ωd=kt(ac1+ac3)，再參考式(21)，得到舵機(jī)坐標(biāo)系Mcxcyczc下各舵面產(chǎn)生的加速度的大小為：

ac1=(-a?cosλ-aψsinλ+ωd/kt)/2

ac2=[a?sinλ-aψcosλ+(ωm-ωd)/kt]/2

ac3=(a?cosλ+aψsinλ+ωd/kt)/2

ac4=[-a?sinλ+aψcosλ+(ωm-ωd)/kt]/2

(25)

式(25)中，ωm=kt(a1+a2+a3+a4)為等效滾轉(zhuǎn)角速度。對于ωd，根據(jù)式(22)，有：

(26)

式(26)中，af=|ac1-ac3|-|ac2-ac4|。將式(25)向準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Mxbybzb下分解，得到“×”型正交舵各舵面在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系下產(chǎn)生的加速度矢量為：

(27)

舵面卡死后會(huì)引起導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)，對于出現(xiàn)的滾轉(zhuǎn)角ωe，只需令ωm=ωm-ωe，再根據(jù)式(26)對各舵面需要承擔(dān)的加速度分量進(jìn)行分配即可。

3.2.2其他系統(tǒng)故障

在準(zhǔn)彈體坐標(biāo)系Mxbybzb下，發(fā)動(dòng)機(jī)推力對xb方向的機(jī)動(dòng)能力產(chǎn)生影響。正常情況下，發(fā)動(dòng)機(jī)以最大推力工作時(shí)，在xb方向會(huì)產(chǎn)生最大正加速度a+emax，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作時(shí)，由于空氣阻力會(huì)在xb方向產(chǎn)生最大負(fù)加速度a-emax，因此導(dǎo)彈在xb方向的機(jī)動(dòng)能力為a+emax[k-e,1]，其中k-e=(a-emax/a+emax)<0。

3.3 損傷導(dǎo)彈質(zhì)心運(yùn)動(dòng)方程

(28)

(29)

式(14)和式(29)構(gòu)成了完整的導(dǎo)彈有損飛行彈道方程。

4 仿真與分析

4.1 無損飛行彈道

在地面坐標(biāo)系Ox0y0z0下，取Rm=(0,0,1.0)km，Rt=(16,19.2,0)km，vm=(287,800,-15)m/s(即2.5Ma)，vm=(16,4,0)m/s(即3.2節(jié))，彈目初始距離25 km，導(dǎo)彈在俯仰和偏航方向的最大過載為5g，沿彈體縱軸最大過載10g，最大滾轉(zhuǎn)速度15 (°)/s，目標(biāo)以恒定速度作圓周規(guī)避機(jī)動(dòng)，最大機(jī)動(dòng)角速度ωtmax=1.7(°)/s，導(dǎo)引頭時(shí)間延遲常數(shù)Tk=0.45，彈體阻尼比ζ=0.75，無阻尼振蕩頻率ω=1.0，仿真步長h=0.01 s，由式(14)和式(29)得到導(dǎo)彈無損攻擊彈道。如圖7。

圖7 無損攻擊彈道

導(dǎo)彈無損情況下，最小彈目距離0.043 57 m，脫靶量幾乎為零。

4.2 有損飛行彈道

表1中給出了6類典型故障模式實(shí)際對應(yīng)9種故障源(舵面故障時(shí)存在4種故障源)，根據(jù)二項(xiàng)式定理，共存在29-1=511種故障組合，這里只對單故障源下的飛行彈道進(jìn)行分析，其他故障模式可首先將對應(yīng)的故障源疊加然后再進(jìn)行綜合分析。

典型艦載CIWS的最大攔截距離[14]一般在1.5～5 km的范圍內(nèi)，為此假設(shè)各種故障發(fā)生時(shí)，彈目距離均為2.5 km，對于舵面故障，分別取卡死角δci為零和±δmax時(shí)的情況進(jìn)行分析，其余條件同4.1節(jié)，由式(14)及式(25)～(29)得到1～4號舵面在不同卡死角δfi時(shí)導(dǎo)彈的脫靶量大小L1～L4，結(jié)果如表2所示。

表2 舵面卡死時(shí)的脫靶量

圖8(a)～圖8(d)分別給出了1～4號舵面故障后，對相應(yīng)攻擊彈道的仿真結(jié)果，為了便于顯示，只繪出了彈目距離小于5 km時(shí)的攻擊彈道。

圖8 1～4號舵面故障后的攻擊彈道

分析表2和圖8，當(dāng)舵面卡死在正最大舵偏角時(shí)，1或2號舵面使導(dǎo)彈低頭的效應(yīng)明顯，使導(dǎo)彈提前落水，從而引起較大的脫靶量，3或4號舵面使導(dǎo)彈抬頭的效應(yīng)明顯，此時(shí)脫靶量會(huì)較小。當(dāng)舵面卡死在負(fù)最大舵偏角時(shí)，情況正好相反。

此外，由于假設(shè)正常飛行中導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)角為零，因此1和2號舵面以及3和4號舵面卡死在最大舵偏角位置時(shí)，對應(yīng)的脫靶量分別近似相等。由于末端導(dǎo)彈已經(jīng)精確對準(zhǔn)目標(biāo)，控制舵指令偏轉(zhuǎn)角很小，因此當(dāng)舵面卡死在中央位置時(shí)脫靶量很小。

對于發(fā)動(dòng)機(jī)故障，取k-e=-0.6，由式(14)計(jì)算得到kb=0,0.5以及k-e時(shí)導(dǎo)彈對目標(biāo)的脫靶量均位于0.043 60～0.043 61 m之間，可見發(fā)動(dòng)機(jī)故障對脫靶量的影響很小。

3～6號部件的故障處理方式同3.2.2節(jié)，仿真初始條件同4.1節(jié)，由式(14)得到各部件故障后引起的脫靶量，結(jié)果如表3。

表3 參數(shù)丟失時(shí)的脫靶量

圖9(a)和圖9(b)分別給出了5和6號部件故障后，對相應(yīng)攻擊彈道的仿真結(jié)果，為了便于顯示，同樣只繪出了彈目距離小于5 km時(shí)的彈道。對于3和4號部件故障下的飛行彈道，由于脫靶量較小，不再示出。

圖9 5～6號部件故障后的攻擊彈道

綜合表2、表3以及圖8、圖9，舵面卡死時(shí)，脫靶量的大小與卡死角的大小和位置有關(guān)，當(dāng)舵面卡死角較小時(shí)，導(dǎo)彈仍然可能命中目標(biāo)；發(fā)動(dòng)機(jī)推力下降后，導(dǎo)彈依然能夠在慣性力的作用下飛向目標(biāo)，對脫靶量的影響不大；在攻擊末端丟失目標(biāo)后，導(dǎo)彈會(huì)飛向目標(biāo)記憶點(diǎn)，依然會(huì)保持較小的脫靶量；高度表和加速度計(jì)故障后，制導(dǎo)系統(tǒng)會(huì)按照錯(cuò)誤的參數(shù)進(jìn)行導(dǎo)引攻擊，從而造成較大的脫靶量；對于慣導(dǎo)陀螺故障，由于僅僅影響導(dǎo)彈自身的姿態(tài)參數(shù)，而在末端導(dǎo)彈的姿態(tài)趨于穩(wěn)定，因此基本對命中精度無影響。

5 結(jié)論

本文建立了考慮到彈體及導(dǎo)引頭動(dòng)力學(xué)特性的三維TNP矢量方程，從系統(tǒng)控制的角度出發(fā)，總結(jié)歸納出導(dǎo)彈末端突防過程中可能出現(xiàn)的典型故障模式，初步分析了導(dǎo)彈有損飛行彈道，仿真給出了脫靶量，對于分析導(dǎo)彈末端可能的殺傷區(qū)域以及艦載CIWS反導(dǎo)靶場實(shí)驗(yàn)的安全性評估具有重要的參考作用。

實(shí)際情況下，導(dǎo)彈末端突防過程中，各類故障發(fā)生的概率以及時(shí)間都是不同的，在具體應(yīng)用中要通過對導(dǎo)彈的易損性分析[15]，建立各類故障的診斷和判讀模型，確保為有損飛行彈道的分析研究提供準(zhǔn)確的初始化環(huán)境。