一道橢圓題的源和流

陶興紅

題目：已知橢網(wǎng)（：的方程為x2/4十y2/2=1，A是橢網(wǎng)上的一點，且A在第一象限內(nèi)，過A且斜率等于- l的直線與橢網(wǎng)C交于另一點B，點A關(guān)于原點的對稱點為D。

（1）證明：直線BD的斜率為定值;

（2）求△ABD面積的最大值。

該題是網(wǎng)錐曲線中的定值和最值問題，網(wǎng)錐曲線中的定值定點問題是高考?？碱}型，也是近幾年高考考查網(wǎng)錐曲線的重點和熱點。解析幾何中的定值問題是指某些幾何量（線段的長度、圖形的面積、角的度數(shù)、直線的斜率等）的大小或某些代數(shù)表達式的值等與題目中的參數(shù)無關(guān)，不隨參數(shù)的變化而變化，而始終是一個確定的值。網(wǎng)錐曲線中的最值問題是高考中的一類常見問題，體現(xiàn)了網(wǎng)錐曲線與三角、函數(shù)、不等式、方程、平面向量等代數(shù)知識之間的橫向聯(lián)系。通過探究，筆者發(fā)現(xiàn)該題的第（2）問有下列兩種常見解法：

說明：通過設(shè)動直線AB的斜截式方程和動點A，B，D的坐標，再聯(lián)立直線方程和橢網(wǎng)方程，得到方程組，消元得到一元二次方程組，利用韋達定理，便知道動點坐標之間的關(guān)系，最后利用兩點式斜率公式，將斜率式轉(zhuǎn)化為坐標關(guān)系，通過化簡變形和消元，便得出動直線BD的斜率，求面積最值就是選擇適當?shù)膮?shù)和求法將所求的面積表示為該參數(shù)的表達式，其中解法l以動直線的斜率為參數(shù)，解法2以動點A的坐標為參數(shù)，將所求的面積先表示為該參數(shù)的表達式，再根據(jù)橢網(wǎng)的參數(shù)方程，將面積表達式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)式，最后求出此三角函數(shù)式的最值。

最后，在平時解題過程中我們要有探究意識、推廣意識和拓展意識，比如，探究特殊的能否推廣為一般的，二維的能否推廣為三維的，兩個變量的問題能否拓展為三個或三個以上變量的問題，網(wǎng)錐曲線是橢網(wǎng)的問題能否拓展為雙曲線的問題或拋物線的問題等。只要做到這一點，我們就能收到做一道題，會一類題，通一片題的效果。我們拿到一道題目后，會知道出題者的意圖，會發(fā)現(xiàn)出題者的陷阱。即便出題者粗心出現(xiàn)了一個錯誤，我們也能夠很快地把它糾正出來。

（責任編輯 王福華）