肯尼亞日均降雨量推求

王金星，譚鵬，李廣明，張旭春

（1.中國(guó)路橋工程有限責(zé)任公司，北京100011；2.中交第二公路工程有限公司，西安710065）

1 引言

肯尼亞位于非洲東部，為熱帶草原氣候，降水季節(jié)差異大。自20 世紀(jì)中葉以來，肯尼亞極端降雨氣候年份明顯增多，由強(qiáng)降雨引發(fā)的氣象災(zāi)難風(fēng)險(xiǎn)有所增加[1]。

目前，在現(xiàn)行規(guī)范中還未有計(jì)算不同重現(xiàn)期下降雨強(qiáng)度的公式。可見，如何根據(jù)現(xiàn)存自記錄的雨量資料對(duì)肯尼亞地區(qū)進(jìn)行不同重現(xiàn)期降雨強(qiáng)度的計(jì)算分析，對(duì)肯尼亞地區(qū)更好的發(fā)展及規(guī)范中降雨強(qiáng)度公式的完善具有重要意義。

2 不同重現(xiàn)期日均降雨量的推求

2.1 概述

目前，設(shè)計(jì)城市中雨水、排水管道及小匯水流域排水渠道時(shí)，短歷時(shí)暴雨強(qiáng)度公式是設(shè)計(jì)者的主要依據(jù)。我國(guó)已對(duì)暴雨強(qiáng)度公式的編制與應(yīng)用管理做了規(guī)定，但是，由于實(shí)際工程的復(fù)雜性與多變性，往往會(huì)出現(xiàn)違背規(guī)范的現(xiàn)象，給市政工程建設(shè)乃至城市建設(shè)的推進(jìn)留下極大的安全隱患。隨著社會(huì)發(fā)展的推進(jìn)，法規(guī)的健全，科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步以及相關(guān)研究的深入，市政工程的規(guī)劃及設(shè)計(jì)水平求能夠滿足更高、更科學(xué)、更具說服力的要求。暴雨強(qiáng)度公式需要做到普及，那么對(duì)公式的精度要求也達(dá)到了更高的水準(zhǔn)。所以，需要對(duì)公式編制涉及的一系列問題研究得更加透徹，以便于減少暴雨強(qiáng)度公式編制的誤差，提出更好的公式編制方法。

目前，我國(guó)的暴雨強(qiáng)度計(jì)算公式為：

式中，A1、C、b、n均為地方性參數(shù)；T為重現(xiàn)期；t為暴雨歷時(shí)，mi n；i為暴雨強(qiáng)度，mm/min。暴雨歷時(shí)一般采用5min、10min、15min、20min、30min、45min、60min、90min、120min 共9 個(gè) 歷時(shí)。重現(xiàn)期一般取0.25a、0.33a、0.5a、1a、2a、3a、5a、10a、20a、50a、100a。可見，推求暴雨強(qiáng)度時(shí)，需要充足的降雨量數(shù)據(jù)，但現(xiàn)實(shí)中降雨量數(shù)據(jù)并不滿足要求，故研究降雨量的分布模式推求降雨量十分重要。

目前，暴雨強(qiáng)度公式的編制需要根據(jù)當(dāng)?shù)刈杂浻炅抠Y料，再結(jié)合數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法判斷并確定暴雨強(qiáng)度抽樣的分布模式，從而計(jì)算出各歷時(shí)不同重現(xiàn)期的理論暴雨強(qiáng)度值。其中，還需要設(shè)計(jì)者采用適當(dāng)?shù)姆椒ǖ玫焦街械哪承﹨?shù)。目前，國(guó)內(nèi)外通常采用指數(shù)分布及皮爾遜（Pearson）Ⅲ型分布模式對(duì)暴雨強(qiáng)度抽樣頻數(shù)分布進(jìn)行擬合，并采用經(jīng)驗(yàn)值與計(jì)算相結(jié)合或圖解與計(jì)算相結(jié)合的方法進(jìn)行參數(shù)的確定，但是確定參數(shù)的方法已經(jīng)逐步被數(shù)值求解法取代。另外，需要指出的是，由于肯尼亞歷史國(guó)情的影響，在推求上述暴雨強(qiáng)度公式時(shí)，現(xiàn)存的數(shù)據(jù)并無法滿足要求，其中逐小時(shí)及更短時(shí)間間隔的降雨量數(shù)據(jù)獲得的難度更大。

2.2 暴雨強(qiáng)度抽樣概率分布及擬合

2.2.1 指數(shù)分布

在指數(shù)分布模式下，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為：

式中，xi（i=1，2，…，N）為樣本的降雨量；a為分布曲線離散程度的參數(shù)；r為分布曲線的下限。

分布函數(shù)超過概率：

故對(duì)應(yīng)于重現(xiàn)期T的分位數(shù)：

記1/a=α，接著，根據(jù)抽樣的經(jīng)驗(yàn)概率分布及最小二乘法，計(jì)算確定系數(shù)α、r，再利用式（5）計(jì)算各重現(xiàn)期的分位數(shù)。

2.2.2 皮爾遜（Pearson）Ⅲ型分布

在皮爾遜Ⅲ型分布模式下，其密度函數(shù)和分布函數(shù)為：

式中，參數(shù)α≥0，β≥0，抽樣變量xi≥0，分別為概率曲線的尺度和形狀；a為概率曲線的起點(diǎn)與序列零點(diǎn)之間的距離，Γ（α）為關(guān)于α 的函數(shù)。當(dāng)考慮采用皮爾遜型Ⅲ分布來擬合暴雨強(qiáng)度的抽樣資料時(shí)，首先要確定參數(shù)α、β、a。下文中，將采用矩法和極大似然法進(jìn)行參數(shù)的確定。

根據(jù)矩法，得到其數(shù)學(xué)期望、方差和偏度系數(shù)分別為：

由此得到：

接著，考慮采用權(quán)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)的修正減小文中使用矩法進(jìn)行皮爾遜Ⅲ型參數(shù)的估計(jì)誤差，即：

式中，xˉ為樣本的均值為樣本的均方差；Cs為偏度系數(shù)；E為加權(quán)后的一階矩；G為加權(quán)后的二階矩。而

式中，ψ（xi）為正態(tài)概率分布的密度函數(shù)；N為樣本（降雨量）數(shù)量。將估計(jì)的參數(shù)進(jìn)行加權(quán)之后，就減少了采用矩法造成的誤差，計(jì)算精度自然隨之提升，這就是“權(quán)函數(shù)法”。

根據(jù)極大似然法函數(shù)，可以得到：

先將式（12）消去 β，再根據(jù)已知 ψ（α）=-0.577216+（a-1）為正整數(shù)，故采用迭代法分別求解參數(shù)α、β。

在皮爾遜Ⅲ型概率分布模式中的參數(shù)確定后，通過采用滿足一定精度要求的擬合曲線可以進(jìn)行各概率或重現(xiàn)期所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)的估算。其中的參數(shù)α 或偏度系數(shù)Cs能夠控制該分布曲線在某概率或重現(xiàn)期所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)。因此，在實(shí)際工程中，當(dāng)某個(gè)參數(shù)α 或Cs已知時(shí)，可通過曲線離均系數(shù)表計(jì)算概率P或重現(xiàn)期T對(duì)應(yīng)的分位數(shù)。而“適線法”就是對(duì)Cs作適當(dāng)修正，使得其擬合誤差達(dá)到最小。

2.2.3 韋伯（Weibull）分布

在三參數(shù)韋伯分布模式下，其概率密度函數(shù)和分布函數(shù)為：

式中，b 為尺度參數(shù)；c 為形狀參數(shù)；d 為位置參數(shù)。特別的，當(dāng)d=0，c=1 時(shí)，即為指數(shù)分布。當(dāng) d=0 時(shí)，為二參數(shù) Weibull 分布。因此，指數(shù)分布可看作韋伯分布的特殊情況。下文中選用矩法確定參數(shù) b、c、d。

根據(jù)其前三階矩，采用積分可以求得：

故重現(xiàn)期所對(duì)應(yīng)的分位數(shù)為：

3 Jomo Kenyat t a Nairobi 實(shí)例

由于數(shù)據(jù)所限，本文利用前述的概率分布模式對(duì)肯尼亞首都內(nèi)羅畢（Nairobi）市（資料年限：1957—2018 年）Jomo Kenyatta Nairobi 臺(tái)站（緯度：1.31°S，經(jīng)度：36.91°E，海拔高程：1624m）的逐日歷史降雨強(qiáng)度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合。數(shù)據(jù)通過人工逐個(gè)查詢的方式在https://en.tutiempo.net/數(shù)據(jù)庫(kù)內(nèi)抓取。

圖1 表示1980—2018 年肯尼亞的日均降雨量，在2010年2 月13 日，出現(xiàn)了最大日降雨量341.54mm，該數(shù)據(jù)為近40年來最大降雨，在1980 年也出現(xiàn)了大于300mm 的日均降雨量。不考慮旱季和雨季情況下，上述38 年間，該臺(tái)站的日均降雨量為7.59mm，標(biāo)準(zhǔn)方差為9.97mm。這些數(shù)據(jù)對(duì)肯尼亞的氣象研究和區(qū)域內(nèi)相關(guān)基礎(chǔ)設(shè)施的建設(shè)和防災(zāi)具有重要意義。在未來的幾年中，可能還會(huì)有超過300mm 的日均降水量，短時(shí)強(qiáng)降雨對(duì)路基的影響不可忽視。

重現(xiàn)期是指在一定年代的雨量記錄資料統(tǒng)計(jì)期間內(nèi)，大于或等于某個(gè)暴雨強(qiáng)度的降雨出現(xiàn)一次的平均間隔時(shí)間，為該暴雨發(fā)生頻率的倒數(shù)。即某個(gè)程度的雨量，多少年出現(xiàn)一次，也是道路排水設(shè)計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)。該數(shù)據(jù)也是鐵路與公路等基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)部門十分關(guān)心的數(shù)據(jù)?；谏鲜鰵v史降雨記錄，采用正態(tài)分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布、Weibull 分布、Chi2 分布通過編制相應(yīng)的Python 計(jì)算程序推求了不同重現(xiàn)期下肯尼亞日均降雨量的情況（見表1）。

圖1 肯尼亞（1980—2018 年）日均降雨量（Jomo Kenyatta Nairobi 臺(tái)站）

表1 肯尼亞（1980—2018 年）日均降雨量推求（Jomo Kenyatta Nairobi 臺(tái)站）

從計(jì)算結(jié)果來看，采用正態(tài)分布擬合的結(jié)果得到的日降雨量數(shù)據(jù)在各個(gè)重現(xiàn)期下均是最小，而Chi2 分布擬合誤差略大；相對(duì)而言，使用三參數(shù)韋伯分布和對(duì)數(shù)正態(tài)分布擬合抽樣的效果較好。而盡管正態(tài)分布的擬合結(jié)果與其相差大，但是由于正態(tài)分布在理論上可能出現(xiàn)降雨值為負(fù)數(shù)的情況，因此，不建議使用。因此，該地區(qū)10a 一遇的日降雨量在20～23mm 較為恰當(dāng)；而20a 一遇的日降雨量則在24～30mm 較為恰當(dāng)；50a一遇的日降雨量則在33～40mm 較為恰當(dāng)，100a 一遇的日降雨量則在38～45mm 較為恰當(dāng)。

4 結(jié)論

本文在不同重現(xiàn)期的降雨量的推求中對(duì)概率分布模式（指數(shù)分布、皮爾遜Ⅲ型分布、韋伯分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布）進(jìn)行選擇，再通過對(duì)多種參數(shù)估計(jì)法的對(duì)比和擇優(yōu)，對(duì)如何提高分布模式的擬合精度具有一定的積極意義。而通常情況下，利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布或者Weibull 分布推求不同重現(xiàn)期下的降雨量，其參數(shù)擬合精度要高于其他概率分布模式。