一種雙擺效應(yīng)橋式起重機(jī)光滑魯棒控制方法

孫 寧， 張建一， 吳易鳴， 方勇純

(南開大學(xué) 機(jī)器人與信息自動(dòng)化研究所，天津 300350)

隨著現(xiàn)代工業(yè)化的發(fā)展，越來越多的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng) 被應(yīng)用到工業(yè)生產(chǎn)中，其自動(dòng)控制的實(shí)現(xiàn)也得到了自動(dòng)化領(lǐng)域相關(guān)研究人員的廣泛關(guān)注[1-5]。起重機(jī)系統(tǒng)是一類典型的欠驅(qū)動(dòng)機(jī)電一體化系統(tǒng)，其具有很強(qiáng)的運(yùn)載能力，目前被大量應(yīng)用于貨倉、車間、海港等其它工業(yè)場(chǎng)所，以完成貨物裝載與物料運(yùn)輸?shù)裙ぷ鳌Ｔ谪浳镞\(yùn)輸過程中，由于系統(tǒng)狀態(tài)之間高度耦合以及外界干擾的存在，當(dāng)臺(tái)車做加減速運(yùn)動(dòng)時(shí)，負(fù)載將不可避免地產(chǎn)生擺動(dòng)，在這種情況下，貨物運(yùn)輸?shù)男蕦⑹艿綐O大的影響，同時(shí)還會(huì)帶來安全隱患。目前，大部分的起重機(jī)系統(tǒng)仍采用人工操作的方式，而在一些對(duì)運(yùn)輸精度有較高要求的應(yīng)用場(chǎng)所，僅靠人工操作很難實(shí)現(xiàn)對(duì)起重機(jī)的精準(zhǔn)控制，同時(shí)難以消除負(fù)載殘余擺動(dòng)，帶來安全隱患。因此，綜合考慮上述現(xiàn)有問題，實(shí)現(xiàn)起重機(jī)系統(tǒng)的高性能自動(dòng)控制具有十分重要的應(yīng)用價(jià)值與意義。然而，起重機(jī)系統(tǒng)具有復(fù)雜的欠驅(qū)動(dòng)特性，其自動(dòng)控制問題依然存在許多難點(diǎn)與挑戰(zhàn)。

為解決上述所提問題，近年來國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者針對(duì)起重機(jī)系統(tǒng)的防擺問題展開了深入的研究[6-19]。然而，大多數(shù)現(xiàn)有研究均將臺(tái)車與負(fù)載視為單級(jí)擺動(dòng)結(jié)構(gòu)。但在實(shí)際應(yīng)用中，相對(duì)于負(fù)載而言，吊鉤質(zhì)量無法直接忽略不計(jì)，而且吊鉤與負(fù)載之間也存在一定的距離。在這種情況下，不僅吊鉤會(huì)圍繞臺(tái)車擺動(dòng)，負(fù)載也會(huì)繞吊鉤產(chǎn)生二級(jí)擺動(dòng)。因此，相比于單擺結(jié)構(gòu)，考慮雙擺效應(yīng)的起重機(jī)模型能夠更準(zhǔn)確地反映系統(tǒng)的真實(shí)特性。然而，兩級(jí)擺動(dòng)效應(yīng)給系統(tǒng)增加了一維不受控狀態(tài)量，使系統(tǒng)的欠驅(qū)動(dòng)性更強(qiáng)，其控制問題更是難上加難。目前，現(xiàn)有的基于單擺起重機(jī)的控制方法大多難以直接應(yīng)用于雙擺起重機(jī)系統(tǒng)或是難以得到理想的控制效果。

綜上可知，針對(duì)雙擺起重機(jī)系統(tǒng)， 設(shè)計(jì)有效的控制方法具有理論與實(shí)際的雙重重要意義。截至目前，已有部分學(xué)者針對(duì)雙擺起重機(jī)的控制問題提出了一些行之有效的控制方法，其中，現(xiàn)有方法大多數(shù)為開環(huán)控制方法[20-23]。Singhose等應(yīng)用輸入整形技術(shù)生成了臺(tái)車運(yùn)行的軌跡，并利用跟蹤控制器對(duì)該軌跡進(jìn)行跟蹤，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車定位，并消除了負(fù)載擺動(dòng)。Zhang等針對(duì)雙擺起重機(jī)消擺問題提出了一種在線軌跡規(guī)劃方法。需要指出的是，雖然開環(huán)控制方法易于實(shí)現(xiàn)，但它們對(duì)系統(tǒng)參數(shù)不確定性以及外部干擾的影響十分敏感；另一方面，由于針對(duì)雙擺起重機(jī)控制問題的研究仍處于早期階段，相比于開環(huán)控制方法，閉環(huán)控制方法較少[24-29]。其中，Tuan等提出了一種離散變結(jié)構(gòu)控制方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)臺(tái)車的精確定位以及兩級(jí)擺動(dòng)抑制。為了抑制系統(tǒng)的兩級(jí)擺動(dòng)，Masoud等構(gòu)造了一種延時(shí)反饋控制器。針對(duì)雙擺起重機(jī)系統(tǒng)中存在參數(shù)不確定性的情況，Sun等提出了一種自適應(yīng)防擺控制策略，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車的精準(zhǔn)定位，并有效的抑制了系統(tǒng)的雙擺擺動(dòng)。此外，郭衛(wèi)平等提出了一種基于系統(tǒng)無源性分析的方法，仿真結(jié)果證明其可以在一定程度上抑制系統(tǒng)的兩級(jí)擺動(dòng)。

針對(duì)存在兩級(jí)擺動(dòng)現(xiàn)象的起重機(jī)系統(tǒng)，本文提出了一種基于超螺旋(super twisting)的光滑魯棒防擺控制策略，其能夠在保證臺(tái)車快速精準(zhǔn)定位的前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)雙擺效應(yīng)的有效抑制。具體來講，首先分析了系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性并簡(jiǎn)化了系統(tǒng)模型，在此基礎(chǔ)上，構(gòu)造了一個(gè)線性滑模面，并基于超螺旋思想提出了一種非線性魯棒控制器。在理論方面，通過嚴(yán)格的理論分析證明了雙擺起重機(jī)系統(tǒng)的閉環(huán)穩(wěn)定性。在實(shí)際方面，硬件實(shí)驗(yàn)結(jié)果證實(shí)了所提控制策略具有優(yōu)良的控制性能以及較強(qiáng)的魯棒性。

1 問題提出

具有雙擺效應(yīng)的欠驅(qū)動(dòng)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的示意圖如圖1所示，其動(dòng)態(tài)方程可以表示為

(1)

(2)

(3)

式中：M為臺(tái)車的質(zhì)量；m1和m2分別為吊鉤和負(fù)載的質(zhì)量；x(t)為臺(tái)車的水平位移；θ1(t)和θ2(t)分別為吊鉤和負(fù)載相對(duì)于豎直方向的擺動(dòng)角度，即第一級(jí)擺動(dòng)與第二級(jí)擺動(dòng)；L1為吊繩長(zhǎng)度；L2為負(fù)載中心與吊鉤中心之間的距離；u(t)為施加在臺(tái)車上的控制力。

從式(1)～式(3)可以看出，系統(tǒng)有三個(gè)被控狀態(tài)量x(t)，θ1(t)和θ2(t)，但只有一個(gè)控制輸入u(t)，這表明該系統(tǒng)有兩個(gè)欠驅(qū)動(dòng)度，而傳統(tǒng)的單擺起重機(jī)的欠驅(qū)動(dòng)度只有一個(gè)，因此，本文所研究的問題更具挑戰(zhàn)。

圖1 雙擺橋式起重機(jī)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of double-pendulum bridge cranes

起重機(jī)系統(tǒng)的控制目標(biāo)是驅(qū)動(dòng)臺(tái)車到達(dá)指定位置xd，同時(shí)有效抑制兩級(jí)擺動(dòng)并消除殘余擺動(dòng)，即

(4)

在后續(xù)內(nèi)容中，將設(shè)計(jì)一種魯棒控制器實(shí)現(xiàn)式(4)中所描述的控制目標(biāo)。

2 主要結(jié)果

這一節(jié)將詳細(xì)描述本文所取得的主要成果。首先，對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了初步分析和處理，進(jìn)而給出了控制器設(shè)計(jì)過程以及相應(yīng)的理論分析。

2.1 模型變換

在進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)之前，首先對(duì)原系統(tǒng)模型式(1)～式(3)進(jìn)行合理的近似處理?？紤]到在實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)景中，擺角θ1(t)和θ2(t)通常會(huì)保持在10°以內(nèi)，因此存在近似關(guān)系

cosθi≈1, cos(θ1-θ2)≈1, sinθi≈θi

基于上述角度的近似關(guān)系，可將原系統(tǒng)模型在平衡點(diǎn)附近做近似線性化處理，同時(shí)將式(2)和式(3)分別除以(m1+m2)L1和m2L2，可以得到系統(tǒng)近似模型為

(5)

(6)

(7)

接下來，構(gòu)造廣義信號(hào)

φ=x+L1θ1+L2θ2

(8)

從幾何關(guān)系可以看出，上述廣義信號(hào)可以近似地反映負(fù)載的水平位移。將式(8)對(duì)時(shí)間t求二階導(dǎo)數(shù)，可得

(9)

將廣義信號(hào)表達(dá)式(9)代入式(7)，并對(duì)所得方程進(jìn)行整理可知

(10)

進(jìn)一步可以求得θ2(t)關(guān)于時(shí)間t的一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù)的表達(dá)式為

(11)

另一方面，用式(7)減去式(6)，易得

(12)

將式(10)和式(11)代入式(12)，整理可得

(13)

同理，不難得到關(guān)系式

(14)

結(jié)合式(8)、式(10)和式(13)，可以將臺(tái)車的位移表示為

(15)

對(duì)式(15)求二階導(dǎo)數(shù)，不難得到臺(tái)車的加速度表達(dá)式

(16)

根據(jù)式(11)、式(14)和式(16)，可將動(dòng)力學(xué)方程式(6)改寫為

(17)

m1+m2。

綜上所述，可知系統(tǒng)中的所有狀態(tài)量以及控制輸入都可以由新定義信號(hào)φ(t)和其導(dǎo)數(shù)的代數(shù)組合表示，故具有雙擺效應(yīng)的起重機(jī)系統(tǒng)是微分平坦的[30]，且此系統(tǒng)的平坦輸出即是廣義信號(hào)φ(t)。針對(duì)于這一特性，可以得知由式(5)～式(7)表示的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程與式(17)在本質(zhì)上是等價(jià)的。

根據(jù)式(17)的結(jié)構(gòu)，更準(zhǔn)確的雙擺起重機(jī)動(dòng)力學(xué)模型可描述為

(18)

式中：w為集總干擾項(xiàng)，它表示由未建模系統(tǒng)動(dòng)態(tài)、外界干擾以及近似線性化處理等其它因素所帶來的干擾的集合。因?qū)嶋H物理約束的存在，集總干擾項(xiàng)以及其導(dǎo)數(shù)都是有界的，即

(19)

2.2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)微分平坦性質(zhì)，可以得知式(4)所描述的控制目標(biāo)與式(20)是等價(jià)的

φ(t)→xd,φ(i)(t)→0,i=1,2, …， 6

(20)

式中：xd為臺(tái)車的目標(biāo)位置。不失一般性，針對(duì)于上述控制目標(biāo)，可以選擇設(shè)計(jì)控制器使φ(t)能夠跟蹤滿足如下條件的參考軌跡φr(t)

(21)

定義誤差信號(hào)為

(22)

進(jìn)而可得系統(tǒng)開環(huán)誤差方程

(23)

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的控制目標(biāo)，需要設(shè)計(jì)合適的控制器使e(i)(t)→0,i=0,1,…,6，為此，構(gòu)造如下的滑模面

(24)

式中：各參數(shù)λi,i=0,1, …，4滿足如下赫爾維茲多項(xiàng)式

s5+λ4s4+λ3s3+λ2s2+λ1s+λ0=0

(25)

將滑模面表達(dá)式(24)關(guān)于時(shí)間求導(dǎo)，并結(jié)合式(23)，經(jīng)過整理，易得到

(26)

根據(jù)(26)的形式，本文提出一種基于超螺旋的連續(xù)魯棒控制律，表達(dá)式為

(27)

式中:sgn(*)為符號(hào)函數(shù)，當(dāng)*>0時(shí)sgn(*)>0，當(dāng)*<0時(shí)sgn(*)<0，且當(dāng)*=0時(shí)sgn(*)=0；k1和k2為正的控制增益，在理論上需滿足

(28)

式中：q和p為滿足如下關(guān)系式的輔助參數(shù)

定理1所提控制器式(27)可以實(shí)現(xiàn)表達(dá)式(4)中描述的控制目標(biāo)，并可以保證系統(tǒng)中所有閉環(huán)信號(hào)有界。

證明將控制器表達(dá)式(27)代入式(26)中，可得閉環(huán)動(dòng)態(tài)方程

(29)

接下來，通過引入變量?，可將式(29)改寫為

(30)

進(jìn)而，結(jié)合式(28)，并應(yīng)用文獻(xiàn)[31]中定理2，可以推導(dǎo)得出，在有限時(shí)間內(nèi)

(31)

且結(jié)合式(19)中給出的邊界條件，進(jìn)一步可以得知

(32)

根據(jù)式(24)中給出的線性滑模面的形式，不難得到

ε(ι)→0,ι=0,1,…，6

(33)

結(jié)合式(4)、式(8)、式(20)～式(22)，可以證得

(34)

此外，根據(jù)線性滑模面式(24)的性質(zhì)，結(jié)合式(32)可知

ε(ι)∈Λ∞,ι=1, 2, …， 6

(35)

在此基礎(chǔ)上，由式(21)、式(24)和式(27)可推得

υ∈Λ∞

(36)

綜上，結(jié)合式(33)～式(36)，可知定理1成立。

注1從式(27)中所給出的控制器形式可以看到控制器包含了高階項(xiàng)[ε(ι)(τ),ι=2,…,5]，這些高階項(xiàng)在實(shí)際中均是可以獲取的。具體而言，聯(lián)合式(10)、式(11)、式(13)、式(14)和式(22)，可得

參考軌跡φρ(τ)的高階導(dǎo)數(shù)均存在且已知，因此控制器式(27)中所包含的高階項(xiàng)[ε(ι)τ,ι=2, …,5]均可獲得。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

為驗(yàn)證所提出方法的實(shí)際控制性能，在自主搭建的雙擺橋式起重機(jī)硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)上進(jìn)行了一系列實(shí)驗(yàn)。硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)如圖2所示，該平臺(tái)由機(jī)械平臺(tái)與電氣平臺(tái)兩部分構(gòu)成。其中，臺(tái)車、吊鉤、負(fù)載與導(dǎo)軌等構(gòu)成了機(jī)械平臺(tái)；電機(jī)、伺服驅(qū)動(dòng)器、編碼器、運(yùn)動(dòng)控制卡及上位機(jī)等構(gòu)成了系統(tǒng)的電氣部分。具體而言，在系統(tǒng)運(yùn)行過程中，臺(tái)車的位移通過電機(jī)內(nèi)置編碼器獲??；負(fù)載擺角與吊鉤擺角通過編碼器實(shí)時(shí)測(cè)量獲得。上述編碼器信號(hào)由運(yùn)動(dòng)控制卡采集并發(fā)送至上位機(jī)，經(jīng)過計(jì)算后得到控制信號(hào)，再經(jīng)過運(yùn)動(dòng)控制卡輸出至電機(jī)驅(qū)動(dòng)器，驅(qū)動(dòng)電機(jī)運(yùn)動(dòng)，以實(shí)現(xiàn)控制目標(biāo)。

硬件實(shí)驗(yàn)平臺(tái)的相關(guān)參數(shù)為

M=6.5 kg,m1=2.003 kg,m2=0.559 kgL1=0.53 m,L2=0.4 m

(37)

臺(tái)車的目標(biāo)位置為xd=0.6 m，因此

圖2 雙擺橋式起重機(jī)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.2 Hardware platform of double-pendulum bridge crane

通過數(shù)次實(shí)驗(yàn)調(diào)節(jié)，控制器式(27)的控制增益選擇為

k1=40.117,k2=9.836λ0=97.656 3,λ1=195.312 5,λ2=156.25λ3=62.5,λ4=12.5

(38)

為證實(shí)文中所提出控制方法具有優(yōu)良的性能，選取LQR控制方法作為對(duì)比實(shí)驗(yàn)。LQR控制器的表達(dá)式為

式中：ka,kb,kc,kd,ke,kf為控制增益，其目標(biāo)函數(shù)選擇為

ka=56.568 5,kb=29.371 4,kc=-65.591 1,kd=4.300 8,kb=2.397 6,kc=-3.785 9

實(shí)驗(yàn)結(jié)果見圖3～圖4以及表1。實(shí)驗(yàn)曲線由上而下分別代表臺(tái)車位移、一級(jí)擺動(dòng)、二級(jí)擺動(dòng)以及控制輸入。表1中：xf為臺(tái)車的最終到達(dá)位置；θ1 max和θ2 max分別為一級(jí)擺角和二級(jí)擺角的最大幅值；相應(yīng)地，θ1 res和θ2 res分別為臺(tái)車停止運(yùn)行之后一級(jí)擺動(dòng)和二級(jí)擺動(dòng)的最大殘余擺幅。圖3是所提控制器的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，從圖3中可以看出，臺(tái)車在4 s左右平穩(wěn)地運(yùn)行到了給定位置，同時(shí)結(jié)合表1給出的性能指標(biāo)可知，在整個(gè)運(yùn)行過程中，一級(jí)擺動(dòng)和二級(jí)擺動(dòng)均被抑制在2.5°以內(nèi)(θ1 max=1.9°,θ1 max=2.4°)，且?guī)缀醪淮嬖跉堄鄶[動(dòng)(θ1 res=0.2°，θ2 res=0.4°)。圖4以及表1給出了LQR控制器的控制效果和控制性能，相比于圖3中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，在運(yùn)送效率相似的情況下，使用LQR控制方法時(shí)系統(tǒng)的一級(jí)擺動(dòng)的最大擺幅約為6.8°，而二級(jí)擺動(dòng)的最大擺幅更是達(dá)到了8.5°。這表明本文所提出控制算法在擺動(dòng)抑制方面具有更好的性能，同時(shí)，2.5°左右的最大擺幅足以滿足絕大多數(shù)工作場(chǎng)所的要求，上述實(shí)驗(yàn)結(jié)果以及控制性能指標(biāo)表驗(yàn)證了所提方法的有效性，也說明了所提方法具有實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。

圖3 本文所提方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.3 Experimental results of the proposed method

圖4 LQR控制方法實(shí)驗(yàn)結(jié)果Fig.4 Experimental results of the LQR control method

性能指標(biāo)LQR控制方法本文所提方法xf/m0.60.6θ1 max/(°)6.81.9θ2 max/(°)8.52.4θ1 res/(°)0.60.2θ2 res/(°)0.60.4

4 結(jié) 論

為解決存在復(fù)雜雙擺效應(yīng)的欠驅(qū)動(dòng)起重機(jī)系統(tǒng)的消擺定位控制問題，本文提出了一種有效的光滑魯棒控制方法。首先對(duì)原動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行分析并得到了系統(tǒng)的近似模型，該模型可有效地描述雙擺起重機(jī)的特性?；诖私颇Ｐ停瑯?gòu)造了線性滑模面，并提出了一種基于超螺旋的非線性連續(xù)光滑控制律，實(shí)現(xiàn)了臺(tái)車的精準(zhǔn)定位與負(fù)載擺動(dòng)的有效消除。同時(shí)，通過嚴(yán)格的理論分析證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并進(jìn)行了一系列硬件實(shí)驗(yàn)測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了所提方法的有效性與優(yōu)良的控制性能。