未滿水覆杯實驗成敗的計算分析

陽 麗 白克釗 胡卓坤 張妙靜 榮 家

(廣西師范大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,廣西 桂林 541004)

圖1 未滿水覆杯實驗

“覆杯實驗”是常被用以驗證大氣壓存在的一個實驗．而未滿水覆杯實驗內(nèi)容為(圖1):在玻璃杯中裝一定高度的(未裝滿)水,用蓋片將杯口蓋好,用手按住將杯子倒置使得杯口向下,然后輕輕松開,當(dāng)水杯倒置之后蓋片仍然穩(wěn)穩(wěn)地“粘”在杯底,實驗成功．否則杯中蓋片和水下落,實驗失?。?/p>

1 未滿水覆杯實驗的研究現(xiàn)狀

學(xué)者們對于覆杯實驗原理的分析主要有3種觀點:[1-8]一種認為實驗成功的原因是水的表面張力托住杯中的水、紙片以及紙片下(吊起的)重物;[1]一種認為水的表面張力并不是實驗成功的唯一原因,是外界大氣壓、液柱壓強、表面張力形成的綜合作用才使得實驗成功;[2-4]大部分學(xué)者則認為覆杯實驗中表面張力的作用非常之小,可以忽略不計．[5-7]杯子倒置后,在杯內(nèi)水的重力作用下,蓋片會下沉,從而使杯子里的水向外滲出,杯內(nèi)氣體壓強變小,于是杯內(nèi)外氣體就有一定的壓強差,這就是覆杯實驗中托住水和蓋片的主要原因．于是部分學(xué)者對覆杯實驗做了定量計算,例如,文獻[8]分析了水沿處的表面張力、間隙水層的高度、水深度和紙片的滲水性對覆杯實驗成功的影響,并計算了水層間隙存在的最大值,認為只要杯子高度足夠低,杯內(nèi)水很多或者很少的時候,覆杯實驗都可以成功．文獻[9]認為紙片的浸潤對實驗的成功沒有影響,以及表面張力的作用非常之小,可以忽略不計．實驗成功與杯子的長度和空氣柱長度有關(guān),用玻意耳定律計算了杯子高度和空氣柱的高度、壓強之間的關(guān)系,認為杯子越長,空氣柱越長,實驗容易失敗,反之,實驗容易成功;文獻[10]利用紙片上下的壓強差,加上凹液面內(nèi)外壓強差與附著層水對凹面的表面張力平衡方程計算了極限情況下杯內(nèi)的空氣柱長度．他認為即便杯中空氣柱長度占據(jù)總長的4/5甚至更多,實驗依然可以成功．文獻[11]認為半杯覆杯實驗成功的原因是由于卡片微小的下移,他估算了下移高度的數(shù)量級并給出了幾點做好覆杯實驗的經(jīng)驗．文中認為用杯壁寬的杯子做實驗,成功率高．因為杯壁越寬,更有利于防止漏氣．

總之,在以往的研究中普遍認為覆杯實驗成功是由于杯子內(nèi)外的壓強差托住了水和紙片,當(dāng)實驗失敗的時候,大氣壓不能托住水和蓋片,從而蓋片和水分離并落下．

2 未滿水覆杯實驗原理分析

通過運用顯微鏡多次觀測未裝滿水的覆杯實驗后,發(fā)現(xiàn)了一些非常重要的細節(jié)．首先,覆杯實驗失敗時,蓋片與水并沒有分離,而是水和蓋片一直粘附在一起,共同下落(圖2);其次,覆杯實驗失敗時,空氣沿杯口由液橋上方進入杯中,之后氣泡逐漸上升且變大,然后水和蓋片同時一起下落．覆杯實驗失敗的直接原因是此時液橋內(nèi)部的壓強與表面附加壓強之合小于大氣壓強,使得空氣不斷進入杯中,從而無法形成穩(wěn)定的液橋．

圖2 實驗失敗過程高速攝影圖

現(xiàn)對未滿水的覆杯現(xiàn)象進行分析:倒置前杯子里面的氣體壓強為大氣壓,倒置瞬間,由于杯口壓強大于大氣壓強以及杯內(nèi)水的重力作用,杯子里的水就會往外流,蓋片下降,導(dǎo)致杯內(nèi)氣體的體積增大,壓強減小,杯口與蓋片出現(xiàn)間隙(即水層,如圖3所示),這個間隙稱為液橋．[12-13]本文針對水對蓋片潤濕,但蓋片不被水滲透的情況進行分析．由于水的潤濕性,實驗中放手前蓋板與杯口的緊密程度不同,液橋有幾種形狀.本文關(guān)注圖3情況．由于周圍大氣壓壓迫間隙的水,當(dāng)不考慮液橋那部分的重力的時候,壓差是一個常數(shù),即液橋液面在鉛直平面形狀是等曲率表面,形成側(cè)邊彎月面(凹面如圖4所示)．圖4為實驗示意圖．為了分析方便,液橋的比例被夸張放大．直圓柱形水杯內(nèi)部高為H,半徑為R,橫截面積為S,正立時加水高度為h,倒置后杯內(nèi)水的高度為h′,塑料蓋片的重量為G,杯口和水層之間的高度為D,液橋凹面的半徑為r,水與玻璃杯的接觸角為θ1,水與塑料蓋片的接觸角為θ2.

圖3 顯微鏡下實驗現(xiàn)象圖

圖4 實驗示意圖

2.1 平衡條件

由于水和蓋片接觸,水和紙接觸的部分就存在表面張力,表面張力方向與液橋的凹液面相切,力的方向豎直向上,但是表面張力的數(shù)值較小,并不能支撐杯內(nèi)水的重力．還需要考慮附加壓強的作用,即紙片會受到向上的毛細力的作用．毛細力是內(nèi)外壓差引起的吸引力和軸向上液體表面張力之和,[13]其中液體的表面張力利用公式F=γ×C(γ為液體表面張力,C為杯子的周長)進行計算,內(nèi)外壓強差可由Young-Laplace方程計算:

(1)

其中r′和r是液橋表面的主曲率半徑．r′是方位半徑,r是子午半徑(圖4中液橋凹液面的半徑)．

作用在蓋片上的毛細力可以寫為

F毛細=πx下2Δp+2πγx下.

(2)

當(dāng)蓋片不掉下時,以蓋片為研究對象在豎直方向可寫出平衡方程:

p0S下+F毛細力=p底S下+G,

(3)

其中p0為外界大氣壓強,F毛細力為液體與蓋片之間的毛細力,表現(xiàn)為向上的引力．p底為液體底部對蓋片的壓強．S下為液體與蓋片的接觸面積,其中

S下=π(R+rsinθ1-rsinθ2)2，

(4)

p底=p1+ρg(h′+D),

(5)

D=rcosθ2+rcosθ1.

(6)

液橋的體積為

(7)

其中x,y表示液橋上任意一點處的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)的數(shù)值．

x=R+rsinθ1-rsinθ,y=rcosθ2-rcosθ．

得到液橋的體積為

V=r3I+r2J+rK,

(8)

其中

k=π(cosθ1+cosθ2)R2.

由于杯子倒置過程時間較短,可近似看成等溫過程．倒置前杯內(nèi)氣體壓強為p0,倒置后杯內(nèi)氣體的壓強為p1,根據(jù)玻意爾定律可以得

p0S(H-h)=p1S(H-h′),

可得

(9)

聯(lián)立公式(1)-(9)式即可以解出P1、r、h′和D的數(shù)值．

當(dāng)杯子倒置之后形成液橋,空氣指向液體內(nèi)部的壓力壓迫液橋水面,形成凹面,液橋外部壓強為大氣壓強p0,p0=p液橋內(nèi)部+Δp,由公式(1)可計算出內(nèi)外壓強差Δp=γ(1/r-1/r′)．此時液橋上部(即杯口處)pM=p1+ρgh′．

當(dāng)p0-Δp≤pM時,實驗成功．

當(dāng)p0-Δp>pM時,實驗失敗,此時杯口出有空氣泡進入,氣泡半徑會迅速增大, 形成一個往上升的氣泡, 從而使水沿著杯子內(nèi)壁流出．

2.2 計算結(jié)果

實驗中用的蓋片質(zhì)量為5 g,杯子直徑6 cm．純水在20 ℃溫度下的表面張力系數(shù)為0.0728 N/m,θ1=37°,θ2=60°．[14]

圖5 計算結(jié)果

對上述方程進行數(shù)值計算,計算結(jié)果如圖5所示．杯子倒置之后,杯內(nèi)水下降的高度Δh/H,蓋片下移的高度D,子午半徑r均隨著水深比h/H呈現(xiàn)了非線性變化,其變化規(guī)律一致,曲線都是先增大后減小,Δh,D,r與h/H關(guān)系曲線對于h/H=0.5存在對稱性．(p0-p1)/p0隨h/H增加呈現(xiàn)出線性增加的規(guī)律．

當(dāng)h/H→0時,接近空杯情況下,倒置之后,杯內(nèi)水柱下降的高度Δh,D,r不大,杯內(nèi)空氣壓強(p0-p1)下降也不大．而當(dāng)接近滿水情況下,即h/H→1時,p0-p1→ρgh．倒置之后杯中水位只要下降一點點就會導(dǎo)致p1急劇下降．此時,蓋片外部和杯內(nèi)空氣的壓強差(p0-p1)/p0最大,曲線劇烈變化從而大氣壓足以將卡片牢牢地壓在杯口上,甚至把蓋片推向杯內(nèi)．蓋片為紙片時此現(xiàn)象非常明顯,紙片的中心微微地向杯內(nèi)凸出．

圖5中Δh,D,r與h/H關(guān)系曲線對于h/H=0.5存在對稱性．圖5中當(dāng)h/H=0.5,即水深是杯子高度的一半時,杯內(nèi)水下降高度Δh最大,同時蓋片下移高度D和液橋側(cè)面子午半徑r也最大,最易導(dǎo)致實驗失敗,這與文獻7結(jié)論一致．此時杯口處液體內(nèi)部壓強最小,空氣最易擠入杯內(nèi)．相對而言杯內(nèi)水柱h大于或者小于半杯水的高度時實驗較易成功．

圖5(c)中可見對于不同H的杯子而水深比h/H一樣的時,高杯子倒置之后杯內(nèi)水下降的高度比Δh/H大一些．這說明水深比h/H一樣時,高杯子做覆杯實驗較難成功．

3 結(jié)論

綜上所述,未滿水覆杯實驗成敗的關(guān)鍵在于是否能夠保持液橋的穩(wěn)定,尤其是液橋側(cè)面的穩(wěn)定.這不但要求液橋側(cè)面要求滿足平衡條件,對于擾動也要有一定的“抵抗力”．往往實驗失敗的原因在于下移高度大,導(dǎo)致抗擾動能力下降,使得空氣進入杯內(nèi),進而使得實驗失?。芯勘砻饔冒氡龈脖瓕嶒灂r,實驗最容易失敗;相同水深比時,高杯子做實驗,成功率較低．