利用GeoGebra繪圖實(shí)現(xiàn)全參數(shù)可調(diào)的振動(dòng)與波的疊加演示

王洪濤 石禮偉 李 艷

(中國(guó)礦業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,江蘇 徐州 221116)

采用計(jì)算機(jī)輔助手段生動(dòng)、直觀、動(dòng)態(tài)、全面的演示抽象、晦澀的知識(shí)點(diǎn)是符合時(shí)代特征和學(xué)習(xí)認(rèn)知規(guī)律的.[1-2]GeoGebra是一款包含了幾何、代數(shù)、表格、圖形、統(tǒng)計(jì)和微積分等功能的自由的跨平臺(tái)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件,不僅可以方便地通過(guò)鼠標(biāo)點(diǎn)擊進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何繪圖,也可以通過(guò)代數(shù)及指令輸入精確繪制復(fù)雜的圖形,而且能夠方便地通過(guò)變量滑動(dòng)條實(shí)現(xiàn)幾何圖形的動(dòng)態(tài)變化演示. 在物理學(xué)的具體教學(xué)過(guò)程中引入GeoGebra,充分發(fā)揮其在多功能幾何繪圖上的優(yōu)勢(shì),直觀形象、生動(dòng)全面地演示抽象的物理知識(shí),對(duì)教學(xué)效果會(huì)有很大的幫助和提升.[3-5]

1 振動(dòng)的疊加動(dòng)態(tài)演示

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)就是從一般振動(dòng)中概括出來(lái)的最基本的振動(dòng)形式,而振動(dòng)的疊加則是完成由簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)拓展到一般振動(dòng)的紐帶,因此振動(dòng)的疊加在教學(xué)中是一個(gè)很重要的知識(shí)點(diǎn). 而振動(dòng)的疊加原理只是明確某一時(shí)刻合振動(dòng)的位移等于各分振動(dòng)在同一時(shí)刻振動(dòng)位移的矢量和,理解起來(lái)比較抽象. 利用GeoGebra動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)繪圖軟件則可以生動(dòng)直觀地演示疊加的結(jié)果,并且可以靈活地調(diào)節(jié)各個(gè)參數(shù)改變輸出結(jié)果,使學(xué)生能夠深刻、全面地了解振動(dòng)疊加結(jié)果與各物理量之間的關(guān)系.

簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)方程包含了4個(gè)參數(shù),振幅A、周期T、初相位φ以及時(shí)間t,所以開(kāi)始繪圖時(shí)先建立如圖1所示共計(jì)10個(gè)參數(shù)滑動(dòng)條,確保疊加結(jié)果全參數(shù)可調(diào),各參數(shù)具體取值見(jiàn)表1.

表1 振動(dòng)疊加參數(shù)設(shè)定

為了整齊美觀,通過(guò)輸入坐標(biāo),如A=(0,0),B=(9,0),C=(9,9),G=(3,3)等,建立A～S等坐標(biāo)點(diǎn),用線段連接兩點(diǎn)進(jìn)行分區(qū)顯示. 振動(dòng)曲線的橫軸顯示范圍為3-7,而時(shí)間t的取值范圍為0-20,因此振動(dòng)點(diǎn)在t時(shí)刻的橫坐標(biāo)可以表示為3+t/5. 輸入P1=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+7.5)建立第1個(gè)坐標(biāo)隨時(shí)間t做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的點(diǎn). 同理建立參與疊加的第2個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)點(diǎn)P2=(3+t/5, A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+1.5). 合振動(dòng)則由P12表示,P12=(3+t/5, A1*cos(2*pi*t/T1+φ1*pi)+A2*cos(2*pi*t/T2+φ2*pi)+4.5). 對(duì)于垂直振動(dòng)的第3個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng),輸入P3=(A3*cos(2*pi*t/T3+φ3*pi)+1.5, 6-t/5). 當(dāng)考慮P1和P3兩個(gè)相互垂直的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加時(shí),建立點(diǎn)P13.該點(diǎn)在任意時(shí)刻的縱坐標(biāo)為P1在該時(shí)刻的縱坐標(biāo),而橫坐標(biāo)為P3點(diǎn)在該時(shí)刻的橫坐標(biāo),所以輸入P13=(x(P3),y(P1))建立合振動(dòng)點(diǎn). 為了顯示振動(dòng)軌跡,P1,P2,P3,P12,P13共5個(gè)點(diǎn)均需在右鍵菜單中勾選“顯示蹤跡”. 至此,一副能夠同時(shí)演示平行及垂直簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)疊加的全參數(shù)可調(diào)的動(dòng)態(tài)演示圖就繪制完畢. 附錄中圖1為同頻率平行振動(dòng)疊加及周期比為3∶4,相位差為0.5π的李薩如圖形演示結(jié)果. 附錄中圖2為不同頻率平行振動(dòng)疊加及周期比為7∶10,相位差為0.25π的李薩如圖形演示結(jié)果.可見(jiàn)當(dāng)兩個(gè)平行振動(dòng)頻率不同時(shí)疊加結(jié)果就不是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)了.根據(jù)理論可知,如果兩平行振動(dòng)的振動(dòng)頻率很大但差值很小則其疊加結(jié)果出現(xiàn)拍現(xiàn)象,如附錄中圖3所示.可以便捷地通過(guò)參數(shù)調(diào)節(jié)詳細(xì)討論振幅、周期及相位等參數(shù)對(duì)拍現(xiàn)象的影響結(jié)果.[6]

2 波動(dòng)的疊加動(dòng)態(tài)演示

簡(jiǎn)諧波的疊加可以分為兩大類(lèi),一類(lèi)是同向傳播的兩列波的疊加,另一類(lèi)是反向傳播的兩列波的疊加. 影響疊加結(jié)果的因素包括每列簡(jiǎn)諧波的振幅A、周期T、初相位φ及時(shí)間t,加上波的傳播方向一共有8個(gè)參數(shù),所以繪圖之前先建立8個(gè)參數(shù)滑動(dòng)條,如圖4所示,具體參數(shù)設(shè)置見(jiàn)表2. 同樣,為了顯示整齊,先建立坐標(biāo),如A=(0,-1),B=(12,-1),C=(12,12),K=(0,1.5),E=(0,3)等,然后用線段連接兩點(diǎn)進(jìn)行分區(qū). 輸入W1=IF(0

勾選正向傳播復(fù)選框,設(shè)定A1=0.75,A2=0.5,T1=T2=2,拖動(dòng)φ2滑動(dòng)條,改變兩列波的相位差,對(duì)應(yīng)的疊加波的變化軌跡如附錄中圖4所示. 相似的,可以通過(guò)調(diào)節(jié)任一參數(shù)對(duì)簡(jiǎn)諧波的疊加結(jié)果進(jìn)行動(dòng)態(tài)觀察,真正實(shí)現(xiàn)了波動(dòng)疊加的全參數(shù)可調(diào)動(dòng)態(tài)演示. 如果取消勾選正向傳播,而勾選反向傳播復(fù)選框,設(shè)定A1=0.5,A2=0.5,T1=T2=2,φ1=0,φ2=0.75,滿足頻率(周期)相同、振幅相同、波速相同、振動(dòng)方向相同、傳播方向相反的駐波條件,改變時(shí)間參數(shù)t即可得到駐波的疊加結(jié)果,如附錄中圖5所示,可以觀察到明顯駐波特征——波節(jié)和波腹. 一般學(xué)生容易覺(jué)得振幅相同不是形成駐波的必要條件,其實(shí)這種臆想很容易就可以通過(guò)演示來(lái)進(jìn)行證偽,振幅不同時(shí),疊加波的波形是不能“駐”下來(lái)的. 繪制過(guò)程簡(jiǎn)單的一副GeoGebra波動(dòng)疊加圖演示起來(lái)直觀、生動(dòng),并且可以對(duì)波的疊加問(wèn)題做到全參數(shù)可調(diào),不僅能夠有效的加深學(xué)生印象,而且給學(xué)生全面探索波動(dòng)疊加問(wèn)題提供了一種簡(jiǎn)單易行的方式.

表2 波動(dòng)疊加參數(shù)設(shè)定

3 小結(jié)

本文針對(duì)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)和簡(jiǎn)諧波的疊加這兩個(gè)相關(guān)物理教學(xué)內(nèi)容,采用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)繪圖工具GeoGebra進(jìn)行了全參數(shù)可調(diào)的動(dòng)態(tài)繪圖

演示,使學(xué)生能夠直觀的觀察到振幅、周期、相位差、振動(dòng)方向及傳播方向等物理量對(duì)疊加結(jié)果的影響,能夠有效地強(qiáng)化學(xué)生對(duì)抽象物理知識(shí)的理解和掌握,而且也給他們提供了一種簡(jiǎn)單易用的采用動(dòng)態(tài)作圖方法理解抽象物理規(guī)律的可行方法.

附錄

圖1 同周期(T=1.5)平行振動(dòng)的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=3∶4, Δφ=0.5π)

圖2 不同周期平行振動(dòng)的疊加及李薩如圖形(T1∶T2=7∶10, Δφ=0.25π)

圖3 拍現(xiàn)象及李薩如圖形(T1∶T2=1∶2, Δφ=0.5π)

圖4 同向傳播兩列波相位差對(duì)疊加結(jié)果的影響

圖5 同頻率同相位同振幅反向傳播兩列波形成的駐波演示