空間平行關系之間轉化框圖的解讀

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人教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》必修2第二章章末小結中有空間平行關系之間的轉化框圖，如圖1所示。

在復習中大家對此框圖往往忽視、輕視或者無視，事實上，此框圖是對空間平行關系內容的高度概括，方法的深度梳理，技巧的極度濃縮，值得多維度解讀，對處理空間平行問題會大有裨益。

1.三種平行關系是一個知識整體

三個框表明空間平行關系有且只有三種，三種平行“情同手足”，密不可分。解決平行問題時思維應形成這樣一種條件反射，即提到任一平行要自然想到另外兩種平行，孤立地看待任一平行關系都無法順利解題。

2.三種平行關系之間是互相轉化的

三種平行關系這個整體是動態(tài)的，框圖中的箭頭表示不同平行關系之間是互相轉化的。轉化化歸是解決平行問題最根本的思想方法，平行的判定是在不斷地轉化和更新中完成的，任意兩種平行關系之間都是可以互化的，用圖2表示三者之間的轉化關系也許更恰當，轉化的主要依據就是每種平行關系的判定定理和性質定理。每兩種平行關系之間轉化都是雙向的，比如線面平行的判定理是由線線平行判定線面平行，反過來，線面平行的性質定理又可以由線面平行判定線線平行。

圖2

例1如圖3，在四面體ABCD中，截面PQMN是正方形，則在下列命題中錯誤的是( )。

A.AC⊥BD

B.AC∥截面PQMN

C.AC=BD

D.異面直線PM與BD所成的角為45°

圖3

解：因為截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN。又PQ?面ADC，MN?面ADC，所以PQ∥面ADC。又因為面ABC∩面ADC=AC，PQ?面ABC，所以PQ∥AC。同理QM∥BD。故選項A，B，D正確，C錯誤。

3.線線平行是空間平行關系的基礎

框圖中的第一個框表明平行問題的突破口是線線平行，說明立體幾何的源頭在平面幾何，這正是學習的盲點，離開線線平行，線面平行和面面平行就缺少了源頭活水，無論怎么復習，都無法沖破平行判定的迷霧。因此同學們在學習時對線線平行的判定方法有必要進行如下補充：(1)平行線的定義；(2)三角形中位線平行底邊；(3)梯形中位線平行上下底；(4)平行四邊形(包括矩形、菱形、正方形)對邊平行；(5)平行線的三個判定定理；(6)平行線分線段成比例定理逆定理；(7)同一平面內，垂直于同一直線的兩條直線平行；(8)公理4(平行線的傳遞性)(9)線面平行的性質定理；(10)面面平行的性質定理；(11)線面垂直的性質定理；(12)兩直線的方向向量共線。

4.線面平行是三種平行關系的核心

框圖中的中間框就表明了線面平行的核心位置，線面平行上通面面平行下達線線平行，顯示出線面平行判定的兩種途徑，既可以通過線線平行判定也可以通過面面平行判定。

例2如圖4，平面PAC⊥平面ABC，E、F、O分別為線段PA、PB、AC的中點，G是線段CO的中點。證明：FG∥平面BOE。

證明：連接AF交BE于點Q，再連接OQ，因為E、F分別為線段PA、PB的中點，所以點Q是△PAB的重心，又O為線段AC的中點，G是線段CO的中點，所以2，所以FG∥OQ。因為FG?面BOE，OQ?面BOE，故FG∥平面BOE。

圖4

線面平行的判定除了上面的方法，還有以下判定方法：(1)線面平行的定義；(2)若平面外的兩條平行直線中的一條平行于平面，則另一條也平行于平面；(3)若一條直線平行于兩個平行平面中的一個，則也平行于另一個；(4)垂直于同一直線的直線和平面平行(線應在平面外)；(5)若直線的方向向量與平面的法向量垂直，則直線與平面平行(線應在平面外)。

5.面面平行也是空間平行關系的組成部分

框圖中最后一個框表示的面面平行也是平行關系這個整體中必不可少的組成部分，它與另兩種平行有著千絲萬縷的聯系，其判定方法分別如下：(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理；(3)面面平行判定定理的推論；(4)平行于同一平面的兩個平面平行(平行面的傳遞性)；(5)垂直于同一直線的兩個平面平行；(6)若兩個平面所夾的平行線段相等，則兩平面平行；(7)法向量共線的兩平面平行。

例3若a，b是異面直線，α，β是不同平面，a?α，b?β，a∥β，b∥α，則α∥β。

證明：在a上任取一點A，因為a，b異面，所以A?b，記A，b確定的平面為γ，γ∩α=c。因為b∥α，b?γ，所以b∥c。因為b?β，c?β，所以c∥β。又a∥β，且a?α，c?α，a∩c=A，所以α∥β。

以上是筆者對框圖的粗淺認識，讀者可以接著探討各平行關系的性質，以及各結論的圖形表示和符號表示，并參考此文對教材中空間垂直關系之間的轉化框圖進行類比解讀。