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    基于傅里葉級(jí)數(shù)的防偽扭索曲線設(shè)計(jì)?

    2019-11-29 05:14:42夏自由
    關(guān)鍵詞:底紋防偽級(jí)數(shù)

    夏自由

    (長(zhǎng)沙師范學(xué)院 長(zhǎng)沙 410100)

    1 引言

    扭索曲線是版紋防偽的基本要素。扭索曲線在防偽底紋制作上得到廣泛應(yīng)用。我國(guó)2005 年版、2015年版百元鈔票都采用了扭索曲線進(jìn)行防偽。

    在版紋防偽設(shè)計(jì)軟件中,扭索曲線主要通過數(shù)學(xué)函數(shù)生成,以正弦函數(shù)、余弦函數(shù)為主。曲線光滑、對(duì)稱、美觀,常規(guī)圖形設(shè)計(jì)軟件無法繪制出來,具有一定的防偽性,同時(shí)可對(duì)正(余)弦函數(shù)進(jìn)行線性運(yùn)算,改變曲線的形狀,提升扭索曲線的防偽性能[1~4]。

    2 傅里葉級(jí)數(shù)理論

    根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)理論,周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示,如式(1)所示[5~6]。

    反過來,用有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)可構(gòu)建周期函數(shù),生成扭索曲線,曲線的波形為各單項(xiàng)函數(shù)的諧波之和[7~11]。

    采用傅里葉級(jí)數(shù)公式建立的曲線光滑、美觀,而且具有一定的周期性,適合制作防偽扭索曲線。而且,曲線形狀隨傅里葉級(jí)數(shù)中單項(xiàng)函數(shù)的幅值變化而變化,曲線的防偽效果好,仿造者如沒有破解復(fù)合函數(shù)的參數(shù),就無法仿制出曲線。因此,傅里葉級(jí)數(shù)公式適用于防偽扭索曲線設(shè)計(jì)[12~18]。

    3 實(shí)驗(yàn)

    采用傅里葉級(jí)數(shù)公式設(shè)計(jì)扭索曲線時(shí),為了保證曲線的美觀度,需要按照一定的規(guī)律來構(gòu)建復(fù)合函數(shù)。本研究采用Cerber3.0 防偽版紋設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行實(shí)驗(yàn),探尋復(fù)合函數(shù)構(gòu)建中,諧波分量、級(jí)數(shù)對(duì)曲線形狀的影響。

    Cerber3.0為俄羅斯開發(fā)的防偽版紋設(shè)計(jì)軟件,可基于圖形界面構(gòu)建二維傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)合函數(shù)。如圖1所示。

    圖1 Cerber3.0中傅里葉級(jí)數(shù)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)建

    諧波AB 表示Y 軸方向傅里葉級(jí)數(shù)的各單項(xiàng)函數(shù)的幅值,對(duì)應(yīng)式(2)。諧波CD 表示X軸方向傅里葉級(jí)數(shù)的各單項(xiàng)函數(shù)的幅值,對(duì)應(yīng)式(3)。

    構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí),諧波A、B、C、D 的值采取相對(duì)值方式,大小范圍為-10~10,級(jí)數(shù)n 的范圍為0~255 級(jí)。設(shè)置好復(fù)合函數(shù)的參數(shù)后,就可生成對(duì)應(yīng)的扭索曲線。

    3.1 Y軸方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

    Y 軸方向,基于公式(2)構(gòu)建復(fù)合函數(shù),曲線的波形沿著Y軸方向進(jìn)行諧波變換。如圖2所示。

    圖2 Y軸方向復(fù)合函數(shù)的曲線形狀

    從圖3 中可以看出,當(dāng)級(jí)數(shù)為1 時(shí),可生成正(余)弦曲線;當(dāng)級(jí)數(shù)為2 時(shí),可生成雙頻干涉扭索曲線;隨著級(jí)數(shù)的增加,曲線的形狀變得復(fù)雜。

    在實(shí)際應(yīng)用中,為了保持曲線的美觀,需要按照一定的原則設(shè)置n、A、B的值。有以下幾個(gè)原則:

    1)級(jí)數(shù)n 決定一個(gè)周期內(nèi)Y 軸方向波峰的數(shù)量,最多波峰數(shù)量與n值相等。

    2)調(diào)整A、B值,會(huì)改變曲線波峰、波谷的形狀、位置。

    3)當(dāng)B 取值都為0 時(shí),復(fù)合函數(shù)都是由余弦函數(shù)構(gòu)成,形成的函數(shù)曲線具有左右對(duì)稱性。如圖3所示。

    圖3 B=0,復(fù)合函數(shù)的曲線左右對(duì)稱

    3.2 X軸方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

    X 軸方向,基于式(3)構(gòu)建復(fù)合函數(shù),曲線的波形沿著X軸方向進(jìn)行諧波變換。如圖4所示。

    圖4 X軸方向復(fù)合函數(shù)調(diào)整曲線形狀

    從圖4 中可以看出,調(diào)整C、D 值,曲線波形出現(xiàn)傾斜、交錯(cuò)的效果。在實(shí)際應(yīng)用中,為了保持曲線的美觀,需要按照一定的原則設(shè)置n、C、D 的值。有以下幾個(gè)原則:

    1)級(jí)數(shù)n 決定一個(gè)周期內(nèi)X 軸方向波峰的數(shù)量,最多波峰數(shù)量與n 值相等。另外,如果曲線形成交錯(cuò)效果時(shí),最多的交錯(cuò)次數(shù)也與n值相等。

    2)調(diào)整C、D 值,曲線在X 軸方向進(jìn)行諧波變換,即曲線沿著X軸方向出現(xiàn)傾斜或變形。

    3)當(dāng)D 取值為0 時(shí),式(3)中的復(fù)合函數(shù)都是由余弦函數(shù)構(gòu)成,形成的波形曲線具有上下旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性。如圖5所示。

    圖5 D=0,復(fù)合函數(shù)的曲線上下旋轉(zhuǎn)對(duì)稱

    3.3 二維方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)

    在X軸、Y軸方向同時(shí)構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí),曲線在X軸方向、Y軸方向同時(shí)進(jìn)行諧波變換,形狀變得復(fù)雜。如圖6所示。

    4 結(jié)果分析

    根據(jù)以上分析,利用傅里葉級(jí)數(shù)公式,可以復(fù)合出復(fù)雜的三角函數(shù),對(duì)應(yīng)的扭索曲線復(fù)雜,仿制難度非常大,同時(shí)又具有周期性,適合用于防偽底紋的制作。但設(shè)計(jì)制作防偽底紋時(shí),還需要考慮底紋的美觀因素,因此并不是任意復(fù)合函數(shù)都適用于扭索曲線的設(shè)計(jì)。綜合考慮,利用傅里葉級(jí)數(shù)公式制作扭索曲線時(shí),以下設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)值得借鑒。

    圖6 二維方向構(gòu)建復(fù)合函數(shù)形成的曲線

    1)構(gòu)建的復(fù)合函數(shù)時(shí),使用的級(jí)數(shù)越多,生成曲線越復(fù)雜,防偽效果越好,但級(jí)數(shù)增加,一方面會(huì)增加計(jì)算的時(shí)間,軟件處理速度變慢,另一方面,值越大,調(diào)整意圖具有盲目性,效果也無法控制,導(dǎo)致曲線形狀過于復(fù)雜,影響版紋的美觀度。當(dāng)Y 軸方向達(dá)到4 級(jí),X 軸方向達(dá)到2 級(jí)時(shí),曲線被反向分解破解的難度已經(jīng)較大,生成的曲線較為美觀。

    2)構(gòu)建復(fù)合函數(shù)時(shí),諧波B、D 的值設(shè)置為0,只調(diào)整A 值、C 值,扭索曲線具有對(duì)稱性,制作的底紋美觀度高。

    3)利用傅里葉級(jí)數(shù)公式建立的復(fù)合函數(shù),曲線形狀各異,但并不是所有的曲線都適用于制作防偽版紋,因?yàn)檫€要考慮版紋的美觀性。生產(chǎn)應(yīng)用中,可以通過實(shí)驗(yàn)選擇適合的復(fù)合函數(shù)來制作扭索曲線。圖7為復(fù)合函數(shù)曲線制作的防偽底紋效果。

    圖7 復(fù)合函數(shù)曲線及底紋填充效果

    5 結(jié)語(yǔ)

    利用傅里葉級(jí)數(shù)公式設(shè)計(jì)防偽扭索曲線時(shí),需要把防偽性能與美觀度結(jié)合起來。復(fù)合函數(shù)的參數(shù)簡(jiǎn)單,造假者容易破解參數(shù),仿制出版紋;復(fù)合函數(shù)參數(shù)復(fù)雜,曲線形狀變得復(fù)雜,版紋的美觀度降低。因此,設(shè)計(jì)時(shí)需要綜合考慮,平衡處理。

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