全國(guó)名校雙曲線測(cè)試卷答案與提示

一、選擇題

1.D 2.C 3.A 4.B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.A 10.A 11.D 12.A 13.B 14.B 15.D 16.B 17.C 18.C 19.C 20.C 21.A 22.C 23.A 24.A

二、填空題

三、解答題

35.設(shè)符合題意的直線l存在,并設(shè)P(x1,x2),Q(x2,y2)。

36.(1)因?yàn)殡x心率e=,所以設(shè)所求雙曲線方程為x2-y2=λ(λ≠0)。

所以雙曲線方程為x2-y2=6。

(2)若點(diǎn)M(3,m)在雙曲線上,則32-m2=6,m2=3。

37.(1)解法1,依題意知a2+b2=4。設(shè)雙曲線方程為=1(0＜a2＜4),將點(diǎn)(3)代入上式,得=1。解得a2=18(舍去)或a2=2,所求雙曲線的方程為。

解法2：依題意得,雙曲線的半焦距c=2。2a=|PF1|-|PF2|==,a2=2,b2=c2-a2=2。

雙曲線C的方程為

(2)依題意知直線的斜率存在,可設(shè)直線l的方程為y=kx+2。代入雙曲線C的方程并整理得：

38.(1)設(shè)P(x1,y1)是雙曲線上任意一點(diǎn),該雙曲線的兩條漸近線方程分別是x-2y=0和x+2y=0。

點(diǎn)P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個(gè)常數(shù)。

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x,y),則|PA|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+

因?yàn)閨x|≥2,所以當(dāng)x=時(shí),|PA|2的最小值為,即|PA|的最小值為。

39.(1)設(shè)OA=m-d,AB=m,OB=m+d。

由勾股定理可得：

(2)不妨設(shè)l1：y=,過(guò)F的直線方程為y=,與雙曲線方程=1聯(lián)立,將a=2b,c=代入,化簡(jiǎn)得

(2)設(shè)P的坐標(biāo)為(x0,y0),則Q的坐標(biāo)為(-x0,-y0)。

λ==(x0,y0-1)·(-x0,-y0-1)=

因?yàn)閨x0|≥,所以λ的取值范圍是(-∞,-1]。

(3)若P為雙曲線C上第一象限內(nèi)的點(diǎn),則直線l的斜率。

當(dāng)k∈時(shí),s(k)=

s可表示為直線的斜率k的函數(shù)：

41.(1)設(shè)雙曲線C的方程為=1(a＞0,b＞0)。

(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+m(k≠0)。點(diǎn)M(x1,y1),N(x2,y2)的坐標(biāo)滿足方程組

此方程有兩個(gè)不等實(shí)根,于是5-4k2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k2)(4m2+20)＞0,整理得m2+5-4k2＞0。③

由根與系數(shù)的關(guān)系可知線段的中點(diǎn)坐標(biāo)(x0,y0)滿足

從而線段MN的垂直平分線方程為y-

此直線與x軸,y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為

由題設(shè)可得：

所以k的取值范圍是