復(fù)Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann模型分析解

張建影,閆廣武,李 婷,3

(1.長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;2.吉林大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)春 130012;3.吉林化工學(xué)院 理學(xué)院,吉林 吉林 132022)

復(fù)Ginzburg-Landau方程在許多物理領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛[1-2].文獻(xiàn)[3-4]研究表明,用格子Boltzmann方法(LBM)求解復(fù)Ginzburg-Landau方程具有簡(jiǎn)單有效、數(shù)值精度高等優(yōu)點(diǎn).該方法的思想是通過(guò)構(gòu)造格子Boltzmann方程中的平衡態(tài)分布函數(shù)得到所模擬的宏觀方程,通過(guò)尋找平衡態(tài)分布函數(shù)的矩函數(shù)給出平衡態(tài)分布函數(shù)與宏觀量之間的變換,再進(jìn)一步通過(guò)格子Boltzmann方程給出下一時(shí)刻的分布函數(shù)[5].在某種條件下,上述分布函數(shù)存在分析解[6-7].本文利用Chapman分析方法,給出系列偏微分方程以及Chapman多項(xiàng)式的一般形式,通過(guò)求解復(fù)Ginzburg-Landau方程的平衡態(tài)分布函數(shù),給出不同時(shí)間尺度上的分布函數(shù)表達(dá)式,從而不需要格子Boltzmann方程迭代可以直接給出分布函數(shù),進(jìn)而得到復(fù)Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann分析解.

1 系列偏微分方程及Chapman多項(xiàng)式

考慮二維的FHP(Frisch-Hasslacher-Pomeau)網(wǎng)格,在位置x、時(shí)刻t定義具有粒子速度eα的復(fù)分布函數(shù)Fα(x,t),其實(shí)部和虛部可視為兩種單粒子分布.復(fù)變量A(x,t)定義為

(1)

為得到穩(wěn)定的宏觀量A(x,t),假設(shè)分布函數(shù)Fα(x,t)具有平衡態(tài),即

(2)

定義Knudsen數(shù)ε=l/L,其中:l為粒子平均自由程;L為特征長(zhǎng)度.選擇時(shí)間步長(zhǎng)Δt與Knudsen數(shù)相等[3],則復(fù)格子Boltzmann方程為

(3)

其中: 實(shí)常數(shù)τ為單松弛時(shí)間因子；變量ωα(x,t)為非碰撞項(xiàng),表示分布函數(shù)的增量, 假設(shè)其具有多尺度形式：

(4)

在小Knudsen數(shù)的假設(shè)下,對(duì)Fα(x,t)做Chapman-Enskog展開(kāi),得

(5)

(6)

引入時(shí)間多尺度t0,t1,…,滿足

tn=εnt,n=0,1,…,

(7)

將式(5),(7)代入式(3),并做Taylor展開(kāi),可得前6個(gè)不同時(shí)間尺度上的系列偏微分方程[3]：

在方程(8)～(13)中,

(14)

ωα(x,t)=ε2θα(x,t),

(15)

則由式(8),(9)可得到系列偏微分方程的一般表達(dá)式:

(16)

其中:

(17)

表達(dá)式(16)對(duì)于i>6的情形仍然成立.

2 復(fù)Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann模型

其中:δkj表示Kronecker符號(hào);λ為由Knudsen數(shù)和松弛因子確定的實(shí)參數(shù).對(duì)式(8)兩端關(guān)于α求和,得到一階宏觀方程,即t0時(shí)間尺度上的守恒律：

(21)

將式(8)+式(9)×ε,再關(guān)于α求和,可得二階宏觀方程：

(22)

式(22)是具有二階截?cái)嗾`差O(ε2)的復(fù)Ginzburg-Landau方程,其中

λε(τ-1/2)=1,

(23)

(24)

(25)

(26)

在式(25),(26)中,D(=2)為空間維度,b(=6)為連接到相鄰節(jié)點(diǎn)的方向數(shù),c=|eα|為粒子運(yùn)動(dòng)速度,參數(shù)β可以是實(shí)數(shù)或復(fù)數(shù).由于方程中不包含源項(xiàng)的對(duì)流項(xiàng),故假設(shè)θα和α(α=1,2,…,b)無(wú)關(guān)[3],則可得

θα(x,t)=ξH(A),α=1,2,…,b,

(27)

θ0(x,t)=(1/ε-bξ)H(A),

(28)

其中ξ是待定參數(shù).

3 任意階分布函數(shù)的計(jì)算

式(16)也可寫(xiě)成

將式(9)+式(10)×ε+…+式(29)×εi-1,再關(guān)于α求和,得

(30)

在式(30)中,誤差項(xiàng)Ei-1為

(31)

(35)

作用于θα的算子Δ的指數(shù)部分滿足如下關(guān)系:

(36)

p+s-Nsj,s-1=i-Nij,i-1,

(37)

p+s-2-Nsj,s-3=i-2-Nij,i-3.

(38)

因此,式(34)可以寫(xiě)成

(41)

從而求得分布函數(shù)Fα解析解的級(jí)數(shù)形式.用上述方法可以得到任意階精度的解析解.例如,若取到前三階,則Fα為

將平衡態(tài)分布(25),(26)及附加分布(27),(28)代入式(42),再由式(21)可得

(44)

將式(9),(10)關(guān)于α求和,并由式(21)可得

(45)

(46)

將其代入式(43),(44)可得Fα的解析解形式為

綜上可見(jiàn),當(dāng)構(gòu)造復(fù)Ginzburg-Landau方程的格子Boltzmann 模型時(shí),由于使用的附加項(xiàng)是小Knudsen數(shù)的二階假設(shè),使得任意階的系列偏微分方程變成顯式,從而可得到不同尺度上的分布函數(shù).該方法對(duì)其他非線性偏微分方程的格子Boltzmann模型解析解的構(gòu)造有參考作用.