帶有白噪聲的Berger方程隨機(jī)吸引子

汪 璇,宋 安

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,蘭州 730070)

0 引 言

考慮U?2中具有光滑邊界?U有界開區(qū)域的隨機(jī)Berger方程[1-2]：

(1)

假設(shè)方程(1)的非線性項(xiàng)f∈C2(),且滿足如下條件:

增長性條件

(2)

耗散性條件

(3)

sf(s)≥C3(F(s)-1), ?s∈+.

(4)

假設(shè)函數(shù)M:+→+是C1上的增函數(shù),且存在正常數(shù)C4,使得

M(s)≤C4(1+sγ/2), 0<γ<1/2, ?s∈+,

(5)

并且

(6)

本文考慮Berger方程中解的隨機(jī)漸近性行為,用文獻(xiàn)[13-15]建立的方法,通過引入同構(gòu)映射構(gòu)造等價(jià)過程,用漸近先驗(yàn)估計(jì)技術(shù)和算子分解方法驗(yàn)證解過程的緊性,進(jìn)而證明Berger方程隨機(jī)吸引子的存在性.為方便,本文中的C和Ci均表示正常數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(X,‖·‖X)為可分的Banach空間,具有Borelσ-代數(shù)B(X).

定義1[13-15]設(shè)(Ω,F,)為概率空間,θt:Ω→Ω,t∈為一族保測(cè)變換,(t,ω)θtω為(B(+)×F,F )可測(cè),且滿足:

1)θ0=id;

2)θt+s=θtθs,?t,s∈.

則稱(Ω,F,,(θt)t∈)為可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng).

定義2[13-15]設(shè)(Ω,F,,(θt)t∈)為可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng),若映射φ:+×Ω×X→X為(B(+)×F×B(X),B(X))可測(cè),且滿足:

1)φ(0,ω)x=x,?x∈X,ω∈Ω;

2)φ(t+s,ω)=φ(t,θsω)°φ(s,ω),?t,s∈+,x∈X,ω∈Ω.

則稱(θ,φ)為X上的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(RDS).進(jìn)一步,若φ(t,ω):X→X是連續(xù)的,則稱(θ,φ)為X上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

定義4[13-15]設(shè)K(ω)為隨機(jī)集,B為X中的任意有界子集,若存在tB(ω),使得對(duì)所有的t≥tB(ω),均有

φ(t,θ-tω)B?K(ω), -a.e.ω∈Ω,

則稱K(ω)為X中的隨機(jī)吸收集.

定義5[13-15]設(shè)K(ω)為隨機(jī)集,B為X中的任意有界子集,若

其中,d(·,·)表示Hausdorff半距離,即

則稱K(ω)吸引X中的有界集,即K(ω)稱為X中的隨機(jī)吸引集.

設(shè)φ(t,θ-tω)x表示系統(tǒng)在-t初始時(shí)刻、位于點(diǎn)x時(shí)在0時(shí)刻的軌跡,并且系統(tǒng)的吸引性從t=-∞開始.

定義6[13-15]若隨機(jī)集A={A(ω)}ω∈Ω?X滿足:

1) A是隨機(jī)緊集;

2) A是不變的,即對(duì)?t≥0,-a.e.ω∈Ω,φ(t,ω)A(ω)=A(θtω);

3) A吸引X中的所有確定的有界集B.

則稱A為隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)φ的隨機(jī)吸引子.

定義7[13-14]設(shè)φ為可測(cè)動(dòng)力系統(tǒng)(Ω,F,,(θt)t∈)及空間X上的連續(xù)隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng),若存在隨機(jī)緊集K(ω),使得對(duì)于任意非隨機(jī)有界集B?X,均有則φ存在一個(gè)隨機(jī)吸引子其中,B取遍X中的有界子集,ΛB(ω)是B的ω-極限集,即

定理1[13-14,16-17]連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)有隨機(jī)吸引子的充要條件為系統(tǒng)存在緊的隨機(jī)吸引集.

定理2[18]設(shè)-是Banach空間X上C0-半群T(t)=e-t的無窮小生成元,f:X×[t0,T]×Ω→X關(guān)于t∈[t0,T]是連續(xù)的,且在X上 -a.e.ω∈Ω一致Lipschitz連續(xù),即存在L(ω)>0,使得

‖f(u,t,ω)-f(v,t,ω)‖≤L(ω)‖u-v‖,

則對(duì)每個(gè)u0∈X,-a.e.ω∈Ω,初值問題

存在唯一的溫和解

并且映射u0→u是從X到C([t0,T];X)為 -a.e.ω∈ΩLipschitz連續(xù)的.

2 解的存在唯一性

〈y1,y2〉E=〈u1,u2〉2+〈v1,v2〉, ?yi=(ui,vi)T∈E,

設(shè)A=Δ2,定義Hr=D(Ar/4),r∈,相應(yīng)的內(nèi)積和范數(shù)分別定義為

〈u,v〉r=〈Ar/4u,Ar/4v〉, ‖·‖r=‖Ar/4·‖.

則

(7)

其中λ1為Laplace算子A1/2在Dirichlet邊值條件下的第一特征值.

設(shè)

(8)

由變換u=u,z=ut+εu-q(x)W可得如下隨機(jī)偏微分方程:

(9)

與方程(1)相比,方程(9)沒有隨機(jī)導(dǎo)數(shù)項(xiàng).令

則式(9)可以轉(zhuǎn)換為

(10)

根據(jù)文獻(xiàn)[18]可知,-L是E上一個(gè)C0-半群e-Lt的無窮小生成元.易驗(yàn)證函數(shù)G(·,ω):E→E對(duì)每個(gè)ω∈Ω是關(guān)于φ全局Lipschitz連續(xù)和有界的.由定理2可知,對(duì)每個(gè)φ(τ,ω)∈E,隨機(jī)偏微分方程(10)均有唯一的溫和解:

對(duì)任意的T>0及 -a.e.ω∈Ω,如下性質(zhì)成立:

1) 若φ(τ,ω)∈E,則式(10)有唯一解φ(τ,ω)∈C([τ,τ+T);V)×C([τ,τ+T);H);

2)φ(t,φ(τ,ω))關(guān)于t和φ(τ,ω)連續(xù);

3) 系統(tǒng)(10)在E上生成一連續(xù)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(θ,Sε(t,ω)),即

(11)

為了得到隨機(jī)偏微分方程(1)和方程(9)解的共軛性,引入同構(gòu)映射

R(θtω):y→(y1,y2-εy1+q(x)W(t,ω))T,y=(y1,y2)∈E,

其逆同構(gòu)為

R-1(θtω):y→(y1,y2+εy1-q(x)W(t,ω))T,

即映射為

S(t,ω)=R(θtω)Sε(t,ω)R-1(θtω),

(12)

因而確定了方程(1)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng).

構(gòu)造變換

η1=u(t),η2=ut+εu(t).

(13)

引入同構(gòu)映射Tε:y→(y1,y2+εy1)T,y=(y1,y2)T∈E,其逆映射T-ε:y→(y1,y2-εy1)T,則由映射

(14)

3 隨機(jī)吸引子的存在性

類似于文獻(xiàn)[19-20]可得以下結(jié)果.

引理1對(duì)于任意的φ=(u,z)T∈E,成立

證明: 由于

結(jié)合式(7),(8)并利用Young不等式,可得

證畢.

‖φ(-1,ω;φ(τ,ω))‖E≤r0(ω),τ≤T(B),

并且對(duì)于所有的τ≤t≤0,

(15)

z(t,τ)=ut(t)+εu(t)-q(x)W(t),

其中

同時(shí),若將φ(-1)替換為η(-1)=(η1,η2)T=(u(-1),ut(-1)+εu(-1))T,也可得類似結(jié)果.

證明: 在E中對(duì)方程(10)兩邊分別用φ=(u,z)T做內(nèi)積,得

(16)

其中

對(duì)式(17)右端每一項(xiàng)做如下估計(jì):

(18)

根據(jù)式(5),(6)可知,

再利用條件(4)和式(21),可得

其中,

于是由Gronwall引理可得

令

(25)

且

(26)

證畢.

(27)

和

的解.

引理3如果非線性項(xiàng)滿足條件(2)～(4),M(·)滿足條件(5),(6),并設(shè)B?E為非隨機(jī)集,則對(duì)任意的(u0,u1+εu)T∈B,有

其中:Y1=(y1,y1t+εy1)T,y1滿足方程(27);τ≤0.

證明: 對(duì)方程(27)用v=y1t+εy1在L2(U)中做內(nèi)積,可得

易知

(31)

由于M∈C1(+;+)且‖u‖2有界,故存在正常數(shù)C,使得M(‖u‖2)≤C,則

(32)

將式(31),(32)代入式(30),可得

(33)

-〈M(‖u‖2)Δy1,v〉≥0

(34)

將式(31),(34)代入式(30),可得

(35)

于是由Gronwall引理可知式(29)成立,證畢.

下面取σ=1/4.

(36)

成立,其中Y2=(y2,y2t+εy2-q(x)W)T,y2滿足方程(28).

證明: 設(shè)Y2=(y2,y2t+εy2-q(x)W)T,則方程(28)可轉(zhuǎn)換為

Y2t+LY2=N(Y2,ω),Y2(τ)=(0,-q(x)W(τ))T,

(37)

其中,

并且

用A(1+σ)/2Y2與式(37)在E上做內(nèi)積,得

(38)

類似于引理1,可得

并且

運(yùn)用Young不等式,有

(41)

并且

結(jié)合式(2),(15)及Sobolev嵌入定理知,f′(s)∈L∞(U),即存在l>0,使得

|f′(s)|L∞≤l.

(45)

由式(45),(7)及Young不等式,有

(46)

將式(39)～(44),(46)代入式(38),可得

應(yīng)用Gronwall引理及引理3,可得

令

定理3如果非線性函數(shù)f∈C2()滿足條件(2)～(4),M(·)滿足條件(5),(6),且則方程(10)對(duì)應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)S(t,ω)在E中擁有非空緊的隨機(jī)吸引子A.

故對(duì)于所有的t≥0,有

d(Sε(t,θ-tω)B,B1(ω))→0,t→+∞.

從而方程(10)所確定的隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)S(t,ω)有一致漸近緊的吸引集B1(ω)?E,即S(t,ω)在E中一致漸近緊.應(yīng)用定理1可知,隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)S(t,ω)在E中有非空緊的隨機(jī)吸引子A.

注1若方程(1)滿足兩端固定的邊界條件：

u(x,t)=u(x,t)=0,x∈?U,t≥τ.

(49)