基于B樣條插值法的柔性矩形薄板的動力學(xué)分析

王勇 章定國 范紀華

摘要： 采用B樣條插值方法研究柔性矩形薄板的動力學(xué)特性?？紤]薄板的面外變形、面內(nèi)變形以及面外變形引起的面內(nèi)變形，利用B樣條插值方法對柔性薄板的變形場進行離散，以拉格朗日方程為基礎(chǔ)推導(dǎo)出作大范圍運動柔性薄板的動力學(xué)方程，并運用MATLAB軟件對薄板動力學(xué)仿真問題進行編程。通過動力學(xué)仿真，對比分析了B樣條插值法、假設(shè)模態(tài)法以及有限元法的仿真結(jié)果，驗證了B樣條插值方法的正確性，并表明B樣條插值法在處理柔性薄板的大變形問題的計算精度上具有優(yōu)良性能和推廣潛力。

關(guān)鍵詞： 多體動力學(xué); 柔性矩形薄板; B樣條插值; 固有頻率

中圖分類號： O313.7 ?文獻標志碼： A ?文章編號： 1004-4523（2019）05-0811-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.05.009

引 言

柔性體的變形場離散問題是柔性多體系統(tǒng)動力學(xué)中的基本問題[1]。目前假設(shè)模態(tài)法、有限段法和有限元法是三種使用較為廣泛的變形場離散方法。假設(shè)模態(tài)法最大的優(yōu)點是計算效率高[2]。但當工程結(jié)構(gòu)為非規(guī)則的梁式或板式結(jié)構(gòu)的時候，假設(shè)模態(tài)法便有了一定的局限性。一是對于復(fù)雜的柔性體結(jié)構(gòu)很難求出振型函數(shù)，二是當工程模型發(fā)生改變的時候，為了滿足精度要求需要疊加更多的模態(tài)，這樣降低了計算效率。有限段法在梁式構(gòu)件的離散上應(yīng)用較廣[1]。有限段法精度存在問題的原因在于彈簧的總剛度是由每一小段彈簧剛度向節(jié)點等效移植得到的，而且隨著系統(tǒng)自由度數(shù)增大到一定程度，數(shù)值計算難度也會增大。有限元法的缺點是精度分析需要耗費大量計算資源。因此，對于多體系統(tǒng)動力學(xué)問題仍需要關(guān)注和探索新的變形場離散方法。

文獻[3]采用樣條有限點法研究了功能梯度壓電梁板的靜力問題，并與已有文獻資料對比證明了該方法的合理性和有效性。文獻[4]提出一個基于B樣條函數(shù)、高階剪切變形理論及變分原理分析復(fù)合材料板殼的樣條有限點法，建立了區(qū)別于有限元法和有限段法的針對靜力學(xué)、動力學(xué)、熱效應(yīng)等分析的新計算格式。文獻[5]利用無網(wǎng)格配點法計算了復(fù)合材料層合板自由振動的固有頻率和振型，文獻還研究了薄板樣條徑向基函數(shù)中形狀參數(shù)的選取對計算結(jié)果的收斂性。文獻[6]將板的撓度和剪切應(yīng)變作為場變量的基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上考慮面內(nèi)位移，采用樣條無網(wǎng)格法建立了熱環(huán)境下厚/薄壓電功能梯度板動力分析新的計算格式。文獻[7-8]給出了B 樣條插值方法與絕對節(jié)點坐標有限元法之間的關(guān)系，從而達成了計算機輔助設(shè)計（Computer Aided Design， CAD）中的幾何造型與計算機輔助分析（Computer Aided Analysis， CAA）中變形場描述的統(tǒng)一。在此基礎(chǔ)上文獻[9-10]進一步研究了B樣條插值、Bezier曲線等計算幾何方法和絕對節(jié)點坐標有限元法之間的轉(zhuǎn)化，通過仿真實例研究表明，將CAD 中幾何造型法和CAA中變形場描述相統(tǒng)一既可以達到CAD和CAA之間的等幾何分析，又可以提高CAA 分析精度和效率。

本文以B樣條插值法作為離散方法，有別于傳統(tǒng)的假設(shè)模態(tài)、有限元等方法，研究其在柔性薄板動力學(xué)建模和分析上的性能，一定程度上拓展了柔性多體變形場離散方法。旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)為實際工程中重要的研究對象[11-12]，因此本文對做大范圍旋轉(zhuǎn)運動的柔性矩形薄板的動力學(xué)問題進行研究，在計及面外變形、面內(nèi)變形以及面外變形引起的面內(nèi)變形的情況下建立動力學(xué)模型，利用B樣條插值方法對柔性薄板的變形位移場進行離散，以拉格朗日方程為基礎(chǔ)推導(dǎo)出作大范圍運動柔性矩形薄板的動力學(xué)方程，并運用MATLAB軟件對薄板動力學(xué)仿真問題進行編程。進行動力學(xué)仿真，對比分析了B樣條插值法、假設(shè)模態(tài)法以及有限元法的仿真結(jié)果，驗證了B樣條插值方法的正確性，并表明B樣條插值法在處理柔性薄板的大變形問題的計算精度上具有優(yōu)良性能和推廣潛力。

圖3-6中圖（b）為圖（a）的30-40 s的放大圖，也即為恒定角速度下的響應(yīng)圖。從圖中可以看出，B樣條插值法的計算結(jié)果同假設(shè)模態(tài)法以及有限元法吻合度很高，這說明B樣條插值法的確能夠用于離散矩形薄板位移場。通過比較圖3（a）與圖4（a）、圖5（a）可以看出，當Ω取0.2 Hz時，零次近似模型與一次近似模型的計算結(jié)果比較接近，而當Ω取0.4 Hz和0.6 Hz時，一次近似模型的計算結(jié)果明顯小于零次近似模型，進一步當Ω取0.8 Hz時，零次近似模型的計算結(jié)果發(fā)散，與實際情況不符;而一次近似模型的計算結(jié)果收斂，與實際相符合。證明了附加剛度項在很大程度上影響了系統(tǒng)的動力學(xué)性態(tài)， 說明了薄板作高速大范圍運動時，附加剛度項不容忽略[13]。圖3（b）、圖4（b）中零次近似模型振幅比一次近似模型要小，而在圖5（b）中零次近似模型振幅要大于一次近似模型，這主要是兩種模型在30 s時的狀態(tài)量不同導(dǎo)致的。圖3（b）、圖4（b）中一次近似模型在30 s時變形量大于零次近似模型，導(dǎo)致在之后30-40 s內(nèi)加速度不變的情況下變形量大于零次近似模型，圖5（b）情況剛好相反。從振動頻率角度分析，薄板作大范圍旋轉(zhuǎn)運動的角速度為定值時，f一次近似模型>f零次近似模型。且當角速度逐漸增大時，兩者的差值也隨之增大。

對以上仿真數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，薄板的面外變形量很小。接下來的仿真中取薄板的彈性模量分別為E=5×1010 N/m2，E=3×1010 N/m2和E=1010 N/m2，薄板其他參數(shù)保持不變。薄板仍繞y軸作定軸轉(zhuǎn)動，旋轉(zhuǎn)規(guī)律采用式（55）的形式，Ω=5 Hz，仿真中取T=30 s，總仿真時間t=40 s。圖7，8和9表示薄板外側(cè)角點z方向變形量（面外變形）在三種離散方法下的計算結(jié)果，仿真模型均為考慮耦合變形量的一次近似模型。

圖7（b），8（b）和9（b）分別為圖7（a），8（a）和9（a）中30-40 s內(nèi)薄板外側(cè)角點在z方向的變形放大圖，也即為恒定角速度薄板振動變形圖。從圖7，8和9可以看出，薄板最大面外變形隨薄板彈性模量的減小而增大，這是因為減小彈性模量導(dǎo)致薄板的柔性增大，在同樣角速度條件下薄板的變形更大。三種不同彈性模量條件下B樣條插值法與有限元法的仿真結(jié)果吻合度很高，而假設(shè)模態(tài)法同有限元法存在一定的誤差，且誤差主要體現(xiàn)在薄板面外變形量的衰減以及恒定角速度時的振動過程。由上可以說明，當薄板面外變形較大時，假設(shè)模態(tài)法的精度會降低，而B樣條插值法的精度滿足要求。

為了進一步說明大變形條件下假設(shè)模態(tài)法的局限性，將彈性模量減小為E=4×108 N/m2，仿真周期T=16 s，仿真總時間為20 s。圖10表示Ω=0.8 Hz時薄板外側(cè)角點z方向變形量。圖中柔性薄板的最大面外變形超過了4 m，屬于大變形，B樣條插值法同有限元法的結(jié)果仍然基本一致，而假設(shè)模態(tài)法的仿真結(jié)果誤差很大。說明源于結(jié)構(gòu)力學(xué)中固有振型的假設(shè)模態(tài)法，僅適用于小變形情況，不能處理大變形問題，而B樣條插值法和有限元法適用于大變形問題。

從表1可以看出薄板的固有頻率隨的增大而增大。圖13為采用B樣條插值離散得到的薄板橫向振動前4階固有頻率隨角速度的變化曲線?？梢钥闯霰“宓牡?、第2階固有頻率隨角速度增大而增大的速度較為緩慢;第3、第4階固有頻率隨角速度增大的速度先快后慢。

從表5的數(shù)據(jù)可以看出，當角速度的范圍在0-20 rad/s時，采用B樣條插值方法計算得到的薄板的前3階固有頻率值相對有限元法的計算結(jié)果誤差小于1%，而采用假設(shè)模態(tài)法計算得到的前3階固有頻率值相對有限元法的計算結(jié)果誤差存在大于1%的情形。說明當角速度小于20 rad/s時，采用B樣條插值方法計算柔性矩形薄板的低階固有頻率能夠滿足精度要求。

4 結(jié) 論

（1） 對于剛?cè)狁詈闲D(zhuǎn)矩形薄板的動力學(xué)問題，B樣條插值法能很好地離散薄板的變形場，且當轉(zhuǎn)軸位于薄板平面內(nèi)時，該方法同樣適用。

（2） 當柔性薄板具有較大面外變形時，B樣條插值法的計算精度比假設(shè)模態(tài)法要高，因此B樣條插值法在柔性板大變形動力學(xué)響應(yīng)問題上具有推廣潛力。

（3）當轉(zhuǎn)速較低時，運用B樣條插值法計算得到的薄板的前3階固有頻率同有限元法的結(jié)果很相近，且誤差小于假設(shè)模態(tài)法同有限元法的誤差，能夠滿足精度要求。

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Abstract： The dynamic behavior of flexible rectangular thin plates is investigated by the B-spline interpolation method. The off-plane deformation， in-plane deformation and the in-plane shortening caused by the off-plane deformation of the thin plate are all considered. A dynamic model is established and the B-spline interpolation method is used to discretize the deformation field of the flexible thin plate. The rigid-flexible coupling dynamic equations of the flexible thin plate with large overall motion are established via employing the second kind of Lagrange′s equation， and the MATLAB software is used to program for the dynamic simulation problems of the flexible thin plate. To validate the method， dynamic simulations are carried out. The simulation results of the B-spline interpolation method are compared with the ones of the assumed mode method and the finite element method， which demonstrate that the B-spline interpolation method has the potential of popularization in the calculation accuracy to deal with the discretization of the deformation field of the flexible thin plate.

Key words： multibody dynamics; flexible rectangular thin plate; B-spline interpolation method; natural frequency

作者簡介： 王 勇（1992-），男，碩士研究生。電話：15195758184;E-mail：1342506994@qq.com

通訊作者： 章定國（1967-），男，博士，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail：zhangdg419@mail.njust.edu.cn