指向核心素養(yǎng)的初中函數(shù)應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

潘金城　蔡雪梅

一、教材、學(xué)情與教法分析

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中明確指出“用函數(shù)解決問(wèn)題”的目標(biāo)：能結(jié)合圖象對(duì)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)關(guān)系進(jìn)行分析;能確定簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)自變量的取值范圍，并會(huì)求出函數(shù)值;能用適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)表示法刻畫(huà)簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系。由此可見(jiàn)，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的關(guān)鍵能力是：將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用函數(shù)的性質(zhì)與圖象分析去解決問(wèn)題，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論，從而形成建模思想。

“用一次函數(shù)解決問(wèn)題”是初中數(shù)學(xué)（蘇科版）首次運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的標(biāo)志性內(nèi)容，本節(jié)課包括兩課時(shí)，第一課時(shí)的內(nèi)容為“用一次函數(shù)的表達(dá)式解決問(wèn)題”，第二課時(shí)的內(nèi)容為“用一次函數(shù)的圖象解決問(wèn)題”。圍繞學(xué)生進(jìn)入初中后“用圖象解決問(wèn)題”的難點(diǎn)，筆者針對(duì)本課時(shí)，從教材、學(xué)情與教法進(jìn)行如下分析。

1.教材分析

本節(jié)教材是一次函數(shù)圖象在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，就本節(jié)素材而言經(jīng)歷了“識(shí)圖—用圖—想圖”三個(gè)活動(dòng)，這三個(gè)活動(dòng)的功能各異，活動(dòng)一重在識(shí)圖，在實(shí)際的情境中理解“上升快慢的實(shí)際意義”和探索“正確決策方法”，理解交點(diǎn)意思;活動(dòng)二重在用圖，自主建構(gòu)“一次函數(shù)”數(shù)學(xué)模型，借助圖象分析兩種運(yùn)輸方案的優(yōu)劣，發(fā)現(xiàn)交點(diǎn)意義，體驗(yàn)圖象在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)的應(yīng)用;活動(dòng)三重在想圖，讓學(xué)生感受不同走勢(shì)“折線段”的意蘊(yùn)，感悟到數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系，更深刻理解模型思想。

2.學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)知道一次函數(shù)的概念與性質(zhì)，也會(huì)能運(yùn)用方程模型解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，但運(yùn)用一次函數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題尚屬首次，特別是同一坐標(biāo)系內(nèi)不同圖象之間的區(qū)別是學(xué)生理解的難點(diǎn)，可能存在三個(gè)方面的困惑：其一，不清楚“上升的快慢”與一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）中的“k”之間的關(guān)系;其二，不清楚“圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)”與“函數(shù)表達(dá)式”之間的關(guān)系;其三，不清楚“折線的意義”與“實(shí)際問(wèn)題”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。每個(gè)困惑都體現(xiàn)著“抽象”“建?！钡葦?shù)學(xué)基本思想。

3.教法分析

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)學(xué)習(xí)的目的是為了解決實(shí)際問(wèn)題，所以本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是在實(shí)際問(wèn)題中認(rèn)識(shí)圖象和應(yīng)用圖象，更好地感悟數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系;由于一次函數(shù)圖象的陡峭程度反映因變量與自變量之間在一定范圍內(nèi)的變化情況，視覺(jué)上的關(guān)注要從點(diǎn)向線轉(zhuǎn)變，但又要回歸到線上的觀念點(diǎn)分析陡峭程度的實(shí)際意義，因此圖象的走勢(shì)所對(duì)應(yīng)的實(shí)際意義是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)?；诮虒W(xué)的重難點(diǎn)，本節(jié)課采用“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的教學(xué)方法，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

基于以上分析，確定如下素養(yǎng)目標(biāo)：

（1）能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中變量之間的關(guān)系，確定一次函數(shù)的表達(dá)式，通過(guò)用一次函數(shù)表述數(shù)量變化及其關(guān)系的過(guò)程，體會(huì)模型思想。

（2）能用一次函數(shù)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，在此過(guò)程中，感悟數(shù)學(xué)具有抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性，體會(huì)數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（3）經(jīng)歷“問(wèn)題情境—建立模型—求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

二、教學(xué)案例簡(jiǎn)要設(shè)計(jì)

1.自主嘗試，認(rèn)識(shí)圖象

問(wèn)題1：元旦將至，小明的爸爸準(zhǔn)備租車(chē)外出旅游，從甲、乙兩家出租汽車(chē)公司收取的租車(chē)費(fèi)y1（元）、y2（元）都是用車(chē)?yán)锍蘹（千米）的函數(shù)，它們的圖象如圖1.

（1）請(qǐng)寫(xiě)出這兩個(gè)函數(shù)圖象的共同點(diǎn)與不同點(diǎn).

（2）若用車(chē)?yán)锍虨?000千米，選用哪家出租汽車(chē)公司？

（3）用車(chē)?yán)锍虨槎嗌贂r(shí)，乙公司的租車(chē)費(fèi)用比甲公司少？

問(wèn)題2：小明的爸爸騎車(chē)從家出發(fā)到某出租汽車(chē)公司洽談租車(chē)事宜，他離家的路程s（km）與出發(fā)的時(shí)間t（min）之間的關(guān)系如圖2所示，請(qǐng)回答問(wèn)題。

（1）出租汽車(chē)公司離家______km;

（2）小明爸爸在出租汽車(chē)公司停留了______min;

（3）小明爸爸回家時(shí)的速度為_(kāi)_____km/min;

（4）若小明在爸爸離家30min后出發(fā)勻速騎車(chē)迎接爸爸回家，當(dāng)他出發(fā)35min時(shí)恰好遇到回家路上的爸爸，請(qǐng)?jiān)谒o的坐標(biāo)系中畫(huà)出小明這段時(shí)間離家路程與爸爸出發(fā)時(shí)間之間的函數(shù)圖象;

（5） 小明騎車(chē)的速度______爸爸前往租車(chē)公司時(shí)速度。（填“<”“>”或“=”）

【設(shè)計(jì)意圖】遵循簡(jiǎn)單、根本、開(kāi)放的原則設(shè)計(jì)了一道開(kāi)放性的問(wèn)題1，在實(shí)際情境下，通過(guò)“數(shù)”與“形”的對(duì)應(yīng)關(guān)系理解點(diǎn)所表示的實(shí)際意義，感受線的陡峭程度所表示的實(shí)際意義。

2.建立模型，運(yùn)用圖象

問(wèn)題3：某蔬菜基地要把一批新鮮蔬菜運(yùn)往外地，有兩種運(yùn)輸方式可供選擇，主要參考數(shù)據(jù)如表1所示。

（1）請(qǐng)分別寫(xiě)出汽車(chē)、火車(chē)運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用y1（元）、y2（元）與運(yùn)輸路程x（千米）之間的函數(shù)關(guān)系;

（2）你認(rèn)為用哪種運(yùn)輸方式較好？

拓展：若另一輛汽車(chē)沿著高速公路把一批新鮮蔬菜運(yùn)往外地，其參考數(shù)據(jù)如表2所示。

問(wèn)題：當(dāng)運(yùn)輸里程數(shù)滿足什么條件時(shí)選擇在高速公路上的運(yùn)輸方式？

【設(shè)計(jì)意圖】問(wèn)題3（2）中，解決策略的選擇不唯一，讓不同理解水平的學(xué)生有不同的解法，但拓展題的解決更能體現(xiàn)圖象法的優(yōu)越性，突出本節(jié)課教學(xué)的重難點(diǎn)。

3.構(gòu)造情境，展想圖象

問(wèn)題4：? 根據(jù)圖3中的函數(shù)圖象，說(shuō)出x，y變化過(guò)程的實(shí)際意義，線段AB與x軸平行，點(diǎn)C在x軸上.（要求自己給出數(shù)據(jù)，自主設(shè)計(jì)問(wèn)題情境）

【設(shè)計(jì)意圖】 看圖說(shuō)話可培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，編擬實(shí)際問(wèn)題是對(duì)前面問(wèn)題的逆向思考，也是數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)培育的重要方式。

4.課堂小結(jié)，慧悟圖象（略）

三、案例設(shè)計(jì)的三個(gè)視角

在《素養(yǎng)何以在課堂中生長(zhǎng)》一書(shū)中指出，提出問(wèn)題、建立聯(lián)系和個(gè)性化表達(dá)是學(xué)生的關(guān)鍵能力，這與史寧中教授對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的素養(yǎng)目標(biāo)劃分是一致的，這三個(gè)關(guān)鍵能力的表述是素養(yǎng)目標(biāo)的顯性表達(dá)，現(xiàn)從自然、開(kāi)放、自主的三個(gè)視角來(lái)培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力。

1.自然性視角——素養(yǎng)生長(zhǎng)的路徑

美國(guó)教育心理學(xué)博士伯尼斯。麥卡錫以提供教學(xué)指導(dǎo)為目的，借助四個(gè)象限提出完整的自然學(xué)習(xí)過(guò)程——學(xué)習(xí)循環(huán)圈，包括“為什么”“是什么”“應(yīng)怎樣”和“該是否”四個(gè)象限（如圖4）。學(xué)習(xí)循環(huán)圈讓我們的教學(xué)設(shè)計(jì)更能從知識(shí)的結(jié)構(gòu)規(guī)律關(guān)注知識(shí)從哪里來(lái)？到哪里去？怎么去？ 更能從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律經(jīng)歷“感知、理解、記憶和應(yīng)用”的過(guò)程，讓知識(shí)生長(zhǎng)可視化。

本章的內(nèi)容結(jié)構(gòu)包括：概念、圖象與性質(zhì)、應(yīng)用、圖象法解方程、不等式等;本節(jié)課的前一課是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)，主要運(yùn)用函數(shù)關(guān)系式，通過(guò)方程、不等式建立之間的聯(lián)系，由于函數(shù)具有“數(shù)與形”的二重性，兩者之間“形異實(shí)同”“辯證統(tǒng)一”“渾然一體”，“由數(shù)想形”，這是知識(shí)生長(zhǎng)的基礎(chǔ)。其知識(shí)結(jié)構(gòu)如圖5。

通過(guò)上圖，我們不難感受到用圖象法解決問(wèn)題的策略不是從天而降的，它基于函數(shù)關(guān)系式、方程不等式等知識(shí)，函數(shù)圖象只不過(guò)是它更為直觀的表達(dá)形式， “形”與“數(shù)”的一一對(duì)應(yīng)順應(yīng)了學(xué)生認(rèn)知，知識(shí)的來(lái)龍去脈更為清晰，“圖上作業(yè)法”的提出便順其自然。

2.開(kāi)放性視角——素養(yǎng)發(fā)展的抓手

開(kāi)放原意是釋放、思想開(kāi)通、解放等。在數(shù)學(xué)教學(xué)中的開(kāi)放是指教學(xué)的組織形式多樣，思維方式多元，設(shè)問(wèn)方式多角度。在本節(jié)課的三個(gè)研學(xué)環(huán)節(jié)中，都體現(xiàn)著開(kāi)放式教學(xué)。

“認(rèn)識(shí)圖象”環(huán)節(jié)中，讓學(xué)生寫(xiě)出兩個(gè)圖象的異同之處，體現(xiàn)了簡(jiǎn)單、根本、開(kāi)放的基本原則，視角不同獲得的結(jié)論也不一樣。如從圖象的形狀看，它們都是射線;從公共點(diǎn)的意義看，表示里程數(shù)為2000km時(shí)所租車(chē)費(fèi)用相等;從走勢(shì)看，隨著里程數(shù)的增加租車(chē)費(fèi)用也增加……不同點(diǎn)選擇的視角可以更多，如射線的端點(diǎn)不同，表示起租費(fèi)不等;上升的速度不同，說(shuō)明比例系數(shù)k不等;位置的高低不同，表示相同的里程數(shù)租車(chē)的費(fèi)用不等……在“運(yùn)用圖象”環(huán)節(jié)中也體現(xiàn)著開(kāi)放的教學(xué)，方法的選擇不限于圖象法，兩種方法兩個(gè)視角，通過(guò)解法的開(kāi)放，讓兩種方法相互聯(lián)系，交相輝映。在“展想圖象”這一環(huán)節(jié)，更是具有開(kāi)放性，一圖多景，各美其美，美美與共，但表示同一種圖象。

設(shè)問(wèn)開(kāi)放，讓學(xué)生有話可講，讓學(xué)生的思維在與文本對(duì)話、與同伴和師生對(duì)話、與自我對(duì)話交流中動(dòng)起來(lái)，對(duì)待學(xué)生的回答多予以鼓勵(lì)，用開(kāi)放的設(shè)問(wèn)、開(kāi)放的表達(dá)、開(kāi)放的展示和開(kāi)放的胸懷讓學(xué)生產(chǎn)生思考，激活思維，感悟思想。

3.自主性視角——素養(yǎng)升華的基礎(chǔ)

自主學(xué)習(xí)是指?jìng)€(gè)體在生活過(guò)程中通過(guò)獲得直接或間接經(jīng)驗(yàn)（知識(shí)）而產(chǎn)生的行為或思想上的相對(duì)持久的變化，學(xué)習(xí)是一個(gè)循序漸進(jìn)、由淺入深、深入淺出的過(guò)程。

教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟?！拔虻谩笔侵竿ㄟ^(guò)思與覺(jué)，內(nèi)化所學(xué)內(nèi)容成為自己智慧的一部分，從而使自己的價(jià)值層面得到改變的過(guò)程。知識(shí)是外在于人的，是一種可以量化的“知道”，只有在悟的過(guò)程中，讓知識(shí)進(jìn)入人的認(rèn)知本體，悟有所得，才能稱為素養(yǎng)?！拔虻谩笔且环N意義理解，是一種規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，是一種智慧。

“悟得”的過(guò)程是深度的自主學(xué)習(xí)的過(guò)程，自主是合作的前提，是探究的基礎(chǔ)。在“認(rèn)識(shí)圖象”環(huán)節(jié)中，展示交流后讓學(xué)生自主反思“意、數(shù)、形”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，自覺(jué)領(lǐng)悟“數(shù)形結(jié)合”的思想。在“運(yùn)用圖象”環(huán)節(jié)中，從列式、畫(huà)圖、比較等活動(dòng)引導(dǎo)學(xué)生自主建構(gòu)“一次函數(shù)”數(shù)學(xué)模型，在拓展環(huán)節(jié)中更是讓學(xué)生獨(dú)立思考后體悟圖象法的優(yōu)越性。在“展想圖象”環(huán)節(jié)中也不忘讓學(xué)生自主思考圖象的意義，整個(gè)過(guò)程就是學(xué)生從“習(xí)得”到“悟得”的過(guò)程。

由上分析，我認(rèn)為“悟得”是素養(yǎng)提升的重要標(biāo)志，是自主學(xué)習(xí)的高級(jí)表現(xiàn)。

四、案例中數(shù)學(xué)素養(yǎng)的分析

基于自然、開(kāi)放、自主的三個(gè)視角設(shè)計(jì)指向核心素養(yǎng)的案例，是否能反映出不同層次的數(shù)學(xué)素養(yǎng)成分，達(dá)成數(shù)學(xué)素養(yǎng)目標(biāo)？我們從兩個(gè)方面進(jìn)行分析。

1.素養(yǎng)成分與素養(yǎng)目標(biāo)的關(guān)聯(lián)分析

指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)不僅體現(xiàn)著數(shù)學(xué)素養(yǎng)的成分，而且與素養(yǎng)目標(biāo)有著高度的關(guān)聯(lián)。就本節(jié)課而言，研學(xué)的每一環(huán)節(jié)都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，如表3所示。

2.素養(yǎng)水平與素養(yǎng)成分的關(guān)系分析

喻平教授將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)層次，所涉及的素養(yǎng)水平分析如表4（知識(shí)理解-1，知識(shí)遷移-2，知識(shí)創(chuàng)新-3）所示。

通過(guò)以上分析，我們不難發(fā)現(xiàn)，以自然、開(kāi)放、自主的視角設(shè)計(jì)的教學(xué)能更多地指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)與內(nèi)涵，能更好地體現(xiàn)不同水平的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。因?yàn)樽匀欢裱?guī)律，因?yàn)殚_(kāi)放而體現(xiàn)層次，因?yàn)樽灾鞫Ｕ闲?，所以自然、開(kāi)放、自主是基于教材、學(xué)情、教法的一個(gè)整體的表達(dá)，是教師聚焦素養(yǎng)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)的有效視角。

（本文系“江蘇省十三五規(guī)劃課題：基于核心素養(yǎng)的GBR課程建設(shè)”階段性成果。）

【參考文獻(xiàn)】

[1]喻平.基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)與學(xué)業(yè)評(píng)價(jià)[J].課程·教材·教法，2018（1）：80-85.

[2]潘金城.基于核心素養(yǎng)的“反比例函數(shù)圖象”教學(xué)[J].教育研究與評(píng)論，2017（9）：79-85.