按圖索驥，順藤摸瓜

郭紅

【摘 ?要】華羅庚先生說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！痹谛W(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中，把抽象的數(shù)量關(guān)系與直觀的圖形相結(jié)合，能使抽象復(fù)雜的數(shù)量間的內(nèi)在聯(lián)系變得直觀簡單，有利于學(xué)生理解題意，分析問題，使數(shù)學(xué)問題得以順利解決。本文結(jié)合教學(xué)實例，探討在小學(xué)數(shù)學(xué)解決問題教學(xué)中輔助圖的具體應(yīng)用，以期能借助輔助圖，化隱為顯，化抽象為具體，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力，促進數(shù)學(xué)思維能力的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);輔助圖;解決問題

直觀形象的輔助圖是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中解決問題的重要策略之一，新蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中能夠明顯看到線段圖教學(xué)的增加，培養(yǎng)學(xué)生讀圖、畫圖、用圖的能力。“數(shù)形結(jié)合百般好”，把數(shù)和形結(jié)合起來，能夠更加直觀的呈現(xiàn)問題，化難為簡、化繁為簡，快速、簡便地解決問題，有利于學(xué)生概括能力、解決問題能力的培養(yǎng)。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生以畫圖為抓手，化抽象為具體，利用輔助圖的優(yōu)勢去探究、分析和解決問題，這樣的教學(xué)符合小學(xué)生的認知與思維模式，同時體現(xiàn)新課標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識、發(fā)展學(xué)生應(yīng)用能力的理念。

一、圖文結(jié)合，提高審題能力

由于年齡和社會經(jīng)歷等原因，小學(xué)生的理解能力有限，問題的抽象表述往往會讓部分學(xué)生在審題時出現(xiàn)偏差，直接導(dǎo)致解題錯誤。比如題目中涉及“……是……的幾倍”“……的幾倍是……”“比……3倍多……”“比……3倍少……”時，告訴學(xué)生不能急于動筆，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生將題目中包含的數(shù)學(xué)信息用直觀的線段圖表示出來，使用輔助圖分析問題，有助于學(xué)生審題能力的提高，在理解題目意思的基礎(chǔ)上做到準(zhǔn)確解答。

案例1：兩個整數(shù)相除沒有余數(shù)，商是5，被除數(shù)、除數(shù)、商的和是59。求被除數(shù)是多少？

面對這道題目，很多學(xué)生都會從題目中“被除數(shù)、除數(shù)、商的和是71”這一信息著手，聯(lián)系“被除數(shù)=除數(shù)×商”的公式去思考，卻仍然沒有頭緒，無法理解題意。運用線段圖，通過“沒有余數(shù)，商是8”可以準(zhǔn)確表達出被除數(shù)與除數(shù)間的關(guān)系，如圖1所示。圖文結(jié)合，不難理解：除數(shù)+5×除數(shù)=89-8，求得除數(shù)為9，被除數(shù)是9×5=45。

審題能力反映著一個學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力，將抽象的問題用線段圖轉(zhuǎn)化成和倍問題來分析和計算，對幫助學(xué)生理解題意、解決問題、培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力有很大的作用。

二、以圖助數(shù)，分析數(shù)量關(guān)系

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學(xué)生在解決問題時常常習(xí)慣“套用”，他們往往會忽視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的輔助工具——輔助圖，生搬硬套，導(dǎo)致對題意中的數(shù)量關(guān)系理解出錯。問題情境是抽象、精煉的，尤其是相遇、工程等應(yīng)用題呈現(xiàn)的問題情境，離學(xué)生的生活實際較遠，給題意的理解帶來困難。借助線段圖，能直觀的揭示應(yīng)用題包含的抽象信息，理清其中關(guān)系，使解題有所突破。

案例2：某工程隊修一條路，前5月修了20千米，正好修了全長的四分之一，照這樣計算，剩下的路，需要修多長時間？

先畫一條線段，作為單位“1”，表示工程隊所要修的一條路，根據(jù)題目中所給出的已知條件，在這條線段上標(biāo)注出“前5月修了20千米”、“全長的四分之一”以及所求的具體問題，如圖2所示。來看看線段圖，題中的數(shù)量關(guān)系是否得到了直觀化、形象化？算法是不是呼之欲出呢？

輔助圖不是盲目地畫，而是在認真讀題、全面理解題意的基礎(chǔ)上所畫，題目中所給出的已知條件和所畫的圖是相符合的，在圖上標(biāo)明條件，明確所求的問題，直觀的找出數(shù)量間的對應(yīng)關(guān)系，才能使輔助圖成為解決問題的思維“工具”。

三、簡化解題過程（清晰直觀，簡化數(shù)學(xué)信息，提升思維品質(zhì)）

學(xué)生在解決問題的過程中，如果不能準(zhǔn)確理解題目中的信息，存在著理解障礙，就會產(chǎn)生解題過程的出錯現(xiàn)象。利用輔助圖，將題目中抽象的數(shù)學(xué)信息轉(zhuǎn)化成直觀的圖形，直觀有效的分析和構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，使學(xué)生對題意理解透徹，通過信息-問題間的數(shù)據(jù)模型簡化解題過程，提升解題效率。

案例4：小紅拿出一瓶320毫升的果汁招待客人，第一次，她為客人倒去了半瓶果汁，第二次又倒去了剩下果汁的一半，第三次也倒去了剩下果汁的一半，求剩下果汁有多少。

題目中只給出了一瓶果汁的總毫升，要解決這個問題，關(guān)鍵是能求出最后所剩的果汁占這瓶果汁的幾分之幾。如果用算式來解題的話，解題過程較為復(fù)雜，容易出錯，甚至有部分數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱的學(xué)生都未能理解題意，但是，利用輔助圖解決問題，將一瓶果汁用一個長方形代替，按照題意畫出一個簡單的圖形，如圖4所示，借助圖形分析，可以直觀清晰的看到剩下的果汁是一瓶果汁的十六分之一，即20毫升?？梢?，將抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成清晰易理解的圖形，不僅能快速準(zhǔn)確的理解題意，找到題中的數(shù)量關(guān)系，也能簡化數(shù)學(xué)信息，提高解題的速度和正確率。

? 四、理清思路，提升思維品質(zhì)

對于多樣化的解題策略，大多數(shù)學(xué)生掌握得都并不好，很少有學(xué)生能用心的去接納他人不同的解決問題的方法，表現(xiàn)為有一種策略就滿足。對此，教師可以借助簡單直觀的方格圖、面積圖、點子圖等，既能幫助學(xué)生理清解題思路，也能培養(yǎng)學(xué)生多樣化的解題意識，對比、優(yōu)化不同的解題思路，提升思維品質(zhì)。

案例4：在學(xué)校舉辦的10歲成長禮上，學(xué)生以方陣的形式排列，共有9個方陣，每一方陣要求每行10人，有4行，參加10歲成長禮的共有多少名學(xué)生？

這是一道連乘的解決問題的題目，為幫助學(xué)生準(zhǔn)確分析連乘問題的數(shù)量關(guān)系，能準(zhǔn)確運用所學(xué)的兩步連乘的方法解決問題，我引導(dǎo)學(xué)生用圓點表示人，畫出方陣，并在圖中圈出先算的部分，說說自己的解題思路。學(xué)生交流如下：

解題思路一：先算一個方陣的人數(shù)，如圖4，根據(jù)題目所給出的“每行10人，有4行”條件，得出每個方陣40名學(xué)生，總?cè)藬?shù)120人。

解題思路二：先算出一大行的人數(shù)，如圖5，根據(jù)題目所給出的“每行10人，有3個方陣”，得出一大行有30人，總?cè)藬?shù)120人。

解題思路三：先算出一共有多少行，如圖5，根據(jù)題目所給出的“一個方陣有4行，有3個方陣”，得出一共有12行，總?cè)藬?shù)120人。

將三種解法的點子圖進行對比，直觀的理解每一種解法的妙處，理清解題的思路，明晰數(shù)量關(guān)系，并分析三種解法的異同，既能發(fā)展學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維能力，也能揭示知識間的內(nèi)在聯(lián)系，感悟解題方法的多樣化。

總之，輔助圖是一種簡便的解決問題技巧，化隱為顯、化繁為簡，培養(yǎng)學(xué)生使用輔助圖分析和解決問題的意識，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的滲透過程。同時，教師也應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生正確解讀數(shù)學(xué)信息，實現(xiàn)從抽象文字到直觀圖像的創(chuàng)造與演示，才能充分發(fā)揮輔助圖的作用與價值，通過輔助圖理解題意、明晰數(shù)量關(guān)系，理清解題思路，提升小學(xué)數(shù)學(xué)解題效率。

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