基于坐標(biāo)系與參數(shù)方程的高考研究

為研究高考改革的動(dòng)向,下面以2017年、2018年高考題為研究主體,探究坐標(biāo)系與參數(shù)方程的解題思想。

例1(2017年全國Ⅲ卷理數(shù)22)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l1的參數(shù)方程為為P,當(dāng)k變化時(shí),P的軌跡方程為曲線C。

(1)寫出C的普通方程。

(2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,設(shè)l3：ρ(cosθ+sinθ)-,M為l3與C的交點(diǎn),求M的極徑。

解析：(1)曲線C的方程是l1與l2的交點(diǎn),故要求曲線C的方程,必須聯(lián)立l1,l2解方程,但是l1與l2中共有3個(gè)參數(shù),故要先去掉一些參數(shù)。觀察,在l1的方程中可以去掉參數(shù)t,得y=k(x-2),在l2的方程中去掉參數(shù)m,得要求曲線C的方程,還得把k消掉,最終得到曲線C的方程為x2-y2=4(y≠0)。

(2)題給l3的方程為ρ(cosθ+sinθ)-=0,是極坐標(biāo)方程,而(1)中所求C的方程為直角坐標(biāo)系下的普通方程,故考慮把l3轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系方程求解,則l3在直角坐標(biāo)系下的普通方程為：x+y-=0,聯(lián)立得而極徑

例2(2018年全國Ⅲ卷理數(shù)22)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,☉O的參數(shù)方程為且傾斜角為α的直線l與☉O交于A,B兩點(diǎn)。

(1)求α的取值范圍；

(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程。

解析：(1)要求α的取值范圍,可考慮在直角坐標(biāo)系下解答,☉O的直角坐標(biāo)系下的普通方程為x2+y2=1。當(dāng)直線斜率不存在時(shí),過點(diǎn)且傾斜角為的直線l即為y軸,顯然與圓O有兩個(gè)交點(diǎn),故時(shí)成立。當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)斜率為k,則直線l可設(shè)為,則直線l與圓O有兩個(gè)交點(diǎn),轉(zhuǎn)化為圓心(0,0)到直線kx-y-的距離小于半徑即有兩個(gè)交點(diǎn),列式得解得k＞1或k＜-1,所對(duì)應(yīng)的角α的范圍為故角α的范圍為

(2)求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程,考慮利用直角坐標(biāo)系下的參數(shù)方程來解決,故首先應(yīng)求解直線AB的參數(shù)方程,然后找到點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)tP,最后把點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)tP代入直線AB的參數(shù)方程中,即可得到點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程。

觀察上述兩題我們發(fā)現(xiàn),考核難度逐年加大,2017年是帶兩個(gè)參數(shù)的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的普通方程,2018年考核直線參數(shù)方程中t的幾何意義,解決問題的方法更加靈活。處理坐標(biāo)系和參數(shù)方程的題型時(shí),一要熟練掌握課本的基礎(chǔ)知識(shí),比如公式之間的轉(zhuǎn)化和各種類型曲線的參數(shù)方程,以及參數(shù)的幾何意義,特別是直線的參數(shù)t的幾何意義；二要在自己較為熟悉的領(lǐng)域解決問題；三要樹立必勝的信心,多練、多總結(jié)才能攻克這類題目。