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    廣義(2+1) 維淺水波類方程的有理解

    2019-11-23 06:22:20杜亞紅銀山
    數(shù)學(xué)雜志 2019年6期
    關(guān)鍵詞:等高線圖孤子淺水

    杜亞紅, 銀山

    (內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特010051)

    1 引言

    近年來, 數(shù)學(xué)、物理等各個(gè)領(lǐng)域都在研究孤子, 其中求解孤子方程的精確解是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的熱門話題之一.目前已有了多種求解孤子方程精確解的方法, 如: 雙線性導(dǎo)數(shù)法[1]、反散射方法[2,3]、Darboux 變換[4,5]、tanh 方法[6,7]等.

    這些方法中, 雙線性導(dǎo)數(shù)法是由著名的日本數(shù)學(xué)、物理學(xué)家Ryogo Hirota 提出, 他是在研究非線性偏微分方程的解的過程中, 利用攝動(dòng)法得到一種雙線性方程, 并定義出一種新的微分算子――Hirota 雙線性算子

    如果某一方程具有雙線性形式, 那么該方程就能具備可積性.在Hirota 雙線性算子基礎(chǔ)上,馬文秀[8?11]教授提出了一般的雙線性微分算子

    其中p是素?cái)?shù)且p≥2, 并且(1.1) 式中的滿足

    本文中, 借助這個(gè)一般雙線性算子(1.1), 從(2+1) 維淺水波方程[12,13]

    的雙線性形式, 構(gòu)造出p=3 對應(yīng)的一個(gè)廣義淺水波類方程.再通過求解該方程的一般雙線性方程的多項(xiàng)式解, 構(gòu)造了該廣義淺水波類方程的有理解.

    2 廣義(2+1) 維淺水波類方程

    (2+1) 維淺水波方程(1.3) 通過變換u=2(lnf)x得到其雙線性形式

    通過計(jì)算可以證明, (2.1) 即為p=2 時(shí)(D32,xD2,y?D2,xD2,y?D2,xD2,t)f·f的形式.

    根據(jù)一般的雙線性算子(1.1), 求得

    利用貝爾多項(xiàng)式理論[14?16], 選取變換

    可得

    則有廣義(2+1) 維淺水波類方程

    比較淺水波方程(1.3) 和廣義淺水波類方程(2.5), 可以發(fā)現(xiàn)(2.5) 的雙線性形式(2.2) 比(1.3)的雙線性形式(2.1) 更簡單一些, 但(2.5) 比(1.3) 更具有非線性.

    根據(jù)變換(2.3), 若f是方程(2.2) 的解, 則有u為方程(2.5) 的解.

    3 廣義(2+1) 維淺水波類方程的有理解

    借助數(shù)學(xué)軟件Mathematica, 令

    代入(2.2) 式, 可以得到它的一系列的多項(xiàng)式解

    對應(yīng)地, 根據(jù)變換u=(lnf)x, 可以求得廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的4 類有理解.

    第一類有理解

    其中

    第二類有理解

    第三類有理解

    第四類有理解

    4 結(jié)論分析

    本文中, 在(2+1) 維淺水波方程(1.3) 的基礎(chǔ)上, 利用一般的雙線性微分算子(1.1), 當(dāng)素?cái)?shù)p=3 時(shí), 得到了具有一般雙線性形式的微分方程――廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5).借助廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的一般雙線性形式, 利用數(shù)學(xué)軟件Mathematica, 得到了方程(2.5) 的4 類有理解.

    圖1:解(4.2) 在t=1 時(shí)的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)

    當(dāng)參數(shù)被選取為

    時(shí), 解(3.6) – (3.8) 分別為

    即得到廣義(2+1) 維淺水波類方程(2.5) 的3 類特殊有理解.解(4.2), (4.3) 和(4.4) 在t=1時(shí)刻的三維圖、密度圖和等高線圖如圖1–3 所示.從這些圖能看出,y=0 直線附近解曲面變化很大, 且當(dāng)x趨于無窮大時(shí)這些解都趨向于0, 即解曲面趨向水平面.

    圖2:解(4.3) 在t=1 時(shí)的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)

    圖3:解(4.4) 在t=1 時(shí)的三維圖(左), 密度圖(中) 和等高線圖(右)

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