一類具有非局部項(xiàng)的拋物方程在Sobolev 空間的能控性

曾曦,莫玉玲,鄧紫娟,劉潔,周秀香

(嶺南師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 廣東湛江524048)

1 引言

給定T>0.設(shè)Q=(0,1)×(0,T).考慮如下一類具有非局部項(xiàng)的拋物型偏微分方程

這里a∈R(a0),y是狀態(tài)函數(shù), 給定函數(shù)b∈L2(0,1), 控制函數(shù)u∈L2(0,T), 并且y0∈L2(0,1) 是初始條件.從而, 方程(1.1) 存在唯一的解y∈L2(Q).系統(tǒng)(1.1) 主要用來(lái)描述一類含有關(guān)于時(shí)間的非局部反應(yīng)項(xiàng)的擴(kuò)散現(xiàn)象[1,2], 在物理、生物、天文、信息等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.

當(dāng)a=0 時(shí), 系統(tǒng)(1.1) 是經(jīng)典拋物型偏微分方程, 它是近似能控且零能控, 這是一個(gè)熟知的結(jié)果.因此, 本文主要討論的問(wèn)題是系統(tǒng)(1.1) 的近似能控性和零能控性.首先, 給出相關(guān)定義.

定義1.1對(duì)于任意y0,y1∈L2(0,1) 和ε>0, 存在控制u∈L2(0,T) 使得(1.1) 相應(yīng)的解y滿足則稱系統(tǒng)(1.1) 在T時(shí)刻近似能控.

定義1.2對(duì)于任意y0L2(0,1), 存在控制u∈L2(0,T) 使得系統(tǒng)(1.1) 相應(yīng)的解y滿足y(x,T)=0 a.e.x∈(0,1), 則稱系統(tǒng)(1.1) 在T時(shí)刻零能控.

關(guān)于這類系統(tǒng)的能控性問(wèn)題已有一些相關(guān)的討論[3?6].2000 年, Barbu 和Innelli[7]得到了如下具有二階導(dǎo)數(shù)記憶項(xiàng)的系統(tǒng)的內(nèi)部近似能控性

為了應(yīng)用Laplace 變換給出對(duì)偶系統(tǒng)解的表達(dá)式, 需要假設(shè)記憶核a滿足一定的條件.在文獻(xiàn)[8]中, 作者給出了記憶核a≡1 時(shí), 受控系統(tǒng)(1.2) 在L2(0,1) 空間中不零能控.隨后,Halanay 和Pandolfi[9]將近似能控性和不零能控兩個(gè)結(jié)果推廣到一般記憶核的情況.以上討論的結(jié)果都是建立在內(nèi)部控制或者邊界控制的基礎(chǔ)上.2018 年, 文獻(xiàn)[10]討論了在施加雙線性控制下系統(tǒng)的零能控性, 利用對(duì)偶理論、泰勒展式和反證法得出當(dāng)系統(tǒng)施加雙線性控制時(shí), 系統(tǒng)(1.1) 在L2(0,1) 空間中不零能控.即存在初使條件y0∈L2(0,1) 使得對(duì)于任意控制u∈L2(0,T), 系統(tǒng)(1.1) 相應(yīng)的解y在時(shí)刻T都不能達(dá)到目標(biāo)零.那么一個(gè)自然的問(wèn)題是,這樣的結(jié)論在相對(duì)較小的Hm空間中是否成立呢? 本文給出了明確的答案.另一方面, 利用對(duì)偶原理給出在施加雙線性控制下的近似能控性的充分必要條件, 它恰好是不零能控性的充分條件.

全文分為四部分, 第二部分給出控制系統(tǒng)關(guān)于近似能控性和零能控性的兩個(gè)主要結(jié)果；第三部分主要應(yīng)用對(duì)偶原理將近似能控性轉(zhuǎn)化為相應(yīng)對(duì)偶系統(tǒng)的唯一延拓性, 并得到相關(guān)結(jié)果；第四部分利用泰勒展式和反證法證明控制系統(tǒng)不零能控.

2 主要結(jié)果

為了給出主要結(jié)果, 先引入一些記號(hào).設(shè)

則{ωj}j≥1構(gòu)成空間L2(0,1) 中的一組正交基.系統(tǒng)(1.1) 的對(duì)偶系統(tǒng)如下

引理2.1設(shè)則對(duì)偶系統(tǒng)(2.2) 的解可以表示為

其中

證由于?T∈L2(0,1), 因此存在{βj}j≥1∈l2使得又由于系統(tǒng)(2.2) 的解?∈L2(0,T;L2(0,1)), 因此可以表示為

解線性方程組得

因此

令

于是方程(2.2) 的解可以表示為

引理2.1 得證.

對(duì)于任意給定m∈N, 定義Sobolev 空間

顯然H0(0,1)=L2(0,1), 并且Hm2(0,1)?Hm1(0,1),?m1≤m2.全文設(shè)C為只與T有關(guān)的常數(shù).主要結(jié)果是下面的兩個(gè)定理.

定理2.1下面三種陳述等價(jià)

(i) 系統(tǒng)(1.1) 在T時(shí)刻近似能控;

(ii) 設(shè)?是對(duì)偶系統(tǒng)對(duì)應(yīng)于?T的解, 則

定理2.2任意給定m∈N, 設(shè)則存在初值y0∈Hm(0,1) 使得對(duì)于任意u∈L2(0,T), 系統(tǒng)(1.1) 相應(yīng)的解都不滿足

注定理2.2 中的條件不能去掉, 因?yàn)樗c近似能控性等價(jià).

3 定理2.1 的證明

證 第一步證明(i) 與(ii) 等價(jià).

充分性要證明的結(jié)論是系統(tǒng)(1.1) 的近似能控性.不失一般性, 假設(shè)y0(x)≡0.由文獻(xiàn)[10]可得

設(shè)能達(dá)集R(T)={y(·,T) |y是系統(tǒng)(1.1)中對(duì)應(yīng)于u∈L2(0,T)的解}.由定義可知, 系統(tǒng)(1.1) 在T時(shí)刻近似能控當(dāng)且僅當(dāng)R(T) 在L2(0,1) 中稠密.采用反證法, 假設(shè)系統(tǒng)(1.1)在T時(shí)刻不近似能控, 則R(T) 不在空間L2(0,1) 中稠密, 由Hahn-Banach 定理得, 存在使下式成立

由(3.1) 式可得

因此?T=0, 這與假設(shè)?T的選取產(chǎn)生矛盾, 故假設(shè)不成立, 充分性得證.

必要性設(shè)

由(3.1) 式可得

第二步證明(ii) 與(iii) 等價(jià).

充分性假設(shè)

由(ii) 可知, 只需要證明βj=0,?j≥1 即可.將(2.4) 式代入(3.2) 式得

從而

必要性假設(shè)存在j0∈N, 使得bj0=0, 則利用充分性的證明過(guò)程得不到βj0一定為0,故這與條件矛盾, 所以必要性得證.故(ii) 與(iii) 等價(jià), 綜上定理2.1 得證.

注這一結(jié)論與經(jīng)典拋物方程(a=0) 相同.

4 定理2.2 的證明

證 第一步構(gòu)造對(duì)偶系統(tǒng)(2.2) 終端時(shí)刻的是一個(gè)充分大的正整數(shù)值.任意給定正整數(shù)m, 設(shè)是一個(gè)正整數(shù).令正整數(shù)是一個(gè)充分大的正整數(shù), 且

并且

聯(lián)立(4.1) 和(4.2) 式是關(guān)于N個(gè)未知數(shù)個(gè)方程的代數(shù)方程組, 所以存在界與M無(wú)關(guān)的解進(jìn)一步, 由引理2.1 得, 方程(2.2) 的解為

其中

第二步給出系統(tǒng)(1.1) 零能控的充要條件.由文獻(xiàn)[10]可得, 系統(tǒng)(1.1) 在時(shí)刻T零能控的充要條件是, 對(duì)于任意y0∈L2(0,1) 存在控制u∈L2(0,T), 使得下述的等式成立

其中?是對(duì)偶系統(tǒng)(2.2) 對(duì)應(yīng)于?T的解.

第三步估計(jì)(4.4) 式的左端.由(4.3) 式可得

記上式最后兩項(xiàng)分別為2E1,2E2.注意到從而

從而結(jié)合(4.5) 式和(4.6) 式并分部積分可得

于是存在一列關(guān)于t的函數(shù)使得

由上式及(4.2) 式可得

由(4.7) 和(4.8) 式可得

第四步估計(jì)(4.4) 式的右端.注意到

進(jìn)而由(4.4) 式可得

故存在1≤k0≤N使得

第五步構(gòu)造適當(dāng)初值得到結(jié)論, 即定理2.2.取則2δ?2m>1.于是

設(shè)Nl+k0=NM+k, 即N(l?M)=k?k0.由|k?k0|

假設(shè)(1.1) 在時(shí)刻T零能控, 則由證明的第二步可得, 存在u∈L2(0,T) 使得

也就是說(shuō), 存在于M無(wú)關(guān)的兩個(gè)常數(shù)C1,C2使得

只要2+δ