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    數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課教學(xué)模式探討

    2019-11-21 05:38:06張偉紅
    關(guān)鍵詞:拉格朗流程圖插值

    張偉紅

    (合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,安徽合肥230601)

    關(guān)鍵字:數(shù)值分析;數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式;分層遞進(jìn)教學(xué);Matlab

    數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)問題求解的數(shù)值計算方法。它的特點(diǎn)是理論和實(shí)踐相結(jié)合,既重視各種模型方法的理論分析,又重視這些方法的使用[1]。數(shù)值分析中模型的算法所面向的對象是計算機(jī),所以在教學(xué)過程中數(shù)值實(shí)現(xiàn)必不可少。Matlab是一個集數(shù)值計算、符號分析、圖形可視化、文字處理于一體的大型集成化軟件,已經(jīng)成為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、最優(yōu)化、計算機(jī)及電子信息等方面的教學(xué)或科研的常用工具。它的特點(diǎn)是語法簡單,易于學(xué)習(xí)。數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)課選用Matlab軟件平臺進(jìn)行教學(xué),編程容易上手,有助于學(xué)生把重點(diǎn)放在算法的實(shí)現(xiàn)上,且Matlab具有強(qiáng)大的數(shù)值計算功能,使用起來非常方便,可以省去一些不必要的編程,便于學(xué)生比較和驗(yàn)證計算結(jié)果。

    在數(shù)值分析教學(xué)過程中,學(xué)生對算法的理論學(xué)習(xí)容易掌握,但解決實(shí)際問題的能力欠佳,而這種學(xué)以致用的能力往往在就業(yè)過程中是公司或企業(yè)更看中的。所以在課程的講授過程中,希望能結(jié)合課程特點(diǎn)注重培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力,從而提高學(xué)生的綜合能力,讓其更好地步入社會,適應(yīng)社會需求[2]。但傳統(tǒng)實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式不能有效地發(fā)揮培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力的作用,常見問題有實(shí)驗(yàn)教學(xué)中內(nèi)容單一、只是驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)、學(xué)生學(xué)習(xí)主動性不高、相互抄襲實(shí)驗(yàn)報告;單一的教師給實(shí)驗(yàn)內(nèi)容、學(xué)生做實(shí)驗(yàn)、提交實(shí)驗(yàn)報告的教學(xué)模式,不便于掌控課堂,不易調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,不能很好根據(jù)實(shí)驗(yàn)過程和實(shí)驗(yàn)結(jié)果評判實(shí)驗(yàn)成績。因此國內(nèi)諸多的教學(xué)工作者一直在探索數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)教學(xué)方式[3-5],以更好地引導(dǎo)學(xué)生讓其學(xué)會思考、探索、改正,且在這個過程中培養(yǎng)他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識、分析問題并選擇適當(dāng)?shù)乃惴ň帉懹嬎銠C(jī)程序來解決實(shí)際問題的能力。

    為了避免傳統(tǒng)教學(xué)中的問題,教學(xué)過程中需要注意:1)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師起引導(dǎo)作用;2)分解實(shí)驗(yàn)任務(wù),明確實(shí)驗(yàn)要求,給定時間結(jié)點(diǎn),完成相應(yīng)任務(wù);3)展示學(xué)生實(shí)驗(yàn)成果,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情。根據(jù)這些注意事項,結(jié)合實(shí)驗(yàn)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),為提高學(xué)生學(xué)習(xí)積極性、培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題能力,提出一種新的適合應(yīng)用型本科院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式。

    1 “分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式

    “分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式,是一種分層遞進(jìn)的教學(xué)方式,本質(zhì)上是將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容分解成基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)和提高實(shí)驗(yàn)兩部分。基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)部分是對算法做驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn),提高實(shí)驗(yàn)部分是在驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)完成的基礎(chǔ)上進(jìn)一步提出更高要求的實(shí)驗(yàn),如改進(jìn)算法或利用基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)結(jié)果去求解其他問題等等。其中“分析”是教師在學(xué)生實(shí)驗(yàn)前先將實(shí)驗(yàn)內(nèi)容進(jìn)行講解、分析,引導(dǎo)學(xué)生思考如何將算法轉(zhuǎn)化成為程序,并給出實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的流程圖;“實(shí)踐”是讓學(xué)生基于分析結(jié)果進(jìn)行基礎(chǔ)部分的實(shí)驗(yàn),結(jié)合流程圖利用數(shù)學(xué)軟件寫出算法的程序,并利用程序做簡單的計算;“演示”是教師在學(xué)生做了基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)之后,現(xiàn)場演示個別條理性比較好的學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果,并對照流程圖進(jìn)行講解和說明;“完善”是在教師演示過基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的程序之后,給學(xué)生時間去修改和完善自己的程序;“進(jìn)階”是在基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上給出更高要求的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容,讓學(xué)生思考基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)的本質(zhì)并改進(jìn)或利用它,這部分實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生自己獨(dú)立完成。

    “分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式,在實(shí)施過程中要注意控制實(shí)驗(yàn)時間,基本上按照“10-25-10-15-30分鐘”時間分布來執(zhí)行。同時注意控制課堂秩序,學(xué)生可以相互討論的實(shí)驗(yàn)階段是“實(shí)踐”和“完善”階段,“進(jìn)階”部分獨(dú)立完成、不能相互討論。實(shí)驗(yàn)報告是實(shí)驗(yàn)內(nèi)容的總結(jié)階段,要求學(xué)生能將實(shí)驗(yàn)過程中所得出的實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析、改進(jìn),并總結(jié)進(jìn)而寫出實(shí)驗(yàn)報告和心得體會。這種分層遞進(jìn)的實(shí)驗(yàn)過程,教會了學(xué)生如何將所學(xué)理論轉(zhuǎn)化成程序并使用,有效地培養(yǎng)了學(xué)生分析問題、解決問題的能力和編寫程序處理問題的能力。

    2 實(shí)驗(yàn)案例

    實(shí)驗(yàn)的目的是讓學(xué)生掌握拉格朗日插值方法,然后將其轉(zhuǎn)化成程序,并利用所寫程序構(gòu)造高次和低次的插值曲線。進(jìn)一步讓學(xué)生感受高次插值帶來的龍格現(xiàn)象,以及學(xué)習(xí)解決龍格現(xiàn)象的分段低次插值方法。結(jié)合上面所提出的實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式,對于這次實(shí)驗(yàn)課,具體的實(shí)驗(yàn)過程如下。

    1)“分析”階段

    首先教師帶著學(xué)生復(fù)習(xí)拉格朗日方法,寫出拉格朗日插值公式,并讓學(xué)生明白公式中已知量是什么,待求量是什么,即讓學(xué)生清楚程序的輸入量和輸出量,

    然后要求學(xué)生根據(jù)拉格朗日插值公式,封裝一個Mylagrange(輸入量)的函數(shù),后面繪制插值曲線可以直接調(diào)用Mylagrange函數(shù)。為了避免學(xué)生從網(wǎng)上直接拷貝拉格朗日的程序來交差,教師需要帶著學(xué)生進(jìn)一步分析拉格朗日函數(shù)的內(nèi)涵,將問題繼續(xù)分解。引導(dǎo)學(xué)生觀察拉格朗日的表示形式:基函數(shù)的線性組合,并帶著學(xué)生依據(jù)數(shù)學(xué)公式寫出拉格朗日函數(shù)的流程圖,指出輸入量和輸出量,說明這個流程圖的主要結(jié)構(gòu)是一個循環(huán)結(jié)構(gòu),對應(yīng)Matlab語言就是for循環(huán)。提示學(xué)生將基函數(shù)先封裝成一個函數(shù)LagBase(節(jié)點(diǎn)信息),然后在一個循環(huán)語句里調(diào)用這個函數(shù)給出拉格朗日函數(shù)Mylagrange。為了便于學(xué)生寫出基函數(shù)的程序LagBase(節(jié)點(diǎn)信息),對基函數(shù)的形式進(jìn)行簡化:

    結(jié)合該形式給出基函數(shù)的流程圖,并引導(dǎo)學(xué)生思考基函數(shù)的程序。

    2)“實(shí)踐”階段

    這個階段就是留給學(xué)生去實(shí)踐,讓他們?nèi)ハ胺治觥彪A段的結(jié)果,實(shí)現(xiàn)自己的想法。教師鼓勵學(xué)生自己動手去做實(shí)驗(yàn),及時幫助他們發(fā)現(xiàn)并克服編程中遇到語法等程序問題。同時要善于觀察并發(fā)現(xiàn)這些程序?qū)懙煤玫膶W(xué)生,在下一階段中演示這些學(xué)生的程序。

    3)“演示”階段

    演示個別學(xué)生的結(jié)果,并對照“分析”階段中的流程圖進(jìn)行逐句講解,教會學(xué)生怎樣根據(jù)流程圖寫程序。將基函數(shù)的程序單獨(dú)列出來,并結(jié)合例子驗(yàn)證程序的正確性,再結(jié)合拉格朗日函數(shù)的流程圖,對照講解拉格朗日函數(shù)的程序。

    4)“完善”階段

    經(jīng)過上面的3個階段,學(xué)生已經(jīng)在教師的講解下清楚寫程序的整個過程。這個階段就留給學(xué)生,讓他們自己反思自己程序中的問題并結(jié)合上面的演示過程進(jìn)行修改。

    5)“進(jìn)階”階段

    這個階段是讓學(xué)生學(xué)習(xí)使用自己的程序去處理一些簡單的問題。讓學(xué)生從中獲取學(xué)習(xí)這些方法的樂趣,同時進(jìn)一步讓學(xué)生去思考現(xiàn)有方法中存在的問題。這個階段所包含的信息量較大,便于教師通過這個環(huán)節(jié)掌握學(xué)生的真實(shí)學(xué)習(xí)情況。這次實(shí)驗(yàn)課的“進(jìn)階”階段,包含3部分內(nèi)容:

    (a)利用拉格朗日函數(shù)程序,繪制出給定函數(shù)f (x)的10次插值曲線;

    (b)利用拉格朗日函數(shù)程序,繪制出給定函數(shù)f (x)的4次插值曲線;

    (c)利用拉格朗日函數(shù)程序,將定義區(qū)間分兩段,分別在每段上構(gòu)造相應(yīng)的4次插值曲線,并繪制出插值曲線圖。

    題目(a)的設(shè)置是為了讓學(xué)生觀察高次插值的震蕩現(xiàn)象,題目(b)的設(shè)置是為了讓學(xué)生觀察低次插值和高次插值的區(qū)別,題目(c)的設(shè)置是為了讓學(xué)生體會如何利用現(xiàn)有辦法去解決高次插值所帶來的弊端。三部分內(nèi)容都不難,但是對于沒有理解拉格朗日函數(shù)程序的學(xué)生,就不知道如何下手;對于部分不會使用數(shù)學(xué)軟件繪圖的學(xué)生,也不能繪制出插值曲線。其實(shí)3個題目,實(shí)際操作本質(zhì)上是一個過程,對上課專心聽課且認(rèn)真參與每個實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)的學(xué)生,能很快完成。為了避免出現(xiàn)抄襲現(xiàn)象,這一階段的完成過程,要求學(xué)生可以翻閱資料,但是不能左顧右盼,且對大家的要求是(a)、(b)是需要大家完成的部分,做完(a)和(b)就可以寫實(shí)驗(yàn)報告,并提交實(shí)驗(yàn)報告。(c)能做完就補(bǔ)充進(jìn)實(shí)驗(yàn)報告,做不完可以課后自己補(bǔ)充完成。這樣可以結(jié)合課內(nèi)實(shí)驗(yàn)報告完成情況和課后補(bǔ)充情況,給出符合實(shí)際掌握情況的實(shí)驗(yàn)過程分?jǐn)?shù)。

    3 結(jié)束語

    數(shù)值分析是研究各種數(shù)學(xué)模型的數(shù)值計算方法,它面向的對象是計算機(jī)。這就決定了數(shù)值分析課不能像其他數(shù)學(xué)課一樣,只注重理論。不經(jīng)過數(shù)值實(shí)驗(yàn)學(xué)生就不能深刻理解數(shù)值分析的本質(zhì)。文中所提出的這種“分析-實(shí)踐-演示-完善-進(jìn)階”式實(shí)驗(yàn)教學(xué)模式,是在長期教學(xué)過程中總結(jié)出來的,是一種分層遞進(jìn)的教學(xué)過程,有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,提高學(xué)生動手能力,提高課堂教學(xué)效果。但仍有有待改進(jìn)的地方,在今后的教學(xué)中還需不斷完善。

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