重拾分?jǐn)?shù)計(jì)算　優(yōu)化運(yùn)算步驟

【摘要】本文論述指導(dǎo)學(xué)生用分?jǐn)?shù)計(jì)算優(yōu)化運(yùn)算步驟的方法，通過(guò)觀察、分析具體教學(xué)片段，指出學(xué)生在運(yùn)算中面臨的問(wèn)題，建議利用分?jǐn)?shù)計(jì)算簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程，提高學(xué)生的計(jì)算能力。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué) 分?jǐn)?shù)計(jì)算 整體性 運(yùn)算步驟

【中圖分類(lèi)號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2019）09A-0099-02

計(jì)算表面上看起來(lái)很簡(jiǎn)單，只要學(xué)生掌握了基本的運(yùn)算法則，就可以進(jìn)行運(yùn)算。但在面對(duì)一些計(jì)算步驟多、數(shù)據(jù)量大的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)畏懼計(jì)算或不愿計(jì)算的情況。怎樣幫助學(xué)生提高運(yùn)算能力呢？筆者對(duì)小學(xué)高年級(jí)計(jì)算練習(xí)進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)計(jì)算相對(duì)于整數(shù)計(jì)算和小數(shù)計(jì)算具有運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)，利用分?jǐn)?shù)計(jì)算可以把握計(jì)算對(duì)象的整體性，使得運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)便。

一、問(wèn)題由來(lái)：一陣議論聲打破了備課的“理所當(dāng)然”

小學(xué)高年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)側(cè)重于綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，練習(xí)中存在大量的計(jì)算問(wèn)題。然而，學(xué)生常常為計(jì)算而苦惱。

（一）教材情景及簡(jiǎn)析

蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第二單元中有這樣一個(gè)問(wèn)題：銀行通常將50枚1元硬幣摞在一起，用紙卷成圓柱形（如下圖）。你能算出1枚1元硬幣的體積大約是多少立方厘米嗎？（得數(shù)保留一位小數(shù)）

問(wèn)題要求1枚1元硬幣的體積，可以先算出50枚1元硬幣的體積，也可以先算出1枚1元硬幣的厚度，題目意圖在于讓學(xué)生體會(huì)靈活運(yùn)用圓柱體積公式解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。

（二）課堂教與學(xué)的情況

師：你們準(zhǔn)備如何解決這個(gè)問(wèn)題？

生1：先求出大圓柱體積，再除以50，算出1枚硬幣的體積。

師：同意他的想法嗎？

生（齊）：同意。

師：還有別的想法嗎？

生2：我們也可以先算出1枚硬幣的厚度，再求1枚硬幣的體積。

師：這樣可行嗎？

生（齊）：可行。

師：選擇你喜歡的方法，列式計(jì)算出1枚硬幣的體積。

（課堂狀態(tài)：教室里一片安靜。過(guò)了一會(huì)兒，個(gè)別學(xué)生在交談。接著，議論聲音變大了）

師：怎么回事？

生3：太難算了！

生4：有四位小數(shù)計(jì)算，老師你看，有“3.14×1.5625”。

生5：要是有計(jì)算器就好了！

（三）教師對(duì)學(xué)生生成的質(zhì)疑

學(xué)生的一句“要是有計(jì)算器就好了”，讓筆者意識(shí)到，學(xué)生的計(jì)算肯定哪兒出了問(wèn)題，同時(shí)也意識(shí)到課前備課似乎忽略了什么。筆者打開(kāi)預(yù)設(shè)的教案，預(yù)設(shè)解題過(guò)程是這樣的：

預(yù)設(shè)列式采取綜合算式形式，轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)形式避開(kāi)小數(shù)運(yùn)算，豎式計(jì)算涉及的小數(shù)計(jì)算也是學(xué)生熟悉的3.14的乘積，最后小數(shù)除法關(guān)鍵步驟其實(shí)只有一步，所以這樣的預(yù)設(shè)并沒(méi)有引起筆者過(guò)多的注意，但學(xué)生的表現(xiàn)卻打破了筆者備課的“理所當(dāng)然”。

（四）教師直面學(xué)生的生成

筆者思考片刻，直接轉(zhuǎn)向?qū)W生提出的計(jì)算問(wèn)題，踏踏實(shí)實(shí)地在黑板上計(jì)算出來(lái)，雖然計(jì)算量較大，但能夠計(jì)算出來(lái)。過(guò)程如下：

緊接著，筆者給學(xué)生提了一個(gè)問(wèn)題：“我們能否將算式中的數(shù)處理一下，優(yōu)化計(jì)算過(guò)程，讓計(jì)算不那么繁雜。正好老師這有一種方法，你們覺(jué)得這樣的計(jì)算過(guò)程怎么樣？”（出示預(yù)設(shè)算法）

分析：教學(xué)是教師教與學(xué)生學(xué)的有機(jī)結(jié)合，教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)有發(fā)生，隨之教師的教應(yīng)生發(fā)生，久而反復(fù)，方可教學(xué)相長(zhǎng)。上述環(huán)節(jié)中，教師沒(méi)有直接拋棄學(xué)生的計(jì)算方法，而是直面學(xué)生的問(wèn)題所在，解決難計(jì)算的問(wèn)題，幫學(xué)生克服計(jì)算困難，樹(shù)立計(jì)算信心。同時(shí)，考慮到學(xué)生思維與教師思維的不一致，對(duì)比是學(xué)生與教師思維鏈接最好的橋梁，因此，筆者采取對(duì)比的形式呈現(xiàn)教師的計(jì)算過(guò)程，給學(xué)生自我優(yōu)化及汲取運(yùn)算方法的空間。

二、原因分析：這陣議論聲究竟為何而來(lái)

課堂上突如其來(lái)的一陣議論聲，讓原本平靜的練習(xí)課變得不平靜，這不平靜的背后究竟隱藏了什么？下面筆者以問(wèn)題的形式尋找答案。

問(wèn)題1：學(xué)生到底會(huì)不會(huì)算？

題目中的計(jì)算有平方和小數(shù)的多位數(shù)乘除法，屬于小學(xué)階段計(jì)算內(nèi)容，因此，學(xué)生是會(huì)計(jì)算的。

問(wèn)題2：學(xué)生為什么不算？

既然學(xué)生會(huì)算，但學(xué)生沒(méi)有算，問(wèn)題出在哪兒？回顧學(xué)生的計(jì)算過(guò)程，較為復(fù)雜的步驟有3.14×1.5625和4.90625×9.25兩步，這兩步都是多位數(shù)小數(shù)乘法，其中3.14×1.5625的計(jì)算過(guò)程需要計(jì)算6步（5步乘法、1步加法），4.90625×9.25的計(jì)算過(guò)程需要4步，每一步的數(shù)據(jù)量都很大，數(shù)據(jù)量最大的有9位數(shù)。像這樣計(jì)算步驟多、數(shù)據(jù)位數(shù)大的計(jì)算確實(shí)有一定的計(jì)算難度，這里計(jì)算步驟多、數(shù)據(jù)位數(shù)大主要源于題目信息中的數(shù)字形式——小數(shù)。筆者對(duì)大量乘法計(jì)算問(wèn)題出錯(cuò)原因進(jìn)行調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題類(lèi)型對(duì)學(xué)生的影響不大，數(shù)字形式是關(guān)鍵所在，以此看來(lái)，數(shù)字的形式是學(xué)生畏懼、不愿計(jì)算的主要原因。

問(wèn)題3：如何解決學(xué)生的不愿意算？

教師預(yù)設(shè)算法的步驟并不比學(xué)生算法的步驟少，但過(guò)程中很少涉及豎式計(jì)算，且豎式計(jì)算量小，易于計(jì)算，這是由于教師將算式中的小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，利用分?jǐn)?shù)約分進(jìn)行化簡(jiǎn)，減少計(jì)算步驟、縮小數(shù)據(jù)量，最后只要計(jì)算3.14×37÷128即可。就這道題來(lái)看，小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)可以有效解決學(xué)生不愿意算的問(wèn)題。

三、教學(xué)啟示：重新認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)計(jì)算

為什么小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)就可以解決學(xué)生的問(wèn)題？這需要我們重新認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)計(jì)算。

（一）與整數(shù)計(jì)算和小數(shù)計(jì)算相比分?jǐn)?shù)計(jì)算所具備的優(yōu)勢(shì)

小學(xué)階段所涉及的運(yùn)算對(duì)象有三類(lèi)：整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算和分?jǐn)?shù)運(yùn)算。與整數(shù)運(yùn)算、小數(shù)運(yùn)算相比，分?jǐn)?shù)運(yùn)算具有的優(yōu)勢(shì)具體體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)可以與小數(shù)、整數(shù)相互轉(zhuǎn)化形式，分?jǐn)?shù)計(jì)算知識(shí)與除法、比的知識(shí)相通。例如：將一個(gè)直徑是3厘米的圓放大成半徑為6厘米的圓，放大后的圓的面積與放大前圓的面積的比是多少？

此過(guò)程利用比的意義、分?jǐn)?shù)除法等知識(shí)，在整數(shù)范圍里通過(guò)約分得出結(jié)果（如右圖左）。如果將“直徑3厘米”用小數(shù)求出半徑為1.5厘米，按照題意，這時(shí)需要通過(guò)小數(shù)除法計(jì)算，相比之下，利用分?jǐn)?shù)計(jì)算具有優(yōu)勢(shì)。

（二）分?jǐn)?shù)計(jì)算關(guān)注計(jì)算對(duì)象的整體性

在混合運(yùn)算中，分?jǐn)?shù)運(yùn)算側(cè)重于計(jì)算對(duì)象的整體性，以上面例題為例（如下圖），左邊是利用分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程，計(jì)算中將3.14后面的數(shù)據(jù)看成一個(gè)整體，借助分?jǐn)?shù)約分進(jìn)行整體計(jì)算，突出計(jì)算對(duì)象之間的關(guān)系。再看圖中右邊的計(jì)算過(guò)程，在混合四則運(yùn)算的順序下，從左往右依次計(jì)算，表現(xiàn)出純粹的計(jì)算性。由此看來(lái)，分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程表現(xiàn)出計(jì)算對(duì)象的運(yùn)算特性。在日常教學(xué)中，教師應(yīng)潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生重運(yùn)算的意識(shí)。利用分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程，需要考慮計(jì)算對(duì)象之間的關(guān)系，利用約分前需要做好觀察、思考、轉(zhuǎn)化等準(zhǔn)備工作（發(fā)現(xiàn)25，并將25與50約分），更能體現(xiàn)出計(jì)算的數(shù)學(xué)思維，具有良好數(shù)感的學(xué)生能夠更好地把握計(jì)算對(duì)象的整體性。

（三）分?jǐn)?shù)計(jì)算易于呈現(xiàn)計(jì)算的簡(jiǎn)化步驟

小學(xué)高年級(jí)學(xué)生在計(jì)算中不僅會(huì)思考問(wèn)題的解題思路，而且還會(huì)考慮是否存在簡(jiǎn)便的計(jì)算步驟，由于分?jǐn)?shù)計(jì)算關(guān)注計(jì)算對(duì)象的整體性，使得計(jì)算過(guò)程中簡(jiǎn)化的步驟更利于發(fā)現(xiàn)。例如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)第六單元練習(xí)八第7題：小青家到梅花山的路程大約4.2千米，以12千米/時(shí)的速度騎自行車(chē)前往，需要多少分鐘到達(dá)？解答過(guò)程如下，第二種解題過(guò)程更利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)計(jì)算中的簡(jiǎn)便因素（12與60約分）。

小學(xué)是學(xué)生從具體運(yùn)算向形式運(yùn)算過(guò)渡的階段，分?jǐn)?shù)計(jì)算過(guò)程關(guān)注計(jì)算對(duì)象的整體性，突顯計(jì)算對(duì)象的內(nèi)在關(guān)系，符合形式運(yùn)算的特質(zhì)。分?jǐn)?shù)計(jì)算通常涉及分?jǐn)?shù)加減法通分、分?jǐn)?shù)乘法約分和分?jǐn)?shù)除法中倒數(shù)等，這些問(wèn)題中蘊(yùn)涵著豐富的數(shù)學(xué)形式結(jié)構(gòu)，通過(guò)解決分?jǐn)?shù)計(jì)算問(wèn)題有助于學(xué)生順利完成這種過(guò)渡。

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作者簡(jiǎn)介：謝云龍（1984— ），男，江蘇南京人，小學(xué)一級(jí)教師，大學(xué)本科學(xué)歷，江北新區(qū)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。

（責(zé)編 雷 靖）