分析法和綜合法

高慧明

北京市中學(xué)數(shù)學(xué)特級教師，現(xiàn)任教于北京市第十二中學(xué);教育部課程改革“全國先進(jìn)工作者”，教育部“國培計劃”全國中小學(xué)教師培訓(xùn)、班主任培訓(xùn)、校長培訓(xùn)特邀主講專家，受邀為教育部“國培計劃”做有關(guān)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)、班級管理、教師專業(yè)成長等專題報告多場;在《教育研究》《中國教育學(xué)刊》《數(shù)學(xué)教育學(xué)報》《數(shù)學(xué)通報》等學(xué)術(shù)期刊上發(fā)表論文500余篇，其中100余篇被中國人民大學(xué)復(fù)印報刊資料《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)》《中小學(xué)教育》全文轉(zhuǎn)載;已出版?zhèn)€人專著《高中數(shù)學(xué)思想方法及應(yīng)用》《高考數(shù)學(xué)命題規(guī)律與教學(xué)策略》《讓高中生學(xué)會學(xué)習(xí)》《高慧明數(shù)學(xué)教學(xué)實踐與研究》（叢書）等多部，應(yīng)邀主編、參編教材和教學(xué)著作30余部。

分析與綜合都是思維的基本方法，無論是研究和解決一般問題，還是數(shù)學(xué)問題，分析和綜合都是最基本的具有邏輯性的方法。分析與綜合是兩種思想方法，但因二者具有十分密切的聯(lián)系，以下把二者結(jié)合起來闡述。

分析是把研究對象的整體分解為若干部分、方面和因素，分別加以考察，找出各自的本質(zhì)屬性及彼此之間聯(lián)系的思維過程。綜合是把研究對象的各個部分、方面和因素的認(rèn)識結(jié)合起來，形成一個整體性認(rèn)識的思維過程。分析是綜合的基礎(chǔ);綜合是分析的整合，是與分析相反的思維過程。在研究數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時，往往先把研究對象分解成幾個部分、方面和要素進(jìn)行考察，再進(jìn)行整合，從整體上認(rèn)識研究對象，形成理性認(rèn)識。

所謂綜合法，是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的方法。初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的。綜合法的基本特點是由因?qū)Ч?，可用框圖表示為：

證明數(shù)學(xué)命題時還經(jīng)常從要證的結(jié)論Q出發(fā)反推回去，尋求保證Q成立的充分條件[p1];為了證明[p1]成立，再去尋找[p1]成立的充分條件[p2];為了證明[p2]成立，再去尋求[p2]成立的充分條件[p3]。如此循環(huán)，直至找到一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。

所謂分析法，指從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直到把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止。分析法的基本特點有兩個，一個是逆推證法，另一個叫執(zhí)果索因，其框圖表示為：

成立的條件]?? 分析法和綜合法的教學(xué)，歷來都受到重視。大綱時代的小學(xué)數(shù)學(xué)教育比較重視邏輯思維能力的培養(yǎng)，在教學(xué)過程中重視培養(yǎng)學(xué)生的分析、綜合、抽象、概括、判斷和推理能力，其中培養(yǎng)學(xué)生分析和綜合的能力、推理能力是很重要的方面。如：解答應(yīng)用題時重視分析法和綜合法的運用，也就是說可以先從應(yīng)用題的問題出發(fā)，找出解決問題需要的條件中哪些是已知的，哪些是未知的，未知的條件又需要什么條件解決。這樣分析了數(shù)量關(guān)系和解題思路后，再利用綜合法根據(jù)已知條件列式解答。再如學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計時，需要先整理和描述各種統(tǒng)計數(shù)據(jù)，并進(jìn)行分析和綜合，然后做出合理地判斷和預(yù)測。新課標(biāo)雖然沒有明確提出邏輯思維能力的培養(yǎng)，但在推理能力方面仍然提出了“能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù);在與他人交流的過程中，能運用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑”的要求。其中就包含了對學(xué)生邏輯思維、分析和綜合能力的要求。分析能力不僅是邏輯思維能力的重要方面之一，也是其他思維能力的基礎(chǔ)。分析法和綜合法是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題和推理等能力的重要思想方法，所以分析法和綜合法在課標(biāo)時代仍然是培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問題能力的重要思想方法。

以小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)為例。首先，在四大領(lǐng)域的內(nèi)容中，無論是低年級的數(shù)和計算、圖形的認(rèn)識，還是中高年級的方程和比例、統(tǒng)計與概率，分析法和綜合法都有較多應(yīng)用。如：數(shù)的計算法則的學(xué)習(xí)就是一個先分析再綜合概括的過程，即先引導(dǎo)學(xué)生一步一步地學(xué)習(xí)法則的不同方面，再綜合概括成一個完整的法則。其次，貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的問題解決、判斷和推理證明等方面，分析法和綜合法也無所不在。如：判斷某個概念或者性質(zhì)時，必須先進(jìn)行分析，然后才能做出判斷。

分析能力和綜合能力作為培養(yǎng)邏輯思維能力和解決問題能力的重要方面，在教學(xué)中應(yīng)注意以下兩點。

第一，在學(xué)習(xí)一般的數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)時，注重分析能力和綜合能力的培養(yǎng)。中小學(xué)數(shù)學(xué)的很多知識，學(xué)生往往經(jīng)歷先分析再綜合的過程，即先認(rèn)識局部特征，再從整體上認(rèn)識或者形成抽象概念。如：圖形的認(rèn)識，在第一學(xué)段，學(xué)生通過操作、觀察，初步感知圖形的一些特征，第二學(xué)段則可以從整體上認(rèn)識或者抽象成概念。教師從低年級開始就應(yīng)注重分析能力的培養(yǎng)，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下較好的基礎(chǔ)。

第二，在解決問題時注重分析法和綜合法的結(jié)合運用。簡單的問題，往往直接應(yīng)用綜合法便可解決;復(fù)雜的問題，往往需要把分析法和綜合法結(jié)合起來。例如：一件襯衫的標(biāo)價是150元，現(xiàn)在因換季按標(biāo)價打八折的優(yōu)惠價格出售，還能在進(jìn)價的基礎(chǔ)上獲利20%。這款襯衫的進(jìn)價是多少？解答這道題，首先要進(jìn)行分析：要想求進(jìn)價是多少錢，需要知道進(jìn)價加上獲利的20%一共是多少錢，進(jìn)價加上獲利的20%等于優(yōu)惠價，優(yōu)惠價等于標(biāo)價的80%。然后，根據(jù)分析法找出的數(shù)量關(guān)系和解題思路，用綜合法列式如下：（1）進(jìn)價加獲利20%一共的錢數(shù)是150×80%=120（元）;（2）這款襯衫的進(jìn)價是：120÷（1+20%）=100（元）;（3）列成綜合算式是：150×80%÷（1+20%）=100（元）。

再比如：設(shè)a、b是兩個正實數(shù)，且a≠b，求證：a³+b³>a²b+ab²。證明這個問題，首先要用分析法理清思路。即：要證明 a³+b³>a²b+ab²成立，只需要證明（a+b）a²-ab+b²）>ab（a+b）成立，即需要證明a²-ab+b²>ab成立，因為a+b>0;而要證明a²-ab+b²>ab成立，只需要證明a²-2ab+b²>0成立，即需要證明（a-b）²>0成立;由已知可得，a≠b，有a-b≠0，所以（a-b）2>0顯然成立，由此命題得證。這個分析的過程，如果用綜合法思路來表示，即：因為a≠b，所以a-b≠0，所以（a-b）2>0，即a²-2ab+b²>0，亦即a²-ab+b²>ab;由題設(shè)條件可知，a+b>0，所以（a+b）（a²-ab+b²）>ab（a+b），即a³+b³>a²b+ab²，由此命題得證。

下期內(nèi)容預(yù)告：數(shù)學(xué)思想方法系列講座（10）

責(zé)任編輯? 姜楚華