一類四階非線性波動(dòng)方程柯西問題解的爆破

李 寧, 李天瑞, 陳巧靈

(鄭州升達(dá)經(jīng)貿(mào)管理學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)研究所, 河南 鄭州 451191)

本文研究如下具有強(qiáng)阻尼項(xiàng)的四階非線性波動(dòng)方程的初邊值問題

(1)

其中,m,p>1,Ω是Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域.問題(1)在數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.事實(shí)上,物體在運(yùn)動(dòng)時(shí)周圍的介質(zhì)產(chǎn)生的阻尼和力源,特別是強(qiáng)阻尼,對(duì)物體內(nèi)部能量的積聚起著重要的耗散作用,因此,在實(shí)際模型中需要加以考慮.

此類柯西問題,眾所周知,當(dāng)源項(xiàng)缺失,阻尼項(xiàng)ut|ut|m-1和Δut存在時(shí),整體解存在[1-2]；當(dāng)阻尼項(xiàng)缺失,源項(xiàng)u|u|p-1將在初始能量為負(fù)時(shí)引起解的爆破[3].

當(dāng)方程(1)中的強(qiáng)阻尼項(xiàng)Δut和線性項(xiàng)u缺失時(shí),非線性弱阻尼項(xiàng)和非線性源項(xiàng)之間的相互作用對(duì)解的影響已被很多作者考慮過.Levine[4-5]指出當(dāng)弱阻尼項(xiàng)為線性,即m=1,初始能量為負(fù)時(shí),解將在有限時(shí)刻發(fā)生爆破.Georgiev等[6]給出當(dāng)m≥p時(shí),初始值的弱解是整體存在的,當(dāng)m

Chen等[15]考慮了二階波動(dòng)方程的情形,即方程(1)中的Δ2u被Δu代替,同時(shí)線性項(xiàng)u缺失時(shí),證明了局部解的存在唯一性,同時(shí)利用勢(shì)井法,研究了整體解的存在性,解的多項(xiàng)式和指數(shù)衰減.最后指出當(dāng)初始數(shù)據(jù)足夠大或E(0)<0時(shí),能量將隨著時(shí)間呈指數(shù)式增長(zhǎng).

文獻(xiàn)[4-14]都是沒有強(qiáng)阻尼項(xiàng)時(shí)的情形,研究了非線性弱阻尼項(xiàng)的波動(dòng)方程的初邊值問題,文獻(xiàn)[15]研究了具有強(qiáng)阻尼項(xiàng)二階的非線性波動(dòng)方程.對(duì)帶有強(qiáng)阻尼項(xiàng)的四階非線性波動(dòng)方程,目前結(jié)論很少且有很多問題有待解決.本文將在以上文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上研究具有強(qiáng)阻尼項(xiàng)的四階非線性波動(dòng)方程(1)解的爆破.

1 主要結(jié)論與準(zhǔn)備工作

首先回顧問題(1)局部弱解的存在性定理.

其中T>0充分小.

定理1.1中使問題(1)在Ω×(0,T)上存在解的所有時(shí)間T的上確界稱為問題(1)解的生命跨度,用T*表示.如果T*=∞,稱解是整體解.如果T*<∞,稱整體解是不存在的,此時(shí)也稱解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破.

下面給出本文的主要結(jié)論.

‖u0‖Lp>λ0

(2)

且

(3)

則方程(1)不存在整體解,其生命跨度

F(0)的定義見第三節(jié)，其中0<δ<1為常數(shù),B0為以下嵌入最優(yōu)常數(shù)

(4)

為了證明定理1.2，先做如下準(zhǔn)備.

對(duì)于方程(1)的解u，定義能量泛函為

則有

(6)

事實(shí)上，上述不等式可以按如下方式證明.用ut乘方程(1)兩端,并在Ω上積分得

從而有E(t)≤E(0),即上述方式定義的能量泛函是不增的.

下面給出解的一些估計(jì),將在定理1.2的證明中起到重要作用.

‖u‖sLp+1≤

其中,2≤s≤p+1,H(t)=-E(t).

證明若‖u‖Lp+1≤1,則由(4)式知

引理1.2設(shè)‖u0‖Lp+1>λ0且E(0)≤E0,則對(duì)?t≥0有

證明由(4)式可知

設(shè)

則可得g(τ)的性質(zhì)如下：

由于對(duì)?t≥0，有

E0≥E(0)≥E(t)≥g(‖u(·,t)‖Lp+1),

則由g(τ)的性質(zhì)(9)式知不存在t*使得

‖u(·,t*)‖Lp+1=λ0,

又由泛函‖u(·,t)‖Lp+1關(guān)于時(shí)間的連續(xù)性和E0≥E(0),‖u0‖Lp+1>λ0可得

‖u(·,t)‖Lp+1>λ0, ?t≥0，

且

則引理1.2得證.

注1.1由上面引理的證明可見集合

是空集.事實(shí)上,當(dāng)‖u0‖Lp+1≤λ0時(shí),由泛函‖u(·,t)‖Lp+1關(guān)于時(shí)間的連續(xù)性知?t*使得‖u(·,t*)‖Lp+1=λ0,又由g(τ)的性質(zhì)(9)式可得

與E(0)≤E0矛盾，故定理1.2中‖u0‖Lp+1>λ0這一條件是必要的.

2 定理1.2的證明

證明設(shè)

G(t)=E0+H(t),

顯然G(t)≥0,且

|H(t)|≤E0+G(t).

(10)

同時(shí),由引理1.2知

(11)

設(shè)

(12)

其中θ充分小,將在下文中選定,且

(13)

對(duì)F(t)求導(dǎo),并由方程(1)知

F′(t)=(1-α)G-α(t)G′(t)+

由(13)式知2≤(m+1)+mα(p+1)≤p+1,又由(17)、(10)和(11)式得

則

令K1、K2充分大,則?0

則

當(dāng)K1取定時(shí),選取θ充分小,使得

且

則?c2>0使得

(14)

另一方面,利用Young不等式、(13)式及引理1.1可知

因此，由(14)式可得

(15)

這里γ是依賴于c、p、α和θ的常數(shù).又F(0)>0,則當(dāng)t→t1時(shí),F(t)→∞,這里